[ 数据结构 ] 平衡二叉树(AVL)--------左旋、右旋、双旋
2024-05-11 17:43:06
0 引出
数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在 回顾:二叉搜索树
- 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
1 平衡二叉树
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为 AVL 树， 可以保证查询效率较高。
- 具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等
- 如何保证在创建二叉排序树的过程中,一直都满足平衡二叉树呢?
- 在添加节点add方法的末尾判断(也可以说在非叶子节点处):如果左右子树高度差>1,那么考虑左旋/右旋/双旋
//添加节点public void add(BNode bnode) {if (bnode == null) {return;}if (bnode.value < this.value) {if (this.left == null) {this.left = bnode;} else {this.left.add(bnode);}} else {if (this.right == null) {this.right = bnode;} else {this.right.add(bnode);}}//考虑左旋
// if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {// leftRotate();
// }//考虑右旋
// if (leftTreeHeight()-rightTreeHeight() > 1) {// rightRotate();
// }//考虑双旋(单独的左旋/右旋可能不能解决问题)if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {if (right != null && right.leftTreeHeight() > right.rightTreeHeight()) {right.rightRotate();}leftRotate();return;//省的走下面代码,影响效率(因为涉及递归调用)}if (leftTreeHeight()-rightTreeHeight() > 1) {if (left != null && left.leftTreeHeight() < left.rightTreeHeight()) {left.leftRotate();}rightRotate();}}//返回当前节点的高度public int getHeight() {return Math.max(left == null ? 0 : left.getHeight(), right == null ? 0 : right.getHeight())+1;}//左子树高度public int leftTreeHeight() {if (left == null) {return 0;} else {return left.getHeight();}}//右子树高度public int rightTreeHeight() {if (right == null) {return 0;} else {return right.getHeight();}}
2 左旋
- 主要操作就是改变左旋节点4和其右子节点6的指针指向
- 首先拷贝4,新的4左指向3,右指向5
- 原来的4改为6,左指向新的4,右指向7
- 原来的6由于没有被指向,GC回收
- 左旋完成
//左旋public void leftRotate() {BNode newNode = new BNode(value);newNode.left = this.left;newNode.right = this.right.left;this.setValue(right.value);this.setLeft(newNode);this.setRight(this.right.right);}
3 右旋
- 属于左旋的镜像操作,改变右旋节点10和其左子节点8的指针指向
- 首先拷贝10,新的10左指向9,右指向12
- 原来的10改为8,左指向7,右指向新的10
- 原来的8由于没有被指向,GC回收
- 右旋完成
//右旋public void rightRotate() {BNode newNode = new BNode(value);newNode.right = this.right;newNode.left = this.left.right;this.setValue(left.value);this.setRight(newNode);this.setLeft(this.left.left);}
4 双旋
问题:前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。比如数列
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树.
int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树
解决如下:
当符合右旋转的条件时,如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度,先对当前这个结点的左节点进行左旋转,再对当前结点进行右旋转的操作即可
当符合左旋转的条件时,如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的高度,先对当前这个结点的右节点进行右旋转,再对当前结点进行左旋转的操作即可
//添加节点public void add(BNode bnode) {if (bnode == null) {return;}if (bnode.value < this.value) {if (this.left == null) {this.left = bnode;} else {this.left.add(bnode);}} else {if (this.right == null) {this.right = bnode;} else {this.right.add(bnode);}}//考虑左旋
// if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {// leftRotate();
// }//考虑右旋
// if (leftTreeHeight()-rightTreeHeight() > 1) {// rightRotate();
// }//考虑双旋(单独的左旋/右旋可能不能解决问题)if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {if (right != null && right.leftTreeHeight() > right.rightTreeHeight()) {right.rightRotate();}leftRotate();return;//省的走下面代码,影响效率(因为涉及递归调用)}if (leftTreeHeight()-rightTreeHeight() > 1) {if (left != null && left.leftTreeHeight() < left.rightTreeHeight()) {left.leftRotate();}rightRotate();}}
5 完整AVL树代码
//平衡二叉树
public class App05_AVLTree {public static void main(String[] args) {AVLTree tree = new AVLTree();
// int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
// int[] arr = {10,12, 8, 9, 7, 6};
// int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};int[] arr = {2,1,6,5,7,3};for (int i : arr) {tree.add(new BNode(i));}tree.infixOrder();System.out.println("根高度:"+tree.getRoot().getHeight());System.out.println("左子树高度:"+tree.getRoot().leftTreeHeight());System.out.println("右子树高度:"+tree.getRoot().rightTreeHeight());}
}class AVLTree {private BNode root;public BNode getRoot() {return root;}//中序遍历public void infixOrder() {if (root != null) {root.infixOrder();} else {System.out.println("树为空!!!");}}//添加节点public void add(BNode nd) {if (root == null) {root = nd;} else {root.add(nd);}}//找到删除节点及其父节点public BNode search(int value) {if (root == null) {return null;} else {return root.search(value);}}public BNode searchParent(int value) {if (root == null) {return null;} else {if (root.getLeft() == null && root.getRight() == null) {return null;} else {return root.searchParent(value);}}}//删除节点public void delNode(int value) {if (root == null) {return;} else {BNode target = search(value);BNode parent = searchParent(value);//为空则只能是删根节点//有的删才行if (target != null) {if (parent != null) {//删叶子节点if (target.getLeft() == null && target.getRight() == null) {if (parent.getLeft()!