高等数学（第七版）同济大学习题11-2 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题11-2

函数作图软件：Mathematica

1. 设 L 为 x O y 面内直线 x = a 上的一段，证明： ∫ L P ( x , y ) d x = 0. \begin{aligned}&1. \ 设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：\int_{L}P(x, \ y)dx=0.&\end{aligned} 1. 设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：∫LP(x, y)dx=0.

解：

将 L 的方程表达为参数形式， { x = a ， y = t ， t 从 α 变到 β ，根据第二类曲线积分的计算公式，得 ∫ L P ( x , y ) d x = ∫ α β P ( a , t ) ⋅ 0 d t = 0. \begin{aligned} &\ \ 将L的方程表达为参数形式，\begin{cases}x=a，\\\\y=t，\end{cases}t从\alpha变到\beta，根据第二类曲线积分的计算公式，得\\\\ &\ \ \int_{L}P(x,\ y)dx=\int_{\alpha}^{\beta}P(a, \ t)\cdot 0dt=0. & \end{aligned} 将L的方程表达为参数形式，⎩ ⎨ ⎧x=a，y=t，t从α变到β，根据第二类曲线积分的计算公式，得 ∫LP(x, y)dx=∫αβP(a, t)⋅0dt=0.

2. 设 L 为 x O y 面内 x 轴上从点 ( a , 0 ) 到点 ( b , 0 ) 的一段直线，证明： ∫ L P ( x , y ) d x = ∫ a b P ( x , 0 ) d x . \begin{aligned}&2. \ 设L为xOy面内x轴上从点(a, \ 0)到点(b, \ 0)的一段直线，证明：\int_{L}P(x, \ y)dx=\int_{a}^{b}P(x, \ 0)dx.&\end{aligned} 2. 设L为xOy面内x轴上从点(a, 0)到点(b, 0)的一段直线，证明：∫LP(x, y)dx=∫abP(x, 0)dx.

解：

将 L 的方程表达为参数形式， { x = x ， y = 0 ， x 从 a 变到 b ，根据第二类曲线积分的计算公式，得 ∫ L P ( x , y ) d x = ∫ a b P ( x , 0 ) d x . \begin{aligned} &\ \ 将L的方程表达为参数形式，\begin{cases}x=x，\\\\y=0，\end{cases}x从a变到b，根据第二类曲线积分的计算公式，得\\\\ &\ \ \int_{L}P(x,\ y)dx=\int_{a}^{b}P(x, \ 0)dx. & \end{aligned} 将L的方程表达为参数形式，⎩ ⎨ ⎧x=x，y=0，x从a变到b，根据第二类曲线积分的计算公式，得 ∫LP(x, y)dx=∫abP(x, 0)dx.

3. 计算下列对坐标的曲线积分： \begin{aligned}&3. \ 计算下列对坐标的曲线积分：&\end{aligned} 3. 计算下列对坐标的曲线积分：

