最小环的几种解法（并查集、删边）

题目: https://www.luogu.org/problemnew/show/P2661
题解:
原理：
1.如果有两个点祖先节点相同，那么就可以构成一个环，长度为两个点到祖先节点长度之和+1。
2.新加入的一条边的两个端点在并查集中同祖先，则一定成环。

注意：图中不一定有一个环，即不一定是一个连通图，可能有好几个连通分量。

解法一：并查集+找爹函数传地址变量记录深度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f,i,k,cnt=0,ans=0x3f3f3f3f;//重要初始化
int fa[200005];
inline int find(int x,int &cnt)//找爹函数改进版
{//cnt要用地址来操作，因为是在递归中计数用的cnt++;//层数更新 if(fa[x]==x) return x;else return find(fa[x],cnt);
}
int main()
{cin>>n;for(i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;//并查集的初始化for(i=1;i<=n;i++){cin>>f;//在本题中，这条路径是i->f cnt=0;//重要的初始化 if(find(f,cnt)==i)//存在环路，可能=不止有一个环路 {ans=min(cnt,ans);//维护最小的环的长度 //在使用min或max时，要注意维护变量的初始化 }elsefa[i]=f;} cout<<ans<<endl;return 0;
}

解法二：带权路径并查集

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[200002],d[200002],n,minn,last;
int find(int x){//带权路径并查集模板 if(f[x]==x) return x;else{int last=f[x];//记录父节点 f[x]=find(f[x]);//更新祖先（开国太祖）节点 d[x]+=d[last];//更新路径长 return f[x];//不理解可以手推一遍并查集 }
}
void check(int a,int b){int x=find(a),y=find(b);if(x==y) minn=min(minn,d[a]+d[b]+1);
//新加入的一条边的两个端点在并查集中同祖先，则一定成环
//d[]保存该点到其祖先（开国太祖）的路径长度 else{f[x]=y;//合并 d[a]=d[b]+1;//更新路径长度 }}
int main(){int i,t;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++) f[i]=i;//并查集初始化minn=0x7777777;//重要初始化for(i=1;i<=n;i++){cin>>t;check(i,t);} cout<<minn<<endl;return 0;
}

解法三：
原理：环中元素的入度等于出度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define INF 200005
int to[N],indegree[N];//记录入度
bool visit[N];
int n;
void delzero(){bool flag=1;for(int i=1;i<=n;i++){//仅仅是一轮删除 if(indegree[i]==0&&!visit[i]){
//以i为起点的边未被访问过,且i点入度为0，即这是一条废边 flag=0;//标志着还有边可以删 visit[i]=1;//标记删除的点，在search()中不会被访问 indegree[to[i]]--;//删除一条边 }}if(flag) return;//没有废边可以删除了 else delzero();//进行下一轮删除
}
int ans=INF;//重要初始化
void search(int start,int now,int step){if(start==now){ans=min(ans,step);return;}//设置返回条件visit[now]=1;//标记 search(start,to[now],step+1); //利用递归遍历环
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>to[i];indegree[to[i]]++;//计算入度 }delzero();for(int i=1;i<=n;i++){if(!visit[i]){//剪枝 visit[i]=1;//标记，认为一个连通块中至多有一个环 search(i,to[i],1);//遍历所有环 }}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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