数据结构之二叉树

树

什么是树？

树是一种一对多的数据结构。树有很多子集，比如：二叉树、完全二叉树、满二叉树、二叉搜索树等等。

树的特征：

没有父结点的叫做根，一个树有且只有一个根；
每个结点有0个或者多个子结点；
一棵树可以拥有子树，且不能相交；

树的案例：

度

什么是度：

每个结点拥有的子结点数量称为该结点的度。如上图D的结点度为3，度为0的结点称为叶结点，也就是没有子结点的结点。

树的深度

树中结点最大层次树称为树的深度或高度。

二叉树

二叉树是一种特殊的树，二叉树的特征：

每个结点最多有2个子结点的树，也就是不存在度大于2的情况
左右子树有一定的顺序（比如升序和降序），次序不能颠倒
即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

二叉树性质：

在二叉树的第i层上最对有2^-1个节点，（i >= 1）
二叉树中如果深度为k，那么最多有2^k-1个节点，(k >=1)
n0 = n2 + 1；n0表示度数为0的节点数（就是没有子节点的结点，可以理解成叶结点），n2表示度数为2的节点数。
在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树深度为【log2n】+1，其中【log2n】是向下取整的
若对含n个结点的完全二叉树从上到下从左到右进行1至n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点有以下特征：

若i=1；则该结点是二叉树的根，无双亲；否则，编号为【i/2】的结点为其双亲结点；
若2i>n；则该结点无左孩子，否则编号2i的结点为左孩子结点
若2i + 1 > n；则该结点无右孩子，否则2i+1的结点为右孩子结点

满二叉树：

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

也是所有非叶结点的子结点个数都为2，看起来呈水平对称。

特点：

叶子结点只能出现在最下面一层
非叶结点的度一定是2
在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多

完全二叉树：

特征：

该树非最后一层的结点都是满的
最后一层的叶结点必须集中在左边，也就是不允许倒数第二层的结点只有右子结点而没有左子结点
同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小

满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

二叉树的存储结构

顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置就是数组下表索引。

采用顺序存储，是合理的

当二叉树不为完全二叉树时

顺序存储结构图

其中^表示此位置没有存储结点，已经出现了空间浪费

因此：顺序存储一般适用于完全二叉树

2.二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储要求，那么考虑采用链式存储，有二叉树的定义而知，二叉树的每个结点最多有两个子结点，因此可以将结点数据结构定义成一个数据和两个指针域。

图示：

Lchild(左孩子指针)

Data（数据域）

Rchild（右孩子指针）

链表结构存储二叉树，称为二叉链表

二叉树遍历

二叉树遍历指从二叉树的根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点都被访问一次，且仅被访问一次。

访问次序可以分为四种：

前序遍历

从根结点出发，当第一次到达结点就输出结点数据，按照先左再右的方向访问

如图：

执行步骤：

从根结点，第一次到达A，输出A

继续向左，到达B，输出B

同样规则输出D、H

当到达叶结点H，返回D，此时已经第二次到达D，不再输出，开始向D右子树访问，不为空，访问到I，输出I

I为叶结点返回D，D的左右子结点访问完毕，返回到B，B右子树不为空，访问到E，输出E，依次类推

最终输出：ABDHIEJCFG

中序遍历

从根结点出发，每二次到达结点时就输出结点数据，按照先左后右

最终输出：HDIBJEAFCG

后序遍历

从二叉树根结点出发，每三次到达的结点时就输出该结点数据，按照先左后右

最终输出：HIDJEBFGCA

层次遍历

按照树的层次自上而下的遍历二叉树

最终输出：ABCDEFGHIJ

二叉树之霍夫曼树

霍夫曼树是二叉树的一种特殊方式，又称最优二叉树，其主要作用在于数据压缩和编码长度的优化。

路径和路径长度

路径：从一棵树中，从一个结点往下可以到达孩子或者孙子结点之间的通路叫做路径，通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1

A到D路径长度为2，A到C路径长度为1

结点的权以及带权路径的长度

权：若数中结点赋有某种含义的数值，把这个数值称为权

带权路径的长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积

树的带权路径长度=所有叶子结点的带权路径长度之和，记做WPL

WPL=6*2+3*2+8*2

霍夫曼树

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称霍夫曼树。

3.1.a WPL = 7*2 + 5*2 + 2*2 + 4*2=36

3.2.a WPL = 7*1 + 5*2 + 2*3 + 4*3=35

由ABCD构成叶子结点的二叉树形态有许多种，但是WPL最小的树只有3.1.b所示的形态。则3.1.b树为一棵霍夫曼树。

二叉排序树

二叉排序树又称二叉查找树，也称二叉搜索树。

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

若左子树不能空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值
若右子树不能空，则左子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值
左右子树也分别为二叉排序树

例子：

现有序列：61 87 59 47 35 73 51 98 37 93

索引 i = 0，A[i] = 61，结点61作为根结点