( 1 ) ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x ，其中 L 是抛物线 y = x 2 上从点 ( 0 , 0 ) 到点 ( 2 , 4 ) 的一段弧； ( 2 ) ∮ L x y d x ，其中 L 为圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 ( a > 0 ) 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； ( 3 ) ∫ L y d x + x d y ，其中 L 为圆周 x = R c o s t ， y = R s i n t 上对应 t 从 0 到 π 2 的一段弧； ( 4 ) ∮ L ( x + y ) d x − ( x − y ) d y x 2 + y 2 ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 （按逆时针方向绕行）； ( 5 ) ∫ Γ x 2 d x + z d y − y d z ，其中 Γ 为曲线 x = k θ ， y = a c o s θ ， z = a s i n θ 上对应 θ 从 0 到 π 的一段弧； ( 6 ) ∫ Γ x d x + y d y + ( x + y − 1 ) d z ，其中 Γ 是从点 ( 1 , 1 , 1 ) 到点 ( 2 , 3 , 4 ) 的一段直线； ( 7 ) ∮ Γ d x − d y + y d z ，其中 Γ 为有向闭折线 A B C A ，这里的 A 、 B 、 C 依次为点 ( 1 , 0 , 0 ) 、 ( 0 , 1 , 0 ) 、 ( 0 , 0 , 1 ) ； ( 8 ) ∫ L ( x 2 − 2 x y ) d x + ( y 2 − 2 x y ) d y ，其中 L 是抛物线 y = x 2 上从点 ( − 1 , 1 ) 到点 ( 1 , 1 ) 的一段弧。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{L}(x^2-y^2)dx，其中L是抛物线y=x^2上从点(0, \ 0)到点(2, \ 4)的一段弧；\\\\ &\ \ (2)\ \ \oint_{L}xydx，其中L为圆周(x-a)^2+y^2=a^2\ (a \gt 0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ （按逆时针方向绕行）；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{L}ydx+xdy，其中L为圆周x=Rcos\ t，y=Rsin\ t上对应t从0到\frac{\pi}{2}的一段弧；\\\\ &\ \ (4)\ \ \oint_{L}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}，其中L为圆周x^2+y^2=a^2（按逆时针方向绕行）；\\\\ &\ \ (5)\ \ \int_{\Gamma}x^2dx+zdy-ydz，其中\Gamma为曲线x=k\theta，y=acos\ \theta，z=asin\ \theta上对应\theta从0到\pi的一段弧；\\\\ &\ \ (6)\ \ \int_{\Gamma}xdx+ydy+(x+y-1)dz，其中\Gamma是从点(1, \ 1, \ 1)到点(2, \ 3, \ 4)的一段直线；\\\\ &\ \ (7)\ \ \oint_{\Gamma}dx-dy+ydz，其中\Gamma为有向闭折线ABCA，这里的A、B、C依次为点(1, \ 0, \ 0)、(0, \ 1, \ 0)、(0, \ 0, \ 1)；\\\\ &\ \ (8)\ \ \int_{L}(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy，其中L是抛物线y=x^2上从点(-1, \ 1)到点(1,\ 1)的一段弧。 & \end{aligned} (1) ∫L(x2−y2)dx，其中L是抛物线y=x2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧； (2) ∮Lxydx，其中L为圆周(x−a)2+y2=a2 (a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； (3) ∫Lydx+xdy，其中L为圆周x=Rcos t，y=Rsin t上对应t从0到2π的一段弧； (4) ∮Lx2+y2(x+y)dx−(x−y)dy，其中L为圆周x2+y2=a2（按逆时针方向绕行）； (5) ∫Γx2dx+zdy−ydz，其中Γ为曲线x=kθ，y=acos θ，z=asin θ上对应θ从0到π的一段弧； (6) ∫Γxdx+ydy+(x+y−1)dz，其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线； (7) ∮Γdx−dy+ydz，其中Γ为有向闭折线ABCA，这里的A、B、C依次为点(1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)； (8) ∫L(x2−2xy)dx+(y2−2xy)dy，其中L是抛物线y=x2上从点(−1, 1)到点(1, 1)的一段弧。

解：

( 1 ) ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x = ∫ 0 2 ( x 2 − x 4 ) d x = − 56 15 . ( 2 ) L 分为两部分，分别为 L 1 和 L 2 ，将 L 1 表达为参数形式 { x = a + a c o s t ， y = a s i n t ， t 从 0 变到 π ， L 2 为有向线段 y = 0 ， x 从 0 变到 2 a ，则 ∮ L x y d x = ∫ L 1 x y d x + ∫ L 2 x y d x = ∫ 0 π a ( 1 + c o s t ) ⋅ a s i n t ⋅ ( − a s i n t ) d t + 0 = − a 3 ( ∫ 0 π s i n 2 t d t + ∫ 0 π s i n 2 t c o s t d t ) = − a 3 ( π 2 + 0 ) = − π 2 a 3 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \int_{L}(x^2-y^2)dx=\int_{0}^{2}(x^2-x^4)dx=-\frac{56}{15}.\\\\ &\ \ (2)\ L分为两部分，分别为L_1和L_2，将L_1表达为参数形式\begin{cases}x=a+acos\ t，\\\\y=asin\ t，\end{cases}t从0变到\pi，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ L_2为有向线段y=0，x从0变到2a，则\oint_{L}xydx=\int_{L_1}xydx+\int_{L_2}xydx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{\pi}a(1+cos\ t)\cdot asin\ t \cdot (-asin\ t)dt+0=-a^3\left(\int_{0}^{\pi}sin^2\ tdt+\int_{0}^{\pi}sin^2\ tcos\ tdt\right)=-a^3\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=-\frac{\pi}{2}a^3. & \end{aligned} (1) ∫L(x2−y2)dx=∫02(x2−x4)dx=−1556. (2) L分为两部分，分别为L1和L2，将L1表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=a+acos t，y=asin t，t从0变到π， L2为有向线段y=0，x从0变到2a，则∮Lxydx=∫L1xydx+∫L2xydx= ∫0πa(1+cos t)⋅asin t⋅(−asin t)dt+0=−a3(∫0πsin2 tdt+∫0πsin2 tcos tdt)=−a3(2π+0)=−2πa3.

