微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
1 罗尔定理
费马引理:
在某一范围内,函数可导,,称导数等于0的点为驻点。
罗尔定理:
函数在闭区间上有意义,在该区间内函数处处可导,且端点值相等,则在该区间内肯定至少存在一点导数等于0.
2 拉格朗日中值定理
罗尔定理的条件要求两端点值相等,这要求太严,并不常见,拉格朗日 中值定理去掉这个条件。则
,a,b是两个端点。
几何意义:
柯西中值定理:
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况,在满足之前的的情况下,下式成立
,拉格朗日中值定理相当于g(x)=x
1.2 洛必达法则(由柯西中值定理推出的)
首先,使用范围:0/0,或者∞/∞这种未定式的极限。
对于这两种未定式:
除了这两种 洛必达法则不适用。
1.3 泰勒公式
泰勒中值定理:一个函数在一个区间内有 n+1阶导数,则函数f(x)可以写成
上式叫做泰勒展示,
成为余项,分为皮亚诺型和拉格朗日型余项,
皮亚诺
拉格朗日型余项
当a=0时,我们便得到了麦克劳林公式。
常见的泰勒展开
麦克劳林公式
sinx 是exp的偶次项,cosx是其奇次项,符号正负交替。
1.4 函数单调性和凹凸性
单调性:不说了。
凹凸性与拐点:
凹:导函数是单调增的,er jie;凸:导函数单调递减
对应二阶导数正负。拐点:凹凸性发生变化的点,二阶导数值为0.求出二阶导数的驻点后,要进行凹凸性检查。
有的点二阶导数不存在,也有可能是拐点。
1.5 函数的极值与最大值最小值
1.定理1:取得极值的点,导数等于0(必要条件)。
2 第一充分条件:该点左边导函数值小于0,右边导函数大于0.该点是极大值点,反之是极小值点。
3 第二充分条件:一阶导数等于0,二阶导数不为小于0,是极大值点,反之是极小值。
工程上有很多都是求最值问题。
1.6 函数图形的描绘
关键词:一阶导数,二阶导数,零点,凹凸性,拐点。
1.7 曲率(光滑曲线)
光滑曲线数学表示为,曲线函数可导,且导数连续。
1:弧微分的定义及其公式:将一段弧长放在直角坐标系中,一段很小很小的弧长怎么求,我们用ds来表示这段弧长。
其表达式: 其推导方法及其公式,这里不在贴出来。
2 曲率:用来表示曲线的弯曲程度。表示一段弧长起始点到终点的切线转过的角度。表示弧长,表示平均曲率,其物理意义表示,单位长度上角度转过的大小。表示曲率。圆的曲率是其半径的导数。
曲率的一般计算公式:
3 曲率圆与曲率半径:
以曲线上某点的曲率的倒数作为半径作圆,叫曲率圆,其半径叫做曲率半径。圆心叫做曲率中心。
渐屈线:曲线C上一点对应的曲率中心的运动轨迹D,叫做渐屈线,反之C叫做D的渐伸线。
1.8 方程的近似解
二分法:二分法,就是每次将解存在的区间对半分,不断逼近真实值,直到其区间的长度达到精度要求。
切线法:以纵坐标与二阶导数符号一致的点作切线交与X轴,该点接近真实值,接着在走这个过程,直到精度满足要求。
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