有了子群之后，可以对子群进行一些讨论

子群的陪集(子群的陪集其实是对母群的一个划分)：

定理一：一个子群的任意两个陪集要么相等，要么不相交定理一：一个子群的任意两个陪集要么相等，要么不相交定理一：一个子群的任意两个陪集要么相等，要么不相交
先讨论左陪集，右陪集的性质类似
G=<N6,+6>的子群H=<N2,+6>在G中的左陪集G={0,1,2,3,4,5},H={0,2,4}0H={0,2,4}1H={1,3,5}2H={2,4,0}3H={3,5,1}4H={4,0,2}5H={5,1,3}可见，0H=2H=4H={0,2,4},1H=3H=5H={1,3,5}任意两个左陪集要么相等，要么不相交，观察元素和陪集结果，实际上aH=bH当切仅当a∈bH,aH∩bH=∅,当切仅当a∉bH证明：{1.{必要性：已知aH=bH,e∈H,于是a=a∗e∈aH,所以a∈bH充分性：设a∈bH(往证aH=bH)先证aH⊆bH(另一半同理),设任意x∈aH,∃h∈H,x=ah,又假设a∈bH,∃h′s.t.a=bh′,于是x=ah=(bh′)h∈bh2.{必要性：已知aH∩bH=∅,假设a∈bH,a=a∗e∈aH,a∈aH∩bH,与aH∩bH=∅充分性：已知a∉bH，往证aH∩bH=∅,假设aH∩bH=∅,则∃x∈交集，则∃h，h′s.t.x=ah=x=bh′。a=bh′h−1,所以a∈bH与已知矛盾G=<N_6,+_6>的子群H=<N_2,+_6>在G中的左陪集\\ G=\{ 0, 1,2,3,4,5\},H=\{0,2,4\}\\ 0H=\{ 0, 2,4 \}\\ 1H=\{ 1, 3,5 \}\\ 2H=\{ 2, 4,0 \}\\ 3H=\{ 3, 5,1 \}\\ 4H=\{ 4, 0,2\}\\ 5H=\{ 5, 1,3 \}\\ 可见，0H=2H=4H=\{ 0, 2,4 \},1H=3H=5H=\{ 1, 3,5 \}\\ 任意两个左陪集要么相等，要么不相交，观察元素和陪集结果，实际上\\ aH=bH当切仅当a\in bH,aH\cap bH=\varnothing,当切仅当a\not\in bH \\ 证明：\\ \left\{\begin{array}{l}1.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{必要性}：\mathrm{已知}aH=bH,e\in H,\mathrm{于是}a=a\ast e\in aH,\mathrm{所以}a\in bH\\\mathrm{充分性}：设a\in bH(\mathrm{往证}aH=bH)\mathrm{先证}aH\subseteq bH(\mathrm{另一半同理}),\mathrm{设任意}x\in aH,\exists h\in H,x=ah,\mathrm{又假设}a\in bH,\exists h's.t.a=bh',\mathrm{于是}x=ah=(bh')h\in bh\end{array}\right.\\2.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{必要性}：\mathrm{已知}aH\cap bH=\varnothing,\mathrm{假设}a\in bH,a=a\ast e\in aH,a\in aH\cap bH,与aH\cap bH=\varnothing\\\mathrm{充分性}：\mathrm{已知}a\not\in bH，\mathrm{往证}aH\cap bH=\varnothing,\mathrm{假设}aH\cap bH=\varnothing,则\exists x\in\mathrm{交集}，则\exists h，h'\;s.t.x=ah=x=bh'。a=bh'h^{-1}\;,\mathrm{所以}a\in bH\mathrm{与已知矛盾}\end{array}\right.\end{array}\right. G=<N6,+6>的子群H=<N2,+6>在G中的左陪集G={0,1,2,3,4,5},H={0,2,4}0H={0,2,4}1H={1,3,5}2H={2,4,0}3H={3,5,1}4H={4,0,2}5H={5,1,3}可见，0H=2H=4H={0,2,4},1H=3H=5H={1,3,5}任意两个左陪集要么相等，要么不相交，观察元素和陪集结果，实际上aH=bH当切仅当a∈bH,aH∩bH=∅,当切仅当a∈bH证明：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.{必要性：已知aH=bH,e∈H,于是a=a∗e∈aH,所以a∈bH充分性：设a∈bH(往证aH=bH)先证aH⊆bH(另一半同理),设任意x∈aH,∃h∈H,x=ah,又假设a∈bH,∃h′s.t.a=bh′,于是x=ah=(bh′)h∈bh2.{必要性：已知aH∩bH=∅,假设a∈bH,a=a∗e∈aH,a∈aH∩bH,与aH∩bH=∅充分性：已知a∈bH，往证aH∩bH=∅,假设aH∩bH=∅,则∃x∈交集，则∃h，h′s.t.x=ah=x=bh′。a=bh′h−1,所以a∈bH与已知矛盾

