图形学笔记（三）变换——缩放、镜像、切变
图形学笔记（五）光栅化——屏幕、像素、屏幕空间、视口变换、基础图元与三角形、采样、包围盒、锯齿或走样

1 三维空间中的变换

1.1 三维空间中的齐次坐标

与二维空间相似，有以下结论：

(x,y,z,w)在三维空间中表示的点：

1.2 三维空间中的变换

三维空间中齐次坐标的仿射变换矩阵(4*4)：

注意以上矩阵表示先线性变换，再平移。

三维空间中的缩放和平移：

1.2 三维旋转

1.2.1 绕固定轴旋转

在三维空间中，描述任意的旋转是不容易的。

所以我们以绕x轴旋转为例，观察上图，我们发现旋转过程中：

1. x是不变的，所以可以得到变换矩阵的第一个行向量(1,0,0,0)。
2. 然后对y和z进行 α \alpha α的旋转得到第二个行向量 ( 0 , cos ⁡ α , − sin ⁡ α , 0 ) (0,\cos\alpha,-\sin\alpha,0) (0,cosα,−sinα,0)和第三个行向量 ( 0 , sin ⁡ α , cos ⁡ α , 0 ) (0,\sin\alpha,\cos\alpha,0) (0,sinα,cosα,0)。

最后的旋转矩阵 R x ( α ) R_x(\alpha) Rx​(α)如下所示（同时也给出了 R y ( α ) R_y(\alpha) Ry​(α)、 R z ( α ) R_z(\alpha) Rz​(α)）：

上图中也可以看到，绕z轴旋转的推导过程和结果与x大致相同。

但是对于绕y轴旋转，由于 x × z = − y x\times z=-y x×z=−y，所以要将 − α -\alpha −α代入旋转矩阵的对应位置才会得到结果。所以绕y轴旋转的 R y ( α ) R_y(\alpha) Ry​(α)的四个三角函数是反的。

1.2.2 表示任意的3D旋转与欧拉角

任意一个3D的旋转都可以表示成绕x轴、y轴、z轴旋转的组合，如下所示。

其中， α β γ \alpha \beta \gamma αβγ分别代表物体绕x、y、z旋转的角度，它们也被称为欧拉角。

把任意的旋转表示成矩阵：
Rodtigues旋转公式

2 MVP变换

2.1 定义

MVP变换是模型变换（M）、视图变换（V）、投影变换（P）的统称。MVP变换操作的是三维空间中的点，经过MVP变换后会被映射到标准二维平面上（实际上这个标准二维平面仍保留了z轴坐标）。

2.2 理解

想象一下拍照片的过程，拍照就是一个把三维转化为二维的操作：
（1） 找到一个风景优美的地方把人安排好。（这一步在图形学中叫做model transformmation 模型变换，相当于把模型和场景搭建好。
（2）确定相机的摆放，选好角度和位置来放相机（相当于view transformmation，视图变换）。
（3）拍照。（projection transformation 投影变换，把三维空间投影到二维图片。）

总结：
视图变换，是指变换照相机的位置，角度。
模型变换，是指变换被照物体的位置，角度。
投影变换，是指把三维空间投影到二维图片。

3 View / Camera Transformation 视图变换

视图变换，是指变换照相机的位置，角度。

3.1 确定相机摆放的三个因素

确定相机的摆放要确定以下三个因素：

• Position e ⃗ \vec e e —— 放在哪？
• Look-at / gace direction g ^ \hat g g^​ —— 看谁？往哪看?
• Up direction t ^ \hat t t^ 相机的向上方向 —— 从哪个角度拍摄？
  

