Matlab矩阵幂运算
Matlab帮助文档
help mpower
^ Matrix power.Z = X^y is X to the y power if y is a scalar and X is square. If yis an integer greater than one, the power is computed by repeatedsquaring. For other values of y the calculation involveseigenvalues and eigenvectors.Z = x^Y is x to the Y power if Y is a square matrix and x is a scalar.Computed using eigenvalues and eigenvectors.Z = X^Y, where both X and Y are matrices, is an error.C = MPOWER(A,B) is called for the syntax 'A ^ B' when A or B is anobject.See also power.
矩阵幂运算
Z = X^y,这里X是矩阵y是标量。如果y是一个比0大的整数,幂运算表示相同矩阵乘积,如果y取其他值,需要计算特征值和特征向量
Z = x^Y,这里Y是矩阵x是标量。使用特征值和特征向量进行计算
Z = X^Y,X和Y都是矩阵时,不能运算
简单的说,矩阵幂运算只能计算两种情况,矩阵的数次幂和数的矩阵次幂。前一种高等数学高等代数里面定义过了,后一种是Matlab自己定义的
这里着重介绍一下,第二种情况,数字的矩阵次幂,Z = x^Y,这种情况先对Y对角化,然后对对角线的每个元素做幂运算,然后通过逆变换变换回来
一般矩阵对角化过程:
A=[3 2 -1;-2 -2 2;3 6 -1]
[V,D]=eig(A) %V是特征向量,每一列是一个特征向量,D是对角阵,对角元素是对应的特征向量
T=inv(V)*A*V %inv(V)*A*V=D,所以V是变换使用的变换矩阵
执行结果
A =3 2 -1-2 -2 23 6 -1V =0.8890 0.2673 0.1654-0.2540 -0.5345 0.37370.3810 0.8018 0.9127D =2 0 00 -4 00 0 2T =2.0000 0 00.0000 -4.0000 0.0000-0.0000 -0.0000 2.0000
数字的矩阵次幂计算过程
A=[3 2 -1;-2 -2 2;3 6 -1]
S=2^A
[V,D]=eig(A)
A2=2^D %对角线分别做幂运算
S2=V*A2*inv(V) %做逆变换得到结果
执行结果
A =3 2 -1-2 -2 23 6 -1S =4.6563 1.3125 -0.6562-1.3125 1.3750 1.31251.9687 3.9375 2.0313V =0.8890 0.2673 0.1654-0.2540 -0.5345 0.37370.3810 0.8018 0.9127D =2 0 00 -4 00 0 2A2 =4.0000 0 00 0.0625 00 0 4.0000S2 =4.6563 1.3125 -0.6562-1.3125 1.3750 1.31251.9687 3.9375 2.0313
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