( 3 ) ∫ L y d x + x d y = ∫ 0 π 2 [ R s i n t ⋅ ( − R s i n t ) + R c o s t ⋅ R c o s t ] d t = R 2 ∫ 0 π 2 c o s 2 t d t = 0. ( 4 ) 将 L 表达为参数形式 { x = a c o s t ， y = a s i n t ， t 从 0 变到 2 π ，则 ∮ L ( x + y ) d x − ( x − y ) d y x 2 + y 2 = 1 a 2 ∫ 0 2 π [ a ( c o s t + s i n t ) ⋅ ( − a s i n t ) − a ( c o s t − s i n t ) ⋅ a c o s t ] d t = 1 a 2 ∫ 0 2 π ( − a 2 ) d t = − 2 π . ( 5 ) ∫ Γ x 2 d x + z d y − y d z = ∫ 0 π [ k 2 θ 2 ⋅ k + a s i n θ ⋅ ( − a s i n θ ) − a c o s θ ⋅ ( a c o s θ ) ] d θ = ∫ 0 π ( k 3 θ 2 − a 2 ) d θ = 1 3 k 3 π 3 − a 2 π . ( 6 ) 将 Γ 表达为参数形式 { x = 1 + t ， y = 1 + 2 t ， z = 1 + 3 t ， t 从 0 变到 1 ，则 ∫ Γ x d x + y d y + ( x + y − 1 ) d z = ∫ 0 1 [ ( 1 + t ) ⋅ 1 + ( 1 + 2 t ) ⋅ 2 + ( 1 + t + 1 + 2 t − 1 ) ⋅ 3 ] d t = ∫ 0 1 ( 6 + 14 t ) d t = 13. ( 7 ) Γ 为有向线段 A B ， B C ， C A 依次连接而成， A B 表达为参数形式 { x = 1 − t ， y = t ， z = 0 ， t 从 0 变到 1 ， B C 表达为参数形式 { x = 0 ， y = 1 − t ， z = t ， t 从 0 变到 1 ， C A 表达为参数形式 { x = t ， y = 0 ， z = 1 − t ， t 从 0 变到 1 ， ∫ A B d x − d y + y d z = ∫ 0 1 [ ( − 1 ) − 1 + 0 ] d t = − 2 ， ∫ B C d x − d y + y d z = ∫ 0 1 [ 0 − ( − 1 ) + ( 1 − t ) ⋅ 1 ] d t = ∫ 0 1 ( 2 − t ) d t = 3 2 ， ∫ C A d x − d y + y d z = ∫ 0 1 ( 1 − 0 + 0 ) d t = 1 ，则 ∮ Γ d x − d y + y d z = − 2 + 3 2 + 1 = 1 2 . ( 8 ) ∫ L ( x 2 − 2 x y ) d x + ( y 2 − 2 x y ) d y = ∫ − 1 1 [ ( x 2 − 2 x ⋅ x 2 ) + ( x 4 − 2 x ⋅ x 2 ) ⋅ 2 x ] d x = ∫ − 1 1 ( 2 x 5 − 4 x 4 − 2 x 3 + x 2 ) d x = 2 ∫ 0 1 ( − 4 x 4 + x 2 ) d x = − 14 15 . \begin{aligned} &\ \ (3)\ \int_{L}ydx+xdy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[Rsin\ t\cdot (-Rsin\ t)+Rcos\ t\cdot Rcos\ t]dt=R^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\ 2tdt=0.\\\\ &\ \ (4)\ 将L表达为参数形式\begin{cases}x=acos\ t，\\\\y=asin\ t，\end{cases}t从0变到2\pi，则\oint_{L}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}\int_{0}^{2\pi}[a(cos\ t+sin\ t)\cdot (-asin\ t)-a(cos\ t-sin\ t)\cdot acos\ t]dt=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{2\pi}(-a^2)dt=-2\pi.\\\\ &\ \ (5)\ \int_{\Gamma}x^2dx+zdy-ydz=\int_{0}^{\pi}[k^2\theta^2\cdot k+asin\ \theta \cdot (-asin\ \theta)-acos\ \theta \cdot (acos\ \theta)]d\theta=\int_{0}^{\pi}(k^3\theta^2-a^2)d\theta=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{3}k^3\pi^3-a^2\pi.