3.2 进行视图变换的方法

3.2.1 方便的表示相机

首先思考下面的问题：
首先如果一个相机和它拍摄的物品一起同样运动，那得到的投影会是相同的，如下所示。

所以有没有一个方便的方法来表示相机呢？

一个约定俗成的规矩就是我们把所有相机的：
（1）位置都固定在原点
（2）向上的方向都固定为Y轴正向
（3）看向的方向都是 -Z方向

（4）然后再让其他物体都与相机一起挪过来就好了。

3.2.2 移动相机的过程：

（1）把 e ⃗ \vec e e 移向原点
（2）把 g ^ \hat g g^​的方向旋转到-Z
（3）把 t ^ \hat t t^的方向旋转到Y
（4）把 ( g ^ × t ^ ) (\hat g \times \hat t) (g^​×t^)旋转到X
我们把以上的过程写成矩阵形式：
M v i e w = R v i e w T v i e w M_{view} = R_{view}T_{view} Mview​=Rview​Tview​
（1）首先求把 e ⃗ \vec e e 移向原点的变换矩阵，如下所示，只是一个简单的平移变换矩阵：

（2）然后求把 g ^ \hat g g^​的方向旋转到-Z，把 t ^ \hat t t^的方向旋转到Y， 把 ( g ^ × t ^ ) (\hat g \times \hat t) (g^​×t^)旋转到X的变换矩阵。

首先这个矩阵是个旋转矩阵，但是把以上三个方向旋转到坐标轴的旋转矩阵是非常难求的。

那么不妨动用一下逆向思维，求这个旋转矩阵的逆矩阵，即把X旋转到 g × t g \times t g×t，Y旋转到t，Z旋转到-g，这个矩阵相对简单，如下所示。

R v i e w − 1 = ( x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ) R_{view}^{-1}=\begin{pmatrix} x_{\hat g \times \hat t}&x_{t}&x_{-g}&0\\ y_{\hat g \times \hat t}&y_{t}&y_{-g}&0\\ z_{\hat g \times \hat t}&z_{t}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} Rview−1​=⎝⎜⎜⎛​xg^​×t^​yg^​×t^​zg^​×t^​0​xt​yt​zt​0​x−g​y−g​z−g​0​0001​⎠⎟⎟⎞​

不理解的话可以用代表轴的列向量来验证一下，比如使用表示X轴列向量 ( 1 , 0 , 0 , 0 ) T (1,0,0,0)^T (1,0,0,0)T来进行以下运算：
( x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ) × ( 1 0 0 0 ) = ( x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 ) \begin{pmatrix} x_{\hat g \times \hat t}&x_{t}&x_{-g}&0\\ y_{\hat g \times \hat t}&y_{t}&y_{-g}&0\\ z_{\hat g \times \hat t}&z_{t}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{\hat g \times \hat t}\\ y_{\hat g \times \hat t}\\ z_{\hat g \times \hat t}\\ 0\\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛​xg^​×t^​yg^​×t^​zg^​×t^​0​xt​yt​zt​0​x−g​y−g​z−g​0​0001​⎠⎟⎟⎞​×⎝⎜⎜⎛​1000​⎠⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎛​xg^​×t^​yg^​×t^​zg^​×t^​0​⎠⎟⎟⎞​
Y轴和Z轴同理，都可以通过以上矩阵完成旋转。

然后，由于旋转矩阵是正交矩阵，矩阵的逆等于矩阵的转置，所以我们把它转置回来，就可以得到我们要的旋转矩阵：
R v i e w = ( x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ) R_{view}=\begin{pmatrix} x_{\hat g \times \hat t}&y_{\hat g \times \hat t}&z_{\hat g \times \hat t}&0\\ x_{t}&y_{t}&z_{t}&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} Rview​=⎝⎜⎜⎛​xg^​×t^​xt​x−g​0​yg^​×t^​yt​y−g​0​zg^​×t^​zt​z−g​0​0001​⎠⎟⎟⎞​

4 Projection transformation 投影变换

投影是将3D转化为2D的变换。

4.1 正交投影和透视投影

投影变换包含两种：

• Orthographic projection 正交投影（没有近大远小）
• Perspective projection 透视投影（近大远小）
  

4.2 正交投影 Orthographic Projection

4.2.1 正交投影的简单的理解方式

• 相机处在原点，看向-Z，向上朝向Y
• 去掉空间中物体的Z坐标，得到一个矩形
• 把矩形的尺寸缩放到 [ − 1 , 1 ] 2 [-1,1]^2 [−1,1]2
  

