从旋转矩阵计算欧拉角

从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法，在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中，欧拉角的确定有时是必要的一步。然而，解决方案可能是明显的，也可能不是。

旋转矩阵

我们从三个主要轴的旋转的标准定义开始。

绕x轴的弧度旋转ψ\psiψ被定义为：
Rx(ψ)=[1000cos⁡ψ−sin⁡ψ0sin⁡ψcos⁡ψ]R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]Rx(ψ)=⎣⎡1000cosψsinψ0−sinψcosψ⎦⎤
类似地，绕y轴旋转的弧度定义为
Rx(ψ)=[cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ]R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{array}\right]Rx(ψ)=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤
最后，定义了沿z轴旋转的弧度为
Rz(ϕ)=[cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ0001]R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]Rz(ϕ)=⎣⎡cosϕsinϕ0−sinϕcosϕ0001⎦⎤
这三个角ψ,θ,ϕ\psi,\theta, \phiψ,θ,ϕ是欧拉角

广义旋转矩阵

一般的旋转矩阵可以有这样的形式

Rz(ϕ)=[R11R12R13R21R22R23R31R32R33]R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} R_{11}&R_{12}&R_{13} \\ R_{21}&R_{22}&R_{23} \\ R_{31}&R_{32} &R_{33} \end{array}\right]Rz(ϕ)=⎣⎡R11R21R31R12R22R32R13R23R33⎦⎤
这个矩阵可以被认为是一个三旋转的序列，每个主轴各一个。因为矩阵乘法不能交换，旋转的轴的顺序将影响结果。在这个分析中，我们先绕xxx轴旋转，然后绕yyy轴旋转，最后绕zzz轴旋转。这样的旋转序列可以用矩阵乘积表示。
R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=[cos⁡θcos⁡ϕsin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕcos⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕcos⁡θsin⁡ϕsin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕcos⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ψcos⁡θcos⁡ψcos⁡θ]\begin{aligned} R &=R_{z}(\phi) R_{y}(\theta) R_{x}(\psi) \\ &=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=⎣⎡cosθcosϕcosθsinϕ−sinθsinψsinθcosϕ−cosψsinϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕsinψcosθcosψsinθcosϕ+sinψsinϕcosψsinθsinϕ−sinψcosϕcosψcosθ⎦⎤
给定一个旋转矩阵RRR，通过将RRR中的每个元素与矩阵乘Rz(ϕ),Ryθ,Rx(ψ)R_z(\phi),R_y{\theta},R_x(\psi)Rz(ϕ),Ryθ,Rx(ψ)中的相应元素等价，可以计算出欧拉角ψ,θ,ϕ\psi,\theta, \phiψ,θ,ϕ。九个方程，可以用来找到欧拉角。

求出两个可能的角度θ\thetaθ

从R31R_{31}R31开始，我们发现
R31=−sinθR_{31}=-sin\thetaR31=−sinθ
这个方程可以倒过来表示
θ=−sin−1(R31)\theta=-sin^{-1}(R_{31})θ=−sin−1(R31)
然而，在解释这个等式时必须谨慎。由于$sin(\pi-\theta)=sin(\theta)，实际上有两个不同的值（对于 R31≠±1R_{31} \not=\pm1R31=±1）满足方程，因此，这两个值
θ1=−sin−1(R31)\theta{1}=-sin^{-1}(R_{31})θ1=−sin−1(R31)θ2=π−θ1=π+sin−1(R31)\theta_{2}=\pi-\theta_1=\pi+sin^{-1}(R_{31})θ2=π−θ1=π+sin−1(R31)
都是有效的解。我们将在后面处理 R31=±1R_{31} =\pm1R31=±1的特殊情况，因此使用旋转矩阵的R_{31}元素，我们能够确定两个可能的值。

找到ψ\psiψ对应的角度

想要找到ψ\psiψ的值，我们观察这一点
R32R33=tan(ψ)\frac{R_{32}}{R_{33}}=tan(\psi)R33R32=tan(ψ)
我们用这个方程来解出
ψ=atan2(R32,R33)\psi=atan2(R_{32},R_{33})ψ=atan2(R32,R33)
其中atan2(y,x)atan2(y, x)atan2(y,x)是两个变量xxx和yyy的arctanarctanarctan，类似于计算yx\frac{y}{x}xy的arctanarctanarctan，只是用两个参数的符号来确定结果的象限，其范围为[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]，函数atan2atan2atan2在许多编程语言中都可用。