=null&&parent.getLeft().getValue() == value) {parent.setLeft(null);} else {parent.setRight(null);}//删有双子树的节点} else if (target.getLeft() != null && target.getRight() != null) {//target为左子树if (parent.getLeft().getValue() == value) {int max = delLeftTreeMax(target);target.setValue(max);//target为右子树} else {int min = delRightTreeMin(target);target.setValue(min);}//删有单子树的节点} else {//4种可能,左左,左右,右左,右右if (parent.getLeft()!=null&& parent.getLeft().getValue() == value && target.getLeft() != null) {parent.setLeft(target.getLeft());} else if (parent.getLeft() != null && parent.getLeft().getValue() == value && target.getRight() != null) {parent.setLeft(target.getRight());} else if (parent.getRight().getValue() == value && target.getLeft() != null) {parent.setRight(target.getLeft());} else {parent.setRight(target.getRight());}}} else {//没有父节点,说明就是删root,因为删除的节点存在//叶子if (root.getLeft() == null && root.getRight() == null) {root = null;//有双子树} else if (root.getLeft() != null && root.getRight() != null) {//用左子树最大或右子树最小都可以root.setValue(delLeftTreeMax(root.getLeft()));//有单子树} else {if (root.getRight() != null) {root = root.getRight();} else {root = root.getLeft();}}}} else {System.out.println("删除的节点不存在!!!");}}}//删左子树,最大值public int delLeftTreeMax(BNode nd) {BNode temp = nd;while (true) {if (temp.getRight() == null) {break;}temp = temp.getRight();}delNode(temp.getValue());return temp.getValue();}//删右子树,最小值public int delRightTreeMin(BNode nd) {BNode temp = nd;while (true) {if (temp.getLeft() == null) {break;}temp = temp.getLeft();}delNode(temp.getValue());return temp.getValue();}
}class BNode {private int value;private BNode left;private BNode right;public BNode(int value) {this.value = value;}public int getValue() {return value;}public void setValue(int value) {this.value = value;}public BNode getLeft() {return left;}public void setLeft(BNode left) {this.left = left;}public BNode getRight() {return right;}public void setRight(BNode right) {this.right = right;}@Overridepublic String toString() {return "BNode [value=" + value + "]";}//中序遍历public void infixOrder() {if (this.left != null) {this.left.infixOrder();}System.out.println(this);if (this.right != null) {this.right.infixOrder();}}//添加节点public void add(BNode bnode) {if (bnode == null) {return;}if (bnode.value < this.value) {if (this.left == null) {this.left = bnode;} else {this.left.add(bnode);}} else {if (this.right == null) {this.right = bnode;} else {this.right.add(bnode);}}//考虑左旋
// if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {// leftRotate();
// }//考虑右旋
// if (leftTreeHeight()-rightTreeHeight() > 1) {// rightRotate();
// }//考虑双旋(单独的左旋/右旋可能不能解决问题)if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {if (right != null && right.leftTreeHeight() > right.rightTreeHeight()) {right.rightRotate();}leftRotate();return;//省的走下面代码,影响效率(因为涉及递归调用)}if (leftTreeHeight()-rightTreeHeight() > 1) {if (left != null && left.leftTreeHeight() < left.rightTreeHeight()) {left.leftRotate();}rightRotate();}}//查找要删除节点public BNode search(int value) {if (this.value == value) {return this;} else if (value < this.value) {//这里对于==的处理与add方法保持一致if (this.left != null) {return this.left.search(value);}} else {if (this.right != null) {return this.right.search(value);}}return null;}//查找要删除的节点的父节点public BNode searchParent(int value) {if ((this.left != null && this.left.value == value) ||this.right != null && this.right.value == value) {return this;} else {if (value < this.value && this.left != null) {return this.left.searchParent(value);} else if (value >= this.value && this.right != null) {return this.right.searchParent(value);} else {return null;}}}//返回当前节点的高度public int getHeight() {return Math.max(left == null ? 0 : left.getHeight(), right == null ? 0 : right.getHeight())+1;}//左子树高度public int leftTreeHeight() {if (left == null) {return 0;} else {return left.getHeight();}}//右子树高度public int rightTreeHeight() {if (right == null) {return 0;} else {return right.getHeight();}}//左旋public void leftRotate() {BNode newNode = new BNode(value);newNode.left = this.left;newNode.right = this.right.left;this.setValue(right.value);this.setLeft(newNode);this.setRight(this.right.right);}//右旋public void rightRotate() {BNode newNode = new BNode(value);newNode.right = this.right;newNode.left = this.left.right;this.setValue(left.value);this.setRight(newNode);this.setLeft(this.left.left);}
}
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