\\\\ &\ \ (6)\ 将\Gamma表达为参数形式\begin{cases}x=1+t，\\\\y=1+2t，\\\\z=1+3t，\end{cases}t从0变到1，则\int_{\Gamma}xdx+ydy+(x+y-1)dz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{1}[(1+t)\cdot 1+(1+2t)\cdot 2+(1+t+1+2t-1)\cdot 3]dt=\int_{0}^{1}(6+14t)dt=13.\\\\ &\ \ (7)\ \Gamma为有向线段AB，BC，CA依次连接而成，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ AB表达为参数形式\begin{cases}x=1-t，\\\\y=t，\\\\z=0，\end{cases}t从0变到1，BC表达为参数形式\begin{cases}x=0，\\\\y=1-t，\\\\z=t，\end{cases}t从0变到1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ CA表达为参数形式\begin{cases}x=t，\\\\y=0，\\\\z=1-t，\end{cases}t从0变到1，\int_{AB}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}[(-1)-1+0]dt=-2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{BC}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}[0-(-1)+(1-t)\cdot 1]dt=\int_{0}^{1}(2-t)dt=\frac{3}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{CA}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}(1-0+0)dt=1，则\oint_{\Gamma}dx-dy+ydz=-2+\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}.\\\\ &\ \ (8)\ \int_{L}(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy=\int_{-1}^{1}[(x^2-2x\cdot x^2)+(x^4-2x\cdot x^2)\cdot 2x]dx=\int_{-1}^{1}(2x^5-4x^4-2x^3+x^2)dx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 2\int_{0}^{1}(-4x^4+x^2)dx=-\frac{14}{15}. & \end{aligned} (3) ∫Lydx+xdy=∫02π[Rsin t⋅(−Rsin t)+Rcos t⋅Rcos t]dt=R2∫02πcos 2tdt=0. (4) 将L表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=acos t，y=asin t，t从0变到2π，则∮Lx2+y2(x+y)dx−(x−y)dy= a21∫02π[a(cos t+sin t)⋅(−asin t)−a(cos t−sin t)⋅acos t]dt=a21∫02π(−a2)dt=−2π. (5) ∫Γx2dx+zdy−ydz=∫0π[k2θ2⋅k+asin θ⋅(−asin θ)−acos θ⋅(acos θ)]dθ=∫0π(k3θ2−a2)dθ= 31k3π3−a2π. (6) 将Γ表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=1+t，y=1+2t，z=1+3t，t从0变到1，则∫Γxdx+ydy+(x+y−1)dz= ∫01[(1+t)⋅1+(1+2t)⋅2+(1+t+1+2t−1)⋅3]dt=∫01(6+14t)dt=13. (7) Γ为有向线段AB，BC，CA依次连接而成， AB表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=1−t，y=t，z=0，t从0变到1，BC表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=0，y=1−t，z=t，t从0变到1， CA表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=t，y=0，z=1−t，t从0变到1，∫ABdx−dy+ydz=∫01[(−1)−1+0]dt=−2， ∫BCdx−dy+ydz=∫01[0−(−1)+(1−t)⋅1]dt=∫01(2−t)dt=23， ∫CAdx−dy+ydz=∫01(1−0+0)dt=1，则∮Γdx−dy+ydz=−2+23+1=21. (8) ∫L(x2−2xy)dx+(y2−2xy)dy=∫−11[(x2−2x⋅x2)+(x4−2x⋅x2)⋅2x]dx=∫−11(2x5−4x4−2x3+x2)dx= 2∫01(−4x4+x2)dx=−1514.

