一、图的定义和基本术语(Graph)
- （一）图的定义
- （二）图的基本术语
一、图的存储结构
- （一）邻接矩阵（Adjacency Matrix)
- - 1、无向图的邻接矩阵
  - 2、有向图的邻接矩阵
  - 3、网（即有权图）的邻接矩阵
  - 4、邻接矩阵的存储表示
  - 5、采用邻接矩阵表示法创建无向网
- （二）邻接表（链式）表示法(Adjacency List）
- - 1、无向图的邻接表表示
  - 2、有向图的邻接表表示
  - 3、图的邻接表的存储定义
  - 4、采用邻接表表示法创建无向图
  - 5、邻接矩阵与邻接表的比较
- （三）十字链表(Orthogonal List)
- - 1、弧结点的结构
  - 2、顶点结点的结构
  - 3、图的结构定义
  - 4、实例
  - 5、有向图G的十字链表
- （四）邻接多重表(Adjacent MultiList)
- - 1、边结点的结构
  - 2、顶点结点的结构
  - 3、图的结构定义
  - 4、实例
  - 4、练习：画出无向图G的邻接多重表

一、图的定义和基本术语(Graph)

（一）图的定义

图（Graph)是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。
G=(V,E)
V:顶点（数据元素）的又穷非空集合
E:边的又穷集合
无向图：每条边都是没有方向的
有向图：每条边都是有方向的，边也称作弧

（二）图的基本术语

设n表示图中顶点的数目，e表示边的数目
完全图：任意两个点都有一条边相连

稀疏图：如果边或者弧的个数满足e<n*log2n,则称作稀疏图，否则称作稠密图

对无向图来说：
邻接点：若顶点v和顶点w之间存在一条边a,则称顶点v和w互为邻接点。边a与顶点v和w相关联。
度：与顶点v关联的边的数目，记为TD(v)

对有向图来说：
1、<x,y>为有向边（弧），x为有向边的起点（弧尾），y为有向边的终点（弧头）
2、顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作ID(v)
3、顶点v的出度是以v为始点的有向边的条数，记作OD(v)

路径：连续的边构成的顶点序列
路径长度：路径上边或者弧的数目
简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径
简单回路（简单环）：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。

一、图的存储结构

图的存储表示特点：
1、图没有顺序存储结构，但可以借助二维数组来表示图的元素之间的关系
2、以顶点为核心，建立邻接点和弧的关系；

（一）邻接矩阵（Adjacency Matrix)

1、考虑到图是由两个顶点和边或弧两部分组成，合在一起比较困难，可以分为两个结构来存储
2、顶点因为不区分大小，主次，所以可以用一个一维数组来存储，记录各个顶点的信息
3、边或弧是顶点和顶点的关系，用邻接矩阵来存储，表示各个顶点之间的邻接关系。

1、无向图的邻接矩阵

2、有向图的邻接矩阵

3、网（即有权图）的邻接矩阵

4、邻接矩阵的存储表示

/*图的邻接矩阵存储表示法*/
//用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵
#define MaxInt 32767  //表示极大值，即无穷
#define MVNum 100  //最大顶点数
typedef char VerTexType;  //假设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;    //假设边的权值类型为整型
typedef struct
{VerTexType vexs[MVNum];    //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum];    //邻接矩阵int vexnum, arcnum;   //图的当前顶点数和边数
}AMGraph;

5、采用邻接矩阵表示法创建无向网

【算法步骤】
1、输入总顶点数和边数
2、依次输入点的信息存入到顶点表中
3、初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值
4、构造邻接矩阵

注意：
1、无向图需要为arcs[i][j]和arcs[j][i]赋值
2、有向图仅需为arcs[i][j]赋值

算法描述：

/*采用邻接矩阵表示法创建无向网*/
Status CreateUDN(AMGraph& G)
{cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入总顶点数和总边数for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)cin >> G.vexs[i];//依次输入顶点的信息for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值for (int j = 0;j < G.vexnum;++j)G.arcs[i][j] = MaxInt;for (int k = 0;k < G.arcnum;++k){cin >> v1 >> v2 >> w;//输入一条边依附的顶点和权值i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G, v2);//确定两个顶点v1和v2在G中的位置G.arcs[i][j] = w;//边<v1,v2>的权值置为wG.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];//置边<v1,v2>的对称点<v2,v1>的权值也为w}return OK;
}
/*在图中查找顶点的位置LocateVex()函数*/
int LocateVex(AMGraph G, VertexType u)
{//若在图中找到这个元素，则返回它的下标i,否则返回-1int i;for (i = 0;i < G.vexnum;++i)if (u == G.vexs[i])return i;return -1;
}

（二）邻接表（链式）表示法(Adjacency List）

是图的链式存储结构，基本思想就是只存储图中存在的边的信息，对不相邻的顶点则不保留信息
对图中每个顶点vi建立一个带头结点的单链表，把与vi相邻接的顶点放在这个链表中，一个单链表对应邻接矩阵中的一行，称为边链表。

