用叉乘求法向量.doc

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平面法向量的求法及其应用

平面的法向量

1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类(从方向上分)，无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。

方法二：任何一个的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

图1-1C1CByFADxA1D1zB1E方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，(θ为,两者交角，且)，而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,。

图1-1

C1

C

B

y

F

A

D

x

A1

D1

z

B1

E

(注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。)

已知，，

试求(1)：(2)：

Key: (1) ;

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中，

图2-1-1αBAC求平面AEF的一个法向量

图2-1-1

α

B

A

C

AB

A

B

α

图2-1-2

C

求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，

AB是平面的一条斜线，，则AB与平面

所成的角为：

图2-1-1:

图2-1-2:

α图2-3ββα图2-2(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：

α

图2-3

β

β

α

图2-2

(图2-2);

(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。

求空间距离

(1)、异面直线之间距离:

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，

图2-4nabAB求a、b的法向量，即此异面直线

图2-4

n

a

b

A

B

②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；

③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为

图2-5AαM

图2-5

A

α

M

B

N

O

(2)、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A

AaBα图2-6为平面α内任一点，平面的法向量为

A

a

B

α

图2-6

平面α的距离公式为

(3)、直线与平面间的距离:

图2-7αβAB方法指导：如图2-6,直线

图2-7

α

β

A

B

，其中。是平面的法向量

(4)、平面与平面间的距离:

图2-8αa方法指导：如图2-7,两平行平面

图2-8

α

a

，其中。是平面、的法向量。

图2-9α

图2-9

α

a

图2-10βα(1)、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线()。

图2-10

β

α

(2)、证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。

图2-11αβ(3)、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直()

图2-11

α

β

(4)、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线()。

图3-1C

图3-1

C

D

M

A

P

B

1、(2005全国I，18)(本大题满分12分)

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点

(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC与PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小

解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

，，设平面PAD的法向量为

，，设平面PCD的法向量为

，，即平面PAD平面PCD。

，，

，，设平在AMC的法向量为.

又,设平面PCD的法向量为.

.

面AMC与面BMC所成二面角的大小为.

2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)

图3-2 如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

图3-2

已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D