4. 计算 ∫ L ( x + y ) d x + ( y − x ) d y ，其中 L 是： \begin{aligned}&4. \ 计算\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy，其中L是：&\end{aligned} 4. 计算∫L(x+y)dx+(y−x)dy，其中L是：

( 1 ) 抛物线 y 2 = x 上从点 ( 1 , 1 ) 到点 ( 4 , 2 ) 的一段弧； ( 2 ) 从点 ( 1 , 1 ) 到点 ( 4 , 2 ) 的直线段； ( 3 ) 先沿直线从点 ( 1 , 1 ) 到点 ( 1 , 2 ) ，然后再沿直线到点 ( 4 , 2 ) 的折线； ( 4 ) 曲线 x = 2 t 2 + t + 1 ， y = t 2 + 1 上从点 ( 1 , 1 ) 到点 ( 4 , 2 ) 的一段弧 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 抛物线y^2=x上从点(1, \ 1)到点(4, \ 2)的一段弧；\\\\ &\ \ (2)\ \ 从点(1, \ 1)到点(4, \ 2)的直线段；\\\\ &\ \ (3)\ \ 先沿直线从点(1, \ 1)到点(1, \ 2)，然后再沿直线到点(4, \ 2)的折线；\\\\ &\ \ (4)\ \ 曲线x=2t^2+t+1，y=t^2+1上从点(1, \ 1)到点(4, \ 2)的一段弧. & \end{aligned} (1) 抛物线y2=x上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧； (2) 从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段； (3) 先沿直线从点(1, 1)到点(1, 2)，然后再沿直线到点(4, 2)的折线； (4) 曲线x=2t2+t+1，y=t2+1上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧.

解：

( 1 ) 化为对 y 的定积分， L ： x = y 2 ， y 从 1 变到 2 ，则 ∫ L ( x + y ) d x + ( y − x ) d y = ∫ 1 2 [ ( y 2 + y ) ⋅ 2 y + ( y − y 2 ) ⋅ 1 ] d y = ∫ 1 2 ( 2 y 3 + y 2 + y ) d y = 34 3 . ( 2 ) L 方程为 y − 1 = 2 − 1 4 − 1 ( x − 1 ) ， x = 3 y − 2 ， y 从 1 变到 2 ，化为对 y 的定积分，则 ∫ L ( x + y ) d x + ( y − x ) d y = ∫ 1 2 [ ( 3 y − 2 + y ) ⋅ 3 + ( y − 3 y + 2 ) ⋅ 1 ] d y = ∫ 1 2 ( 10 y − 4 ) d y = 11. ( 3 ) 记 L 1 为从点 ( 1 , 1 ) 到点 ( 1 , 2 ) 的有向线段， L 2 为从点 ( 1 , 2 ) 到点 ( 4 , 2 ) 的有向线段， L 1 ： x = 1 ， y 从 1 变到 2 ， L 2 ： y = 2 ， x 从 1 变到 4 ， L 1 上， d x = 0 ， L 2 上， d y = 0 ，则 ∫ L 1 ( x + y ) d x + ( y − x ) d y = ∫ 1 2 ( y − 1 ) d y = 1 2 ， ∫ L 2 ( x + y ) d x + ( y − x ) d y = ∫ 1 4 ( x + 2 ) d x = 27 2 ，因此 ∫ L ( x + y ) d x + ( y − x ) d y = 1 2 + 27 2 = 14. ( 4 ) 根据 { 2 t 2 + t + 1 = 1 ， t 2 + 1 = 1 得 t = 0 ，根据 { 2 t 2 + t + 1 = 4 ， t 2 + 1 = 2 得 t = 1 ，因此 ∫ L ( x + y ) d x + ( y − x ) d y = ∫ 0 1 [ ( 2 t 2 + t + 1 + t 2 + 1 ) ⋅ ( 4 t + 1 ) + ( t 2 + 1 − 2 t 2 − t − 1 ) ⋅ 2 t ] d t = ∫ 0 1 ( 10 t 3 + 5 t 2 + 9 t + 2 ) d t = 32 3 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 化为对y的定积分，L：x=y^2，y从1变到2，则\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=\int_{1}^{2}[(y^2+y)\cdot 2y+(y-y^2)\cdot 1]dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{1}^{2}(2y^3+y^2+y)dy=\frac{34}{3}.\\\\ &\ \ (2)\ L方程为y-1=\frac{2-1}{4-1}(x-1)，x=3y-2，y从1变到2，化为对y的定积分，则\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{1}^{2}[(3y-2+y)\cdot 3+(y-3y+2)\cdot 1]dy=\int_{1}^{2}(10y-4)dy=11.\\\\ &\ \ (3)\ 记L_1为从点(1, \ 1)到点(1, \ 2)的有向线段，L_2为从点(1, \ 2)到点(4, \ 2)的有向线段，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ L_1：x=1，y从1变到2，L_2：y=2，x从1变到4，L_1上，dx=0，L_2上，dy=0，则\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{L_1}(x+y)dx+(y-x)dy=\int_{1}^{2}(y-1)dy=\frac{1}{2}，\int_{L_2}(x+y)dx+(y-x)dy=\int_{1}^{4}(x+2)dx=\frac{27}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 因此\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=\frac{1}{2}+\frac{27}{2}=14.\\\\ &\ \ (4)\ 根据\begin{cases}2t^2+t+1=1，\\\\t^2+1=1\end{cases}得t=0，根据\begin{cases}2t^2+t+1=4，\\\\t^2+1=2\end{cases}得t=1，因此\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{1}[(2t^2+t+1+t^2+1)\cdot (4t+1)+(t^2+1-2t^2-t-1)\cdot 2t]dt=\int_{0}^{1}(10t^3+5t^2+9t+2)dt=\frac{32}{3}. & \end{aligned} (1) 化为对y的定积分，L：x=y2，y从1变到2，则∫L(x+y)dx+(y−x)dy=∫12[(y2+y)⋅2y+(y−y2)⋅1]dy= ∫12(2y3+y2+y)dy=334. (2) L方程为y−1=4−12−1(x−1)，x=3y−2，y从1变到2，化为对y的定积分，则∫L(x+y)dx+(y−x)dy= ∫12[(3y−2+y)⋅3+(y−3y+2)⋅1]dy=∫12(10y−4)dy=11. (3) 记L1为从点(1, 1)到点(1, 2)的有向线段，L2为从点(1, 2)到点(4, 2)的有向线段， L1：x=1，y从1变到2，L2：y=2，x从1变到4，L1上，dx=0，L2上，dy=0，则 ∫L1(x+y)dx+(y−x)dy=∫12(y−1)dy=21，∫L2(x+y)dx+(y−x)dy=∫14(x+2)dx=227，因此∫L(x+y)dx+(y−x)dy=21+227=14. (4) 根据⎩ ⎨ ⎧2t2+t+1=1，t2+1=1得t=0，根据⎩ ⎨ ⎧2t2+t+1=4，t2+1=2得t=1，因此∫L(x+y)dx+(y−x)dy= ∫01[(2t2+t+1+t2+1)⋅(4t+1)+(t2+1−2t2−t−1)⋅2t]dt=∫01(10t3+5t2+9t+2)dt=332.