定理二：G中的任意元素必属于且仅属于一个陪集任取a∈G,因e∈H,于是a=a∗e∈a∗H,如果∃b∈G,使得a∈bH，于是a属于aH∩bH,根据定理一:aH∩bH=∅,即a仅属于aH定理二：G中的任意元素必属于且仅属于一个陪集\\ 任取a\in G,因e\in H,于是a=a*e\in a*H, \\ 如果 \exists b\in G,使得a\in bH，于是a属于aH \cap bH,根据定理一:aH\cap bH=\varnothing,即a仅属于aH 定理二：G中的任意元素必属于且仅属于一个陪集任取a∈G,因e∈H,于是a=a∗e∈a∗H,如果∃b∈G,使得a∈bH，于是a属于aH∩bH,根据定理一:aH∩bH=∅,即a仅属于aH

拉格朗日定理

定理三：有限群G的阶数∣G∣=n,子群H的阶数∣H∣=m,则m是n的因子(子群的阶数是群的阶数的因子)证明：令H={h1,h2,……，hm}构造H在G中的不同的左陪集，H=e∗H,是e的左陪集设a1∈G,a1∉H,则aH∩H=∅，∣a1H∣=m设a2∈G,a2∉H∪a1H,则aH∩a2H∩H=∅，∣a2H∣=m……因为G为有限集合，假设构造k次后G=H∪aH∪a2H∪……ak−1H所以∣G∣=k∗∣H∣定理三：有限群G的阶数|G|=n,子群H的阶数|H|=m,则m是n的因子(子群的阶数是群的阶数的因子)\\ 证明：令H=\{ h_1, h_2,……，h_m \}构造H在G中的不同的左陪集，\\ H=e*H,是e的左陪集\\ 设a_1 \in G,a_1 \not \in H,则aH\cap H=\varnothing， |a_1H|=m \\ 设a_2\in G,a_2 \not \in H \cup a_1H ,则aH\cap a_2H \cap H=\varnothing， |a_2H|=m \\ …… \\ 因为G为有限集合，假设构造k次后G=H\cup aH\cup a_2H \cup …… a_{k-1}H\\ 所以|G|=k*|H| 定理三：有限群G的阶数∣G∣=n,子群H的阶数∣H∣=m,则m是n的因子(子群的阶数是群的阶数的因子)证明：令H={h1,h2,……，hm}构造H在G中的不同的左陪集，H=e∗H,是e的左陪集设a1∈G,a1∈H,则aH∩H=∅，∣a1H∣=m设a2∈G,a2∈H∪a1H,则aH∩a2H∩H=∅，∣a2H∣=m……因为G为有限集合，假设构造k次后G=H∪aH∪a2H∪……ak−1H所以∣G∣=k∗∣H∣
定理三推论：群中元素的阶数是群的阶数的因子

n阶群G中的元素a,∣a∣必是n的因子，∣an∣=e证明：有限群中元素的阶数都是有限的，设bm=e，b为G中任何一个元素构造集合H={b,b2,……，bm}注：这种群以后称为循环群(往证H是G的子群)bi,bj∈H{i+j≤m,bi+j∈Hm<i+j≤2m,bi+j=bm+t=e∗bt∈HH是群,H是G的子群且∣H∣=m=∣b∣由拉格朗日定理得群中元素的阶数是群的阶数的因子也就是说有限群G中任何一个元素生成可以生成G的一个子群，然后由拉格朗日定理n阶群G中的元素a,|a|必是n的因子，|a^n|=e\\ 证明：有限群中元素的阶数都是有限的，设b^m=e，b为G中任何一个元素\\ 构造集合H=\{ b,b^2,……，b^m\}注：这种群以后称为循环群\\ (往证H是G的子群) b^i,b^j\in H\left\{\begin{array}{l}{}^{i+j\leq m,b^{i+j}}\in H\\m<i+j\leq2m,b^{i+j}=b^{m+t}=e\ast b^t\in H\end{array}\right.\\ H是群,H是G的子群且|H|=m=|b|\\ 由拉格朗日定理得群中元素的阶数是群的阶数的因子\\ 也就是说有限群G中任何一个元素生成可以生成G的一个子群，然后由拉格朗日定理 n阶群G中的元素a,∣a∣必是n的因子，∣an∣=e证明：有限群中元素的阶数都是有限的，设bm=e，b为G中任何一个元素构造集合H={b,b2,……，bm}注：这种群以后称为循环群(往证H是G的子群)bi,bj∈H{i+j≤m,bi+j∈Hm<i+j≤2m,bi+j=bm+t=e∗bt∈HH是群,H是G的子群且∣H∣=m=∣b∣由拉格朗日定理得群中元素的阶数是群的阶数的因子也就是说有限群G中任何一个元素生成可以生成G的一个子群，然后由拉格朗日定理

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