在解释方程222时必须小心，如果cos(θ)>0cos(\theta)>0cos(θ)>0，那么ψ=atan2(R32,R33)\psi=atan2(R_{32},R_{33})ψ=atan2(R32,R33)。然而，当cos(θ)<0cos(\theta)<0cos(θ)<0，ψ=atan2(−R32,−R33)\psi=atan2(-R_{32},-R_{33})ψ=atan2(−R32,−R33)。处理这个问题的一个简单方法是使用这个方程
ψ=atan2(R32cosθ,R33cosθ)\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta},\frac{R_{33}}{cos\theta})ψ=atan2(cosθR32,cosθR33)
去计算ψ\psiψ。

方程333对除cosθ=0cos\theta = 0cosθ=0之外的所有情况都有效。
ψ=atan2(R32cosθ1,R33cosθ1)\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{1}})ψ=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)ψ=atan2(R32cosθ2,R33cosθ2)\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{2}})ψ=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)

求出ϕ\phiϕ对应的角度

类似的分析也适用于寻找。我们观察到
R21R11=tanϕ\frac{R_{21}}{R_{11}}=tan\phiR11R21=tanϕ
我们用这个方程解出了ϕ\phiϕ
ψ=atan2(R21cosθ1,R11cosθ1)\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{1}})ψ=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)ψ=atan2(R21cosθ2,R11cosθ2)\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{2}})ψ=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11)

cosθ≠0cos\theta\not=0cosθ=0时的两个解

对于cosθ≠0cos\theta\not=0cosθ=0的情况，我们现在有两个三个一组的欧拉角再现了旋转矩阵，为
ψ1,θ1,ϕ1\psi_1,\theta_1,\phi_1ψ1,θ1,ϕ1ψ2,θ2,ϕ2\psi_2,\theta_2,\phi_2ψ2,θ2,ϕ2
这两个解都是有效的。

如果cosθ=0cos\theta=0cosθ=0呢？

如果旋转矩阵的R31R_{31}R31元素为111或−1−1−1，对应的θ=−π2\theta=-\frac{\pi}{2}θ=−2πor θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}θ=2π，cosθ=0cos\theta=0cosθ=0上述就不起作用。当我们尝试使用上述技术来解决可能的值ψ,ϕ\psi,\phiψ,ϕ问题发生了，因为R11,R21,R32和R33R_{11},R_{21},R_{32}和R_{33}R11,R21,R32和R33可能值为000，因此ψ,ϕ\psi,\phiψ,ϕ变为
ψ=atan2(00,00)\psi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})ψ=atan2(00,00)ϕ=atan2(00,00)\phi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})ϕ=atan2(00,00)
这种情况下，R11、R21、R32R11、R21、R32R11、R21、R32和R33R33R33没有约束ψ,ϕ\psi,\phiψ,ϕ这些值。因此，我们必须利用旋转矩阵的不同元素来计算ψ,ϕ\psi,\phiψ,ϕ。

θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}θ=2π：
R12=sin⁡ψcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ=sin⁡(ψ−ϕ)R13=cos⁡ψcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕ=cos⁡(ψ−ϕ)R22=sin⁡ψsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕ=cos⁡(ψ−ϕ)=R13R23=cos⁡ψsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ=−sin⁡(ψ−ϕ)=−R12\begin{array}{l} R_{12}=\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=\sin (\psi-\phi) \\ R_{13}=\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=\cos (\psi-\phi) \\ R_{22}=\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi-\phi)=R_{13} \\ R_{23}=\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi-\phi)=-R_{12} \end{array}R12=sinψcosϕ−cosψsinϕ=sin(ψ−ϕ)R13=cosψcosϕ+sinψsinϕ=cos(ψ−ϕ)R22=sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ−ϕ)=R13R23=cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ−ϕ)=−R12
任意的ψ\psiψ和ϕ\phiϕ都满足方程。我们会发现
(ψ−ϕ)=atan2(R12,R13)(\psi-\phi)=atan2(R_{12},R_{13})(ψ−ϕ)=atan2(R12,R13)ψ=ϕ+atan2(R12,R13)\psi=\phi+atan2(R_{12},R_{13})ψ=ϕ+atan2(R12,R13)
θ=−π2\theta=-\frac{\pi}{2}θ=−2π：
R12=−sin⁡ψcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ=−sin⁡(ψ+ϕ)R13=−cos⁡ψcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕ=−cos⁡(ψ+ϕ)R22=−sin⁡ψsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕ=cos⁡(ψ+ϕ)=−R13R23=−cos⁡ψsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ=−sin⁡(ψ+ϕ)=R12\begin{array}{l} R_{12}=-\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=-\sin (\psi+\phi) \\ R_{13}=-\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=-\cos (\psi+\phi) \\ R_{22}=-\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi+\phi)=-R_{13} \\ R_{23}=-\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi+\phi)=R_{12} \end{array}R12=−sinψcosϕ−cosψsinϕ=−sin(ψ+ϕ)R13=−cosψcosϕ+sinψsinϕ=−cos(ψ+ϕ)R22=−sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ+ϕ)=−R13R23=−cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ+ϕ)=R12
同样
(ψ+ϕ)=atan2(−R12,−R13)(\psi+\phi)=atan2(-R_{12},-R_{13})(ψ+ϕ)=atan2(−R12,−R13)ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13)\psi=-\phi+atan2(-R_{12},-R_{13})ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13)