5. 一力场由沿横轴正方向的恒力 F 所构成，试求当一质量为 m 的质点沿圆周 x 2 + y 2 = R 2 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功 . \begin{aligned}&5. \ 一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周x^2+y^2=R^2按逆时针\\\\&\ \ \ \ 方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.&\end{aligned} 5. 一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.

解：

根据题意， F = ( ∣ F ∣ , 0 ) ， L ： x = R c o s t ， y = R s i n t ， t 从 0 变到 π 2 ，因此 W = ∫ L F ⋅ d r = ∫ L ∣ F ∣ d x + 0 d y = ∣ F ∣ ∫ 0 π 2 ( − R s i n t ) d t = − ∣ F ∣ R . \begin{aligned} &\ \ 根据题意，F=(|F|, \ 0)，L：x=Rcos\ t，y=Rsin\ t，t从0变到\frac{\pi}{2}，因此W=\int_{L}F\cdot dr=\int_{L}|F|dx+0dy=\\\\ &\ \ |F|\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(-Rsin\ t)dt=-|F|R. & \end{aligned} 根据题意，F=(∣F∣, 0)，L：x=Rcos t，y=Rsin t，t从0变到2π，因此W=∫LF⋅dr=∫L∣F∣dx+0dy= ∣F∣∫02π(−Rsin t)dt=−∣F∣R.

6. 设 z 轴与重力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 沿直线移到 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 时重力所作的功 . \begin{aligned}&6. \ 设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x_1,\ y_1, \ z_1)沿直线移到(x_2, \ y_2, \ z_2)时重力所作的功.&\end{aligned} 6. 设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x1, y1, z1)沿直线移到(x2, y2, z2)时重力所作的功.

解：

重力 F = ( 0 , 0 , m g ) ，质点移动的直线路径 L 的方程为 { x = x 1 + ( x 2 − x 1 ) t ， y = y 1 + ( y 2 − y 1 ) t ， z = z 1 + ( z 2 − z 1 ) t ， t 从 0 变到 1 ，则 W = ∫ L F ⋅ d r = ∫ L 0 d x + 0 d y + m g d z = ∫ 0 1 m g ( z 2 − z 1 ) d t = m g ( z 2 − z 1 ) . \begin{aligned} &\ \ 重力F=(0, \ 0, \ mg)，质点移动的直线路径L的方程为\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)t，\\\\y=y_1+(y_2-y_1)t，\\\\z=z_1+(z_2-z_1)t，\end{cases}t从0变到1，则\\\\ &\ \ W=\int_{L}F\cdot dr=\int_{L}0dx+0dy+mgdz=\int_{0}^{1}mg(z_2-z_1)dt=mg(z_2-z_1). & \end{aligned} 重力F=(0, 0, mg)，质点移动的直线路径L的方程为⎩ ⎨ ⎧x=x1+(x2−x1)t，y=y1+(y2−y1)t，z=z1+(z2−z1)t，t从0变到1，则 W=∫LF⋅dr=∫L0dx+0dy+mgdz=∫01mg(z2−z1)dt=mg(z2−z1).

