平衡二叉树AVL左旋，右旋，双旋—

概念分析

平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树，又被称为AVL树，它能保证查询效率较高
他具有以下特点：它是一颗空树或者它的左右两颗子树的高度差的绝对值不大于一，并且左右子树都是平衡二叉树，其也满足二叉排序树的特点

小练习

看过上述的概念之后，我们应该可以分辨哪些是平衡二叉树。

为什么出现平衡二叉树

上一章讲的是二叉排序树，其效率一般是大于链表的，那么如果我们添加的数列是{1,2,3,4,5,6}呢？
我们会发现一个问题，我们构建的BST成为了一个链表形状，但是效率却不如链表，因为进行遍历查找还需要判断是否有左子结点。

建立节点类和AVL类

结点类

class Node{int value;Node left;Node right;public Node(int value){this.value = value;}/*** 查找待删除的节点* @param value 待删除节点的值* @return 返回被删除的节点 不存在该节点则返回null*/public Node search(int value){if(this.value == value){return this;} else if (value < this.value){ // 二叉排序树的左子结点都小于其父结点的值if (this.left == null){return  null;}else {return this.left.search(value);}}else { // 如果不小于其父结点的值 那么可以判断在右子结点if (this.right == null){return  null;}else {return this.right.search(value);}}}/*** 查找待删除节点的父结点* @param value 待删除节点的值* @return 待删除节点的父结点*/public Node searchParent(int value){if((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)){return this;} else {if (value < this.value && this.left != null){return this.left.searchParent(value);} else if (value >= this.value && this.right != null){return this.right.searchParent(value);}else {return null;}}}/*** BST添加节点* @param node 待添加的节点*/public void add(Node node){if(node == null){return;}// 添加的节点小于此节点的值 我们将其添加到左子结点处if (node.value < this.value){if (this.left == null){this.left = node;}else {// 如果其左子结点不为空，那么我们将要插入的节点与其左子结点进行比较this.left.add(node);}}else { // 相等的或者大于的都添加到右子结点if (this.right == null){this.right = node;}else {this.right.add(node);}}// 左旋转发生在添加之后，如果右子树高度比左子树的高度超过一if (this.rightHeight() - 1 > this.leftHeight()){if (this.right != null && this.right.leftHeight() > this.right.rightHeight()){this.right.rightRotate();}this.leftRotate();}// 左子树高度比右子树的高度超过一if (this.leftHeight() - 1 > this.rightHeight()){if (this.left != null && this.left.rightHeight() > this.left.leftHeight()){this.left.leftRotate();}this.rightRotate();}}/*** BST中序遍历*/public void inorderTraversal(){if (this.left != null){this.left.inorderTraversal();}System.out.print(this.value + "\t");if (this.right != null){this.right.inorderTraversal();}}/*** 以当前节点为根节点的树的高度* @return 高度*/public int height(){return Math.max(this.left == null ? 0 : this.left.height(), this.right == null ? 0 : this.right.height()) + 1;}/*** 以当前结点为根节点的右子树的高度* @return 右子树的高度*/public int rightHeight(){if (this.right == null){return 0;}else {return this.right.height();}}/*** 以当前节点为根节点的左子树的高度* @return 左子树的高度*/public int leftHeight(){if (this.left == null){return 0;}else {return this.left.height();}}// 左旋转public void leftRotate(){// 1. 新建一个节点  值等于当前结点Node newNode = new Node(this.value);// 2. 新结点的左子结点指向当前结点的左子结点newNode.left = this.left;// 2. 新结点的右子结点指向当前结点的右子结点的左子结点newNode.right = this.right.left;// 4. 当前结点的值等于当前结点的右子结点this.value = this.right.value;// 5. 当前结点的有右子树等于右子结点的右子树this.right = this.right.right;// 6. 当前结点的左子树设置为新建的结点this.left = newNode;}// 右旋转public void rightRotate(){// 1. 新建一个结点  值等于当前结点Node newNode = new Node(this.value);// 2. 新结点的右子结点指向当前结点的右子结点newNode.right = this.right;// 3. 新结点的左子结点等于当前结点的左子结点的右子结点newNode.left = this.left.right;// 4. 当前结点的值等于当前结点的左子结点this.value = this.left.value;// 5. 当前结点的左子树等于当前结点的左子树的左子树this.left = this.left.left;// 6. 当前结点的右子树等于新建的节点this.right = newNode;}@Overridepublic String toString() {return "Node{" +"value=" + value +'}';}
}