1、无向图的邻接表表示

2、有向图的邻接表表示

3、图的邻接表的存储定义

分三部分：
1、图的结构定义
2、顶点的头结点结构
3、弧（边）的结点结构

/*图的邻接表的存储定义*/
//弧的结点结构
#define MVNum 100   //最大的顶点数
typedef struct ArcNode
{int adjvex;    //该边所指的顶点的位置struct ArcNode* nextarc;    //指向下一条边的指针OtherInfo info;  //和边相关的信息
}ArcNode;
//顶点的结点结构
typedef struct VNode
{VertexType data;//顶点信息ArcNode* firstarc;//指向第一条依附该顶点的边
}VNode,AdjList[MVNum];//AdjList表示邻接表类型
//AdjList v相当于VNode v[MVNum]//图的结构定义（邻接表）
typedef struct
{AdjList vertices;//vertices是vertex的复数int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和边数
}ALGraph;/*说明*/
ALGraph G;//定义了邻接表表示的图G
G.vexnum = 5;G.arcnum = 6;//图G包含了5个顶点和6条边
G.vertices[1].data = 'v2';//图G中第2个顶点是v2
p = G.vertices[1].firstarc;//指针p指向顶点v2的第一个边结点
p->adjvex = 4;//p指针所指边结点是到下标为4的结点的边

4、采用邻接表表示法创建无向图

【算法步骤】
1、输入总顶点数和总边数
2、建立顶点表

1、依次输入点的信息存入顶点表中
2、使每个表头结点的指针域初始化为NULL

3、创建邻接表

1、依次输入每条边依附的两个顶点
2、确定这两个顶点的序号i和j
3、将此边结点分别插入vi和vj对应的两个边链表的头部

/*采用邻接表表示法创建无向图*/
Status CreateUDG(ALGraph& G)
{//采用邻接表表示法，创建无向图Gcin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入顶点数和弧数for (int i = 0;i < G.vexnum;++i){cin >> G.vertices[i].data;//输入顶点值G.vertices[i].firstarc = NULL;//初始化表头结点的指针域为NULL}for (int k = 0;k < G.arcnum;++k)//输入各边，构造邻接表，头插法{cin >> v1 >> v2;//输入一条边依附的两个顶点i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G.v2);p1 = new ArcNode;//生成一个新的边结点*p1p1->adjvex = j;//邻结点序号为jp1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;//firstarc为空，所以nextarc也指向空，即最后的一个结点G.vertices[i].firstarc = p1;//将新结点*p1插入到顶点vi的边表头部p2 = new ArcNode;//生成一个新的边结点*p2p2->adjvex = i;p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;//插入弧结点到单链表G.vertices[j].firstarc = p2;//将新结点*p2插入到顶点vi的边表头部}//头插法return OK;
}

5、邻接矩阵与邻接表的比较

练习：画出有向图G的邻接矩阵、邻接表、逆邻接表

（三）十字链表(Orthogonal List)

十字链表是有向图的另一种链式存储结构，可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表

1、弧结点的结构

Tailvex:指示弧尾结点在图中的位置
headtex:指示弧头顶点在图中的位置
hlink:是指向弧头相同的下一条弧的指针
tlink：是指向弧尾相同的下一条弧的指针
Info:指向该弧的相关信息

/*弧结点的结构*/
typedef struct ArcBox
{int tailvex, headvex;//该弧的尾和头顶点的位置struct ArcBox* hlink, * tlink;//分别为弧头相同和弧尾相同的弧的指针域InfoType* info;//该弧相关信息的指针
}ArcBox;

2、顶点结点的结构

每个顶点有一个结点，它相当于出边表和入边表的表头结点。数据成员data存放与该顶点的相关信息。链域firstin指示以该顶点为弧头的第一个弧结点。链域firstout指示以该结点为弧尾的第一个弧结点。

/*顶点结点的结构*/
typedef struct VexNode
{VertexType data;ArcBox* firstin, * firstout;//分别指向该顶点第一条入弧和出弧
}VexNode;
//ArcBox为弧结点变量

3、图的结构定义

/*图的结构定义*/
typedef struct
{VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];//表头向量int vexnum, arcnum;//有向图的当前顶点数和弧数
}OLGraph;

4、实例

5、有向图G的十字链表

（四）邻接多重表(Adjacent MultiList)

邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构，由于用邻接表存储无向图时，虽然容易求出顶点和边的各种信息，但在邻接表中每一条边有两个结点，分别在第i和j个链表中，给图的某些操作带来不便，在邻接多重表中，每一条边只有一个边结点，为有关的处理提供了方便。

1、边结点的结构

mark：为标志域，可用以标记该条边是否被搜索过
ivex和jvex为该边依附的两个顶点在图中的位置
ilink:指向下一条依附于顶点的ivex的边
jlink:指向下一条依附于顶点jvex的边
info:为指向和边相关的各种信息个指针域

/*边结点结构*/
typedef struct EBox
{VisitIf mark;//访问标志域int ivex, jvex;//该边依附的两个顶点在表头数组中的位置struct Ebox* ilink, * jlink;//分别指向依附于ivex和jvex的下一条边InfoType* info;
}EBox;

2、顶点结点的结构

/*顶点结点的结构*/
typedef struct VexBox
{VertexType data;//存与顶点相关的信息EBox* firstedge;//指向第一条依附于该顶点的边
}VexBox;

3、图的结构定义

/*图的结构定义*/
typedef struct
{VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];//表头向量int vexnum, edgenum;//无向图的当前顶点数和弧数
}OLGraph;
//VexNode为顶点结点变量

4、实例

4、练习：画出无向图G的邻接多重表

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