7. 把对坐标的曲线积分 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 化成对弧长的曲线积分，其中 L 为： \begin{aligned}&7. \ 把对坐标的曲线积分\int_{L}P(x, \ y)dx+Q(x,\ y)dy化成对弧长的曲线积分，其中L为：&\end{aligned} 7. 把对坐标的曲线积分∫LP(x, y)dx+Q(x, y)dy化成对弧长的曲线积分，其中L为：

( 1 ) 在 x O y 面内沿直线从点 ( 0 , 0 ) 到点 ( 1 , 1 ) ； ( 2 ) 沿抛物线 y = x 2 从点 ( 0 , 0 ) 到点 ( 1 , 1 ) ； ( 3 ) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = 2 x 从点 ( 0 , 0 ) 到点 ( 1 , 1 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 在xOy面内沿直线从点(0, \ 0)到点(1, \ 1)；\\\\ &\ \ (2)\ \ 沿抛物线y=x^2从点(0, \ 0)到点(1, \ 1)；\\\\ &\ \ (3)\ \ 沿上半圆周x^2+y^2=2x从点(0, \ 0)到点(1, \ 1). & \end{aligned} (1) 在xOy面内沿直线从点(0, 0)到点(1, 1)； (2) 沿抛物线y=x2从点(0, 0)到点(1, 1)； (3) 沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到点(1, 1).

解：

( 1 ) L 为从点 ( 0 , 0 ) 到 ( 1 , 1 ) 的有向线段，其任一点处的切向量的方向余弦满足 c o s α = c o s β = c o s π 4 = 1 2 ，则 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L [ P ( x , y ) c o s α + Q ( x , y ) c o s β ] d s = ∫ L P ( x , y ) + Q ( x , y ) 2 d s . ( 2 ) L 表达为参数形式 { x = x ， y = x 2 ， x 由 0 变到 1 ，则 L 的切向量为 γ = ( 1 , y ′ ( x ) ) = ( 1 , 2 x ) ，方向余弦为 c o s α = 1 1 + y ′ 2 ( x ) = 1 1 + 4 x 2 ， c o s β = y ′ ( x ) 1 + y ′ 2 ( x ) = 2 x 1 + 4 x 2 ，则 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L P ( x , y ) + 2 x Q ( x , y ) 1 + 4 x 2 d s . ( 3 ) L 表达为参数形式 { x = x ， y = 2 x − x 2 ，， x 从 0 变到 1 ， L 的切向量的方向余弦为 c o s α = 1 1 + y ′ 2 ( x ) = 1 1 + ( 1 − x 2 x − x 2 ) 2 = 2 x − x 2 ， c o s β = y ′ ( x ) 1 + y ′ 2 ( x ) = 1 − x 2 x − x 2 ⋅ 2 x − x 2 = 1 − x ，则 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L [ 2 x − x 2 P ( x , y ) + ( 1 − x ) Q ( x , y ) ] d s . \begin{aligned} &\ \ (1)\ L为从点(0, \ 0)到(1, \ 1)的有向线段，其任一点处的切向量的方向余弦满足cos\ \alpha=cos\ \beta=cos\ \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则\int_{L}P(x, \ y)dx+Q(x,\ y)dy=\int_{L}[P(x, \ y)cos\ \alpha+Q(x, \ y)cos\ \beta]ds=\int_{L}\frac{P(x, \ y)+Q(x, \ y)}{\sqrt{2}}ds.\\\\ &\ \ (2)\ L表达为参数形式\begin{cases}x=x，\\\\y=x^2，\end{cases}x由0变到1，则L的切向量为\gamma=(1, \ y'(x))=(1, \ 2x)，方向余弦为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ cos\ \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+y'^2(x)}}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}，cos\ \beta=\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'^2(x)}}=\frac{2x}{\sqrt{1+4x^2}}，则\int_{L}P(x, \ y)dx+Q(x,\ y)dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{L}\frac{P(x,\ y)+2xQ(x, \ y)}{\sqrt{1+4x^2}}ds.\\\\ &\ \ (3)\ L表达为参数形式\begin{cases}x=x，\\\\y=\sqrt{2x-x^2}，\end{cases}，x从0变到1，L的切向量的方向余弦为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ cos\ \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+y'^2(x)}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\right)^2}}=\sqrt{2x-x^2}，cos\ \beta=\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'^2(x)}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\cdot \sqrt{2x-x^2}=1-x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则\int_{L}P(x, \ y)dx+Q(x,\ y)dy=\int_{L}[\sqrt{2x-x^2}P(x, \ y)+(1-x)Q(x, \ y)]ds. & \end{aligned} (1) L为从点(0, 0)到(1, 1)的有向线段，其任一点处的切向量的方向余弦满足cos α=cos β=cos 4π=2 1，则∫LP(x, y)dx+Q(x, y)dy=∫L[P(x, y)cos α+Q(x, y)cos β]ds=∫L2 P(x, y)+Q(x, y)ds. (2) L表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=x，y=x2，x由0变到1，则L的切向量为γ=(1, y′(x))=(1, 2x)，方向余弦为 cos α=1+y′2(x) 1=1+4x2 1，cos β=1+y′2(x) y′(x)=1+4x2 2x，则∫LP(x, y)dx+Q(x, y)dy= ∫L1+4x2 P(x, y)+2xQ(x, y)ds. (3) L表达为参数形式⎩ ⎨ ⎧x=x，y=2x−x2 ，，x从0变到1，L的切向量的方向余弦为 cos α=1+y′2(x) 1=1+(2x−x2 1−x)2 1=2x−x2 ，cos β=1+y′2(x) y′(x)=2x−x2 1−x⋅2x−x2 =1−x，则∫LP(x, y)dx+Q(x, y)dy=∫L[2x−x2 P(x, y)+(1−x)Q(x, y)]ds.