AVL类

class AVLTree{Node root;/*** 找到左子树中最大的值* @param node 左子树的根节点* @return 返回左子树中最大的值*/public int deleteLeftMax(Node node){Node temp = node;while (temp.right != null){temp = temp.right;}// 找到左侧最大 将其删除temp = delete(temp.value);return temp.value;}/*** 找到右子树中最小的值* @param node 右子树的根节点* @return 返回右子树中最小的值*/public int deleteRightMin(Node node){Node temp = node;while (temp.left != null){temp = temp.left;}// 找到右侧最小 将其删除temp = delete(temp.value);return temp.value;}public Node delete(int value){// 如果当前BST为空 直接结束流程 返回空if (root == null){return null;} else {// 1. 先去找到待删除的节点Node targetNode = search(value);// 没有找到待删除节点if (targetNode == null){return null;}// 如果可以找到待删除节点 并且BST只有一个rootif (root.left == null && root.right == null){Node temp = root;root = null;return temp;}// 如果可以找到待删除节点 并且BST不只有一个root，那么待删除节点必然有父结点Node parent = searchParent(value);// 判断待删除节点是否是叶子节点if(targetNode.left == null && targetNode.right == null){if (parent.left != null &&parent.left.value == value){Node temp = parent.left;parent.left = null;return temp;} else if (parent.right != null && parent.right.value == value){Node temp = parent.right;parent.right = null;return temp;}else {return null;}}else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null){// 这种情况是待删除节点有两个子结点int target;
//                target = deleteRightMin(targetNode.right);target = deleteLeftMax(targetNode.left);targetNode.value = target;}else {// 待删除节点只有一个子结点// 待删除节点的子结点是左子结点if(targetNode.left != null){if (parent != null){if (parent.left.value == value){parent.left = targetNode.left;}else {parent.right = targetNode.left;}}else {root = targetNode.left;}}else {if (parent != null){if (parent.left.value == value){parent.left = targetNode.right;}else {parent.right = targetNode.right;}}else {root = targetNode.right;}}return targetNode;}return null;}}public Node search(int value){if (root == null){return null;}else {return root.search(value);}}public Node searchParent(int value){if (root == null){return  null;}else {return root.searchParent(value);}}/*** BST添加节点* @param node 待被添加的节点*/public void add(Node node){if (root == null) {root = node;}else {root.add(node);}}/*** BST实现中序遍历*/public void inorderTraversal(){if (root == null){System.out.println("BST为空");}else {root.inorderTraversal();}}}

一个小问题

我们怎么得到当前结点为根节点的子树的高度呢？
递归解决，取左边的最高值和右边最高值，取到最大值以后加上结点本身即为高度

/*** 以当前节点为根节点的树的高度* @return 高度*/public int height(){return Math.max(this.left == null ? 0 : this.left.height(), this.right == null ? 0 : this.right.height()) + 1;}

取左子树的高度：

 /*** 以当前节点为根节点的右子树的高度* @return 右子树的高度*/public int leftHeight(){if (this.left == null){return 0;}else {return this.left.height();}}

取右子树的高度：

/*** 以当前结点为根节点的右子树的高度* @return 右子树的高度*/public int rightHeight(){if (this.right == null){return 0;}else {return this.right.height();}}

左旋转

根据数列 {4, 3, 6, 5, 7, 8}创建一颗二叉排序树，我们发现树是这个样子的
这个是不满足二叉排序树的，我们要将其构建为二叉排序树，就需要进行左旋转。
步骤如下：

1.  我们新建一个结点，其值等于根节点
2.  将新建的结点的左子结点指向根节点的左子结点
3.  将新建节点的右子结点指向根节点的右子结点的左子结点
4.  将根节点的值置为根节点的右子结点的值
5.  将根节点的右子结点置为根节点的右子结点的右子结点
6.  将根节点的左子结点的值置为新建的节点

