MCS：连续随机变量—

Weibull

韦布尔分布，即韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。

韦伯变量xxx有两个参数k1>0,k2>0k_1 > 0, k_2 > 0k1>0,k2>0，x>0x > 0x>0。

f(x)=k1k2×(xk2)k1−1e−(x/k2)k1，x>0f(x) = \frac{k_1}{k_2} \times \big(\frac{x}{k_2}\big)^{k_1 - 1} e^{-(x/k_2)^{k_1}}，x > 0f(x)=k2k1×(k2x)k1−1e−(x/k2)k1，x>0

F(x)=1−e−(x/k2)k1，x>0F(x) = 1 - e^{-(x/k_2)^{k_1}}，x > 0F(x)=1−e−(x/k2)k1，x>0

E(x)=k2k1Γ(1k1)E(x) = \frac{k_2}{k_1} \Gamma(\frac{1}{k_1})E(x)=k1k2Γ(k11)

V(x)=k22k1[2Γ(2k1)−1k1Γ(1k1)2]V(x) = \frac{k_2^2}{k_1} \Big[2\Gamma(\frac{2}{k_1}) - \frac{1}{k_1}\Gamma(\frac{1}{k_1})^2\Big]V(x)=k1k22[2Γ(k12)−k11Γ(k11)2]

Γ(k)\Gamma(k)Γ(k):Gamma函数:

Γ(k)=∫0∞tk−1e−tdt，k>0\Gamma(k) = \int_0^{\infty} t^{k-1}e^{-t}dt， k > 0Γ(k)=∫0∞tk−1e−tdt，k>0

k1<=1k_1 <= 1k1<=1，近似与指数分布
k1>1k_1 > 1k1>1，分布右倾
k1>=3k_1 >= 3k1>=3，近似正态分布

生成随机韦伯变量：

x=k2[−ln(1−u)]1/k1x = k_2\big[-ln(1 - u)\big]^{1/k_1}x=k2[−ln(1−u)]1/k1

例：变量xxx为韦伯变量，参数k1=4，k2=10k_1 = 4，k_2 = 10k1=4，k2=10，随机变量生成过程如下：

生成随机均匀变量:u∼U(0,1)，u=0.9u \sim U(0, 1)，u = 0.9u∼U(0,1)，u=0.9
x=10×[−ln(1−0.9)]1/4≈12.3183x = 10 \times [-ln(1 - 0.9)]^{1/4} \approx 12.3183x=10×[−ln(1−0.9)]1/4≈12.3183
x≈12.32x \approx 12.32x≈12.32

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_weibull(k1=1, k2 = 10):u = np.random.uniform(0, 1)x = k2 * np.power(-np.log(1 - u), 1/k1)return x

vars_1 = [generate_weibull(k1=0.5, k2=10) for i in range(10000)]
vars_2 = [generate_weibull(k1=1, k2=10) for i in range(10000)]
vars_3 = [generate_weibull(k1=2, k2=10) for i in range(10000)]
vars_4 = [generate_weibull(k1=3, k2=10) for i in range(10000)]

plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.title("WeiBull")
#plt.hist(vars_1, label='$k1=0.5$')
plt.hist(vars_2, label='$k1=1$', alpha=0.5)
plt.hist(vars_3, label='$k1=2$', alpha=0.5)
plt.hist(vars_4, label='$k1=3$', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.grid()

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