8. 设 Γ 为曲线 x = t ， y = t 2 ， z = t 3 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 ∫ Γ P d x + Q d y + R d z 化成对弧长的曲线积分 . \begin{aligned}&8. \ 设\Gamma为曲线x=t，y=t^2，z=t^3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分\\\\&\ \ \ \ \int_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz化成对弧长的曲线积分.&\end{aligned} 8. 设Γ为曲线x=t，y=t2，z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分 ∫ΓPdx+Qdy+Rdz化成对弧长的曲线积分.

解：

d x d t = 1 ， d y d t = 2 t = 2 x ， d z d t = 3 t 2 = 3 y ，参数 t 由小变大， Γ 的切向量的方向余弦为 c o s α = x ′ ( t ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) + z ′ 2 ( t ) = 1 1 + 4 x 2 + 9 y 2 ， c o s β = y ′ ( t ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) + z ′ 2 ( t ) = 2 x 1 + 4 x 2 + 9 y 2 ， c o s γ = z ′ ( t ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) + z ′ 2 ( t ) = 3 y 1 + 4 x 2 + 9 y 2 ，则 ∫ Γ P d x + Q d y + R d z = ∫ Γ P + 2 x Q + 3 y R 1 + 4 x 2 + 9 y 2 d s . \begin{aligned} &\ \ \frac{dx}{dt}=1，\frac{dy}{dt}=2t=2x，\frac{dz}{dt}=3t^2=3y，参数t由小变大，\Gamma的切向量的方向余弦为\\\\ &\ \ cos\ \alpha=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}，cos\ \beta=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}}=\frac{2x}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}，\\\\ &\ \ cos\ \gamma=\frac{z'(t)}{\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}}=\frac{3y}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}，则\int_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{\Gamma}\frac{P+2xQ+3yR}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}ds. & \end{aligned} dtdx=1，dtdy=2t=2x，dtdz=3t2=3y，参数t由小变大，Γ的切向量的方向余弦为 cos α=x′2(t)+y′2(t)+z′2(t) x′(t)=1+4x2+9y2 1，cos β=x′2(t)+y′2(t)+z′2(t) y′(t)=1+4x2+9y2 2x， cos γ=x′2(t)+y′2(t)+z′2(t) z′(t)=1+4x2+9y2 3y，则∫ΓPdx+Qdy+Rdz=∫Γ1+4x2+9y2 P+2xQ+3yRds.