图解：

我们新建一个结点，值为4，其左子结点指向3，右子结点是7，之后将根节点的值置为6，根节点的右子结点置为根节点的右子结点的右子结点，那么就是我上图中右边画的这个二叉树，此时满足平衡二叉树。

代码实现：

public void leftRotate(){// 1. 新建一个节点  值等于当前结点Node newNode = new Node(this.value);// 2. 新结点的左子结点指向当前结点的左子结点newNode.left = this.left;// 2. 新结点的右子结点指向当前结点的右子结点的左子结点newNode.right = this.right.left;// 4. 当前结点的值等于当前结点的右子结点this.value = this.right.value;// 5. 当前结点的有右子树等于右子结点的右子树this.right = this.right.right;// 6. 当前结点的左子树设置为新建的结点this.left = newNode;
}

右旋转

根据数列{10, 12, 8, 9, 7, 6}创建一颗二叉排序树，我们发现树是这个样子的

此时左子树的高度大于了右子树的高度，且大于的值超过了1，我们需要对其进行右旋
步骤如下：

1. 新建一个结点，其值等于根节点
2. 新建结点的右子节点等于根节点右子节点
3. 新建结点的左子结点等于根结点的左子结点的右子结点
4. 根节点的值等于根节点的左子结点的值
5. 根节点的左子结点等于根结点的左子结点的左子结点
6. 根节点的右子结点等于新建的结点

图解：

代码如下

public void rightRotate(){// 1. 新建一个结点  值等于当前结点Node newNode = new Node(this.value);// 2. 新结点的右子结点指向当前结点的右子结点newNode.right = this.right;// 3. 新结点的左子结点等于当前结点的左子结点的右子结点newNode.left = this.left.right;// 4. 当前结点的值等于当前结点的左子结点this.value = this.left.value;// 5. 当前结点的左子树等于当前结点的左子树的左子树this.left = this.left.left;// 6. 当前结点的右子树等于新建的节点this.right = newNode;
}

双旋转

可是有的时候单旋转并不能解决问题，如下：
int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
使用此数列进行右旋转，会产生什么情况呢？

这就尴尬了，怎么右旋转完了感觉还得左旋转一下呢？

问题分析：
因为根节点的左子结点的右子树的高度大于其左子结点的左子树的高度，我们进行右旋转时，需要将根节点的左子树的右子结点设置为新结点的左子结点（看不懂的往上翻），根节点的左子结点设置为根节点的左子结点的左子结点，那问题来了，现在根结点的左子节点的左子树的高度已然小于根节点的右子结点的右子树的高度了，我们再将其旋转，只不过是将其左子树高变成右子树高而已。

解决办法：
我们可以先将根节点的左子结点进行一次左旋转，之后对根节点进行右旋转
如果是右子树出现这种情况，那我们让其右旋，之后左旋即可

情况限制：
必须是满足根节点的左右子树高度差的绝对值大于一，并且较高的那颗子树如果是左子树，这棵子树的根节点的右子树的高度大于其左子树的高度，或者较高的那颗子树是右子树，那么就是右子树的左子树的高度大于右子树的右子树的高度，这时候我们需要双旋转！！！

代码分析：

 // 插入在add方法的最后面，每次插入我们都进行一次判断是否需要旋转// 左旋转发生在添加之后，如果右子树高度比左子树的高度超过一if (this.rightHeight() - 1 > this.leftHeight()){if (this.right != null && this.right.leftHeight() > this.right.rightHeight()){this.right.rightRotate();}this.leftRotate();}// 左子树高度比右子树的高度超过一if (this.leftHeight() - 1 > this.rightHeight()){if (this.left != null && this.left.rightHeight() > this.left.leftHeight()){this.left.leftRotate();}this.rightRotate();}

小结

平衡二叉树是为了改进二叉排序树而设计的，重点是左旋转和右旋转，双旋转是指在满足左旋转或右旋转的基础上，再进行一次判断，然后将其调整为单次旋转可以调整为平衡二叉树的程度。

星光不符赶路人。