概率论重修笔记 6二维连续型.md

联合概率密度性质

∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy==1 ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy==1
P { X , Y ) 属于 D } = 求区间 D 的二重积分 ∫ ∫ f ( x , y ) d y P\{X,Y)属于D\}=求区间D的二重积分\int\int f(x,y)dy P{X,Y)属于D}=求区间D的二重积分∫∫f(x,y)dy

边缘概率密度

f X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy
f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx

条件概率密度

f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)} fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}} fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y)

独立性

f ( x , y ) = = f X ( x ) ∗ f Y ( y ) 时独立 f(x,y)==f_X(x)*f_Y(y)时独立 f(x,y)==fX(x)∗fY(y)时独立

课程6 [1分06秒]

设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度
f ( x ) = { C x y 0 < x < 1 , 0 < y < 1 0 其他 f(x)= \begin{cases} Cxy& 0<x<1,0<y<1\\ 0 & 其他 \end{cases} f(x)={Cxy00<x<1,0<y<1其他

求常数 C C C和概率 P { X + Y < 1 } P\{X+Y<1\} P{X+Y<1}(重点是二重积分的计算)
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的边缘概率密度
条件概率密度 f X ∣ Y ( x ∣ y ) f_{X|Y}(x|y) fX∣Y(x∣y)和 f Y ∣ X ( y ∣ x ) f_{Y|X}(y|x) fY∣X(y∣x)
判定 X X X和 Y Y Y是否独立

画出图像[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-QSrxynOH-1593171745557)(./img/4.png)]

带入公式 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy==1 ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy==1

x : 常数 − > 常数 , 即 0 − > 1 y : 函数 − > 函数 , 即 0 − > 1 x:常数->常数,即0->1\\y:函数->函数,即0->1 x:常数−>常数,即0−>1y:函数−>函数,即0−>1

∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y = = 1 = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 C x y d y = ∫ 0 1 1 2 ∗ C x y 2 ∣ 0 1 d x \int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy ==1\\=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}Cxydy\\=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}*Cxy^2|_0^1dx ∫−∞∞dx∫−∞∞f(x,y)dy==1=∫01dx∫01Cxydy=∫0121∗Cxy2∣01dx

= ∫ 0 1 1 2 C x d x = 1 4 C 所以 C = 4 =\int_{0}^{1}\frac{1}{2}Cx~dx\\=\frac{1}{4}C~~~所以C=4 =∫0121Cx dx=41C 所以C=4

把 C = 4 C=4 C=4带入原 f ( x ) f(x) f(x)

在画出图像 P { X + Y < 1 } P\{X+Y<1\} P{X+Y<1}[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4jSv3SoG-1593171745559)(./img/5.png)]

x : 常数 − > 常数 , 即 0 − > 1 y : 函数 − > 函数 , 即 0 − > − x + 1 x:常数->常数,即0->1\\y:函数->函数,即0->-x+1 x:常数−>常数,即0−>1y:函数−>函数,即0−>−x+1

求黑色块的积分即可

∫ 0 1 d x ∫ 0 − x + 1 4 x y d y = ∫ 0 1 2 x y 2 ∣ 0 − x + 1 d x = 1 / 6 \int_{0}^1dx\int_0^{-x+1}4xy~dy\\=\int_{0}^1{2xy^2|_0^{-x+1}}~dx\\=1/6 ∫01dx∫0−x+14xy dy=∫012xy2∣0−x+1 dx=1/6

( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的边缘概率密度

f X ( x ) 竖看 f_X(x)竖看 fX(x)竖看 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zfbOR1LA-1593171745562)(./img/6.png)]

得到范围 x : 常数到常数 ( 0 到 1 ) y : 函数导函数 ( 0 到 1 ) x:常数到常数(0到1)\\y:函数导函数(0到1) x:常数到常数(0到1)y:函数导函数(0到1)

f X ( x ) f_X(x) fX(x) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y = ∫ 0 1 4 x y d y = 2 x =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)~dy\\=\int_{0}^{1}4xy~dy\\=2x =∫−∞∞f(x,y) dy=∫014xy dy=2x

f X ( x ) = { 2 x 0 < x < 1 0 其他 f_X{(x)}=\begin{cases} 2x&0<x<1\\0&其他\end{cases} fX(x)={2x00<x<1其他

f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)~dx fY(y)=∫−∞∞f(x,y) dx

向 x x x方向看 x : 0 到 1 y : 0 到 1 x:0到1\\y:0到1 x:0到1y:0到1

f Y ( y ) = ∫ 0 1 4 x y d x = 2 y f_Y{(y)}=\int_{0}^{1}4xy~dx=2y fY(y)=∫014xy dx=2y

f Y y = { 2 y 0 < y < 1 0 其他 f_Y{y}=\begin{cases}2y&0<y<1\\0&其他\end{cases} fYy={2y00<y<1其他

条件概率密度 f X ∣ Y ( x ∣ y ) f_{X|Y}(x|y) fX∣Y(x∣y)和 f Y ∣ X ( y ∣ x ) f_{Y|X}(y|x) fY∣X(y∣x)

f X ∣ Y ( x ∣ y ) f_{X|Y}(x|y) fX∣Y(x∣y) = f ( x , y ) f Y ( y ) = 4 x y 2 y = { 2 x 0 < x < 1 , 0 < 1 < y 0 其他 =\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{4xy}{2y}=\begin{cases}2x & 0<x<1,0<1<y\\ 0 & 其他 \end{cases} =fY(y)f(x,y)=2y4xy={2x00<x<1,0<1<y其他

判定是否独立: 联合概率密度=边缘之积

f ( x , y ) = 4 x y f(x,y)=4xy f(x,y)=4xy

f X ( x ) ∗ f Y ( y ) = 2 x ∗ 2 y 相等所以独立 f_X(x)*f_Y(y)=2x*2y ~~~~~相等所以独立 fX(x)∗fY(y)=2x∗2y 相等所以独立

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