4.2.2 普遍的理解方式

一、定义空间中的立方体，把立方体([l,r] × [ b , t ] × [ f , n ] \times[b,t]\times[f,n] ×[b,t]×[f,n])映射到正则(canonical)立方体 [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^3 [−1,1]3 上。

具体做法：

1. 把中心移到原点
2. 把x、y、z的值拉伸成[-1,1]

4.2.3 正交投影的变换矩阵

M o r t h o = ( 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ) M_{ortho}=\begin{pmatrix} \frac2{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac2{t-b}&0&0\\ 0&0&\frac2{n-f}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}2\\ 0&1&0&-\frac{t+b}2\\ 0&0&1&-\frac{n+f}2\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} Mortho​=⎝⎜⎜⎛​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​⎠⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎛​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​⎠⎟⎟⎞​
矩阵解读：（从右向左看）首先把中心点移到原点，然后缩放。

注意：n>f，近大于远。

4.3 透视投影

• 在图形学，艺术，虚拟系统中很常用。
• 近大远小。
• 投影后会使得平行的线不再平行。

在齐次坐标中，(1,0,0,1)和(2,0,0,2)表示的是同一个点。

4.3.1 如何做透视投影

• 首先把截头体(frustum)挤成立方体(cuboid)。(假设变换矩阵为： M p e r s p − > o r t h o M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​)
• 做正交投影(变换矩阵为： M o r t h o M_{ortho} Mortho​)。
  

4.3.2 M p e r s p − > o r t h o M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​的推导

首先要寻找 ( x ′ , y ′ , z ′ ) (x^{'},y^{'},z^{'}) (x′,y′,z′)和 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)的关系，先从侧面看，根据相似三角形得到以下关系。

同理，可得到x，y和x如下所示。

在齐次坐标系下，我们可以发现向量 ( x , y , z ) T (x,y,z)^T (x,y,z)T发生了以下变化（z仍然未知），然后稍微转化一下形式，让列向量乘以n。

上面的式子说明，

所以，我们能够算出 M p e r s p − > o r t h o M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​的一部分参数，如下所示。

然后，现在第三行还没有得出，我们观察一下与第三行相关的z，得到两个特点。

• 任何在近（n）面上的点没有变化。
  所以我们得到以下式子，(把z=n带进去，然后列向量乘以n)

可以看到结果列向量的第三行是 n 2 n^2 n2，所以第三行必须是(0,0,A,B)的形式。然后可以得到：

• 任何远（f）平面上点的z没有变化。
  这次我们选取原平面上的中心点(0,0,f,1)做为特殊点，得到：
  

最后解方程得到：

所以得到 M p e r s p − > o r t h o M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​：
M p e r s p − > o r t h o = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) M_{persp->ortho}=\begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0\\ \end{pmatrix} Mpersp−>ortho​=⎝⎜⎜⎛​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​⎠⎟⎟⎞​

4.3.3 透视投影的变换矩阵 M p e r s p M_{persp} Mpersp​

M p e r s p = M o r t h o M p e r s p − > o r t h o M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho} \\ Mpersp​=Mortho​Mpersp−>ortho​
M p e r s p − > o r t h o = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) M_{persp->ortho}=\begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0\\ \end{pmatrix} Mpersp−>ortho​=⎝⎜⎜⎛​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​⎠⎟⎟⎞​
M o r t h o = ( 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ) M_{ortho}=\begin{pmatrix} \frac2{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac2{t-b}&0&0\\ 0&0&\frac2{n-f}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}2\\ 0&1&0&-\frac{t+b}2\\ 0&0&1&-\frac{n+f}2\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} Mortho​=⎝⎜⎜⎛​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​⎠⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎛​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​⎠⎟⎟⎞​

5 视锥

5.1定义视锥的方法

从相机出发，看到一个近平面，并定义这个近平面的：

1. 长宽比(Aspect ratio)=宽度/高度（16:9）
2. 垂直可视角度(forV)（Field of View）：看到角度的范围。
   

所谓广角就是可视角度比较大。

5.2 根据垂直可视角度和长宽比确定l,r,b,t（左，右，上，下）

其中n是相机到近平面的距离。

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