伪代码：

if (R31≠±1)θ1=−asin⁡(R31)θ2=π−θ1ψ1=atan⁡2(R32cos⁡θ1,R33cos⁡θ1)ψ2=atan⁡2(R32cos⁡θ2,R33cos⁡θ2)ϕ1=atan⁡2(R21cos⁡θ1,R11cos⁡θ1)ϕ2=atan⁡2(R21cos⁡θ2,R11cos⁡θ2)else ϕ=anything; can set to 0if (R31=−1)θ=π/2ψ=ϕ+atan⁡2(R12,R13)else θ=−π/2ψ=−ϕ+atan⁡2(−R12,−R13)end if end if \begin{array}{l} \text { if }\left(R_{31} \neq\pm 1\right) \\ \theta_{1}=-\operatorname{asin}\left(R_{31}\right) \\ \theta_{2}=\pi-\theta_{1} \\ \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \text { else } \\ \begin{array}{c} \phi=\text { anything; can set to } 0 \\ \text { if }\left(R_{31}=-1\right) \\ \theta=\pi / 2 \\ \psi=\phi+\operatorname{atan} 2\left(R_{12}, R_{13}\right) \\ \text { else } \\ \quad \quad \theta=-\pi / 2 \\ \quad \psi=-\phi+\operatorname{atan} 2\left(-R_{12},-R_{13}\right) \\ \text { end if } \end{array} \\ \text { end if } \end{array} if (R31=±1)θ1=−asin(R31)θ2=π−θ1ψ1=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)ψ2=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)ϕ1=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)ϕ2=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11) else ϕ= anything; can set to 0 if (R31=−1)θ=π/2ψ=ϕ+atan2(R12,R13) else θ=−π/2ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13) end if end if

实际例子

下面提供了一个例子，演示了从一个旋转矩阵中计算出ψ,θ,ϕ\psi,\theta, \phiψ,θ,ϕ。
假设要求我们找出产生这个矩阵的欧拉角
Rz(ϕ)=[.5−.1464.8536.5.8536−.1464−.7071.5.5]R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} .5&-.1464&.8536 \\ .5&.8536&-.1464\\ -.7071&.5&.5 \end{array}\right]Rz(ϕ)=⎣⎡.5.5−.7071−.1464.8536.5.8536−.1464.5⎦⎤
首先，求出可能θ\thetaθ的取值
θ1=−sin(−.7071)=π4\theta_1=-sin(-.7071)=\frac{\pi}{4}θ1=−sin(−.7071)=4π
θ2=π−θ1=3π4\theta_2=\pi-\theta_1=\frac{3\pi}{4}θ2=π−θ1=43π
然后，我们找到相应的数值
ψ1=atan⁡2(.5cos⁡(π/4),.5cos⁡(π/4))=π4ψ2=atan⁡2(.5cos⁡(3π/4),.5cos⁡(3π/4))=−3π4\begin{array}{l} \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}ψ1=atan2(cos(π/4).5,cos(π/4).5)=4πψ2=atan2(cos(3π/4).5,cos(3π/4).5)=−43π

ϕ1=atan⁡2(.5cos⁡(π/4),.5cos⁡(π/4))=π4ϕ2=atan⁡2(.5cos⁡(3π/4),.5cos⁡(3π/4))=−3π4\begin{array}{l} \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}ϕ1=atan2(cos(π/4).5,cos(π/4).5)=4πϕ2=atan2(cos(3π/4).5,cos(3π/4).5)=−43π
因此，解为
(π4,π4,π4),(−3π4,3π4,−3π4)(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4},-\frac{3\pi}{4})(4π,4π,4π),(−43π,43π,−43π)