问题提出

之前讲到绕任一向量旋转矩阵实现，原来的向量都是从原点出发，现在把出发点改变成任意一点。

除了需要计算旋转矩阵，还可以支持2个旋转矩阵的乘法操作。就是2个旋转矩阵依次作用以后的一个综合结果。

问题分析

从某点出发沿某一方向旋转实现

从原点出发的旋转是已经实现的，我的思路是把坐标系统一平移一个(-x0, -y0,-z0)，然后作用旋转矩阵，最后再平移回去。

用公式表示, RT1表示旋转矩阵，O1表示出发点。

P ′ = R T 1 ⋅ ( P − O 1 ) + O 1 （ 1 ） P' = RT1\cdot(P-O1)+O1 （1） P′=RT1⋅(P−O1)+O1（1）

既我们只要用一个旋转矩阵RT加一个出发点O就可以表示这个旋转动作。那么如果是2个旋转动作叠加怎么去用一个旋转动作来表示呢。

旋转相乘

有一种方法是用奇次矩阵来表示一个平移和旋转的组合，然后矩阵可以相乘，但是这种方式需要用到4*4的矩阵效率上没有3*3的矩阵来得高。

我这边通过公式推导得到一种新的表示方法。

首先对式子（1）进行展开再合并同类项得到

P ′ = R T 1 ⋅ P + ( I − R T 1 ) ⋅ O 1 P'=RT1\cdot P+(I-RT1)\cdot O1 P′=RT1⋅P+(I−RT1)⋅O1

( I − R T 1 ) ⋅ O 1 是一个常量， (I-RT1)\cdot O1 是一个常量， (I−RT1)⋅O1是一个常量，

即只要一个表示形如 R T ⋅ P + Q ( Q 是一个常量 ) 的形式，即只要一个表示形如 RT\cdot P+Q(Q是一个常量)的形式，即只要一个表示形如RT⋅P+Q(Q是一个常量)的形式，

就可用一个矩阵加一个出发点的形式来表示。就可用一个矩阵加一个出发点的形式来表示。就可用一个矩阵加一个出发点的形式来表示。

出发点 O = ( I − R T ) − 1 Q 出发点O=(I-RT)^{-1}Q 出发点O=(I−RT)−1Q

现在有第二个旋转RT2，O2作用于P’ 得到

P ′ ′ = R T 2 ⋅ P ′ + ( I − R T 2 ) ⋅ O 2 P''=RT2\cdot P' + (I-RT2)\cdot O2 P′′=RT2⋅P′+(I−RT2)⋅O2

= R T 2 ⋅ R T 1 ⋅ P + R T 2 ⋅ ( I − R T 1 ) ⋅ O 1 + ( I − R T 2 ) ⋅ O 2 =RT2\cdot RT1 \cdot P + RT2\cdot (I-RT1)\cdot O1 + (I-RT2)\cdot O2 =RT2⋅RT1⋅P+RT2⋅(I−RT1)⋅O1+(I−RT2)⋅O2

上式中 , R T = R T 2 ⋅ R T 1 上式中, RT = RT2\cdot RT1 上式中,RT=RT2⋅RT1

O = ( I − R T ) − 1 ⋅ [ R T 2 ⋅ ( I − R T 1 ) ⋅ O 1 + ( I − R T 2 ) ⋅ O 2 ] O = (I-RT)^{-1}\cdot [RT2\cdot (I-RT1)\cdot O1 + (I-RT2)\cdot O2] O=(I−RT)−1⋅[RT2⋅(I−RT1)⋅O1+(I−RT2)⋅O2]

这样，我们就得了两个刚体变换的综合变换。

但是上面的方法有一个问题，当(I-RT)不可逆时，那么该公式失效。
我的理解是，当(I-RT)不可逆时，O并不是没有解，而是有很多个解。

那么我们要另选他法。

再观察（1）式，其实我们并不需要求出O，只要求出Q就可以了。

R T = R T 2 ⋅ R T 1 , Q = R T 2 ⋅ Q 1 + Q 2 RT = RT2\cdot RT1, Q=RT2\cdot Q_1 + Q_2 RT=RT2⋅RT1,Q=RT2⋅Q1+Q2

这个方法与奇次矩阵相比，计算量小很多。

代码实现

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namespace acamcad {const double pi = acos(-1);using Point = Eigen::Vector3d;class RigidRTMatrix {private:Eigen::Matrix3d mat;Eigen::Vector3d trans;public:RigidRTMatrix(Point start, Point end, double theta) {cout << "generate RigidRTMatrix 2" << endl;Eigen::Vector3d v = end - start;cout << "v:" << v << endl;cout << "angle:" << theta << endl;assert(!v.isZero());// Point::Zero();v.normalize();Eigen::Vector3d X(1,0,0);Eigen::Vector3d m = v.cross(X);// todo m=0时特殊处理if (m.isZero()) {if (v.dot(X) > 0) m = { 0,1,0 }; // 直接等于Y轴else m = { 0,-1,0 }; // 等于Y轴的反轴}auto RY = GetRY(m);// 将v 旋转至ZOX 平面。auto vZOX = RY * v;auto RX = GetRX(vZOX);auto Xrotate = GetXRotate(theta);mat = RY.transpose() * RX.transpose() * Xrotate * RX * RY;cout << "mat create :" << mat << endl;trans = (Eigen::Matrix3d::Identity() - mat) * start; // 存储总体位移}RigidRTMatrix() {}// 给定YOX平面上的单位M向量，将其旋转到Y轴上。Eigen::Matrix3d GetRY(Eigen::Vector3d m) {assert(!m.isZero());m.normalize();Eigen::Matrix3d RY;RY.setIdentity();RY(1, 1) = m.y();RY(1, 2) = m.z();RY(2, 1) = -m.z();RY(2, 2) = m.y();return RY;}// 给定ZOX平面上的单位M向量，将其旋转到X轴上。Eigen::Matrix3d GetRX(Eigen::Vector3d m) {assert(!m.isZero());m.normalize();Eigen::Matrix3d RX;RX.setIdentity();RX(0, 0) = m.x();RX(0, 2) = m.z();RX(2, 0) = -m.z();RX(2, 2) = m.x();return RX;}// 给定ZOX平面上的单位M向量，将其旋转到X轴上。Eigen::Matrix3d GetXRotate(double theta) {double rad = theta / 180 * pi;Eigen::Matrix3d X;X.setIdentity();X(1, 1) = cos(rad);X(1, 2) = -sin(rad);X(2, 1) = sin(rad);X(2, 2) = cos(rad);return X;}double angleMod(double theta) {while (theta < -180)theta += 360;while (theta > 180)theta -= 360;return theta;}Point Trans(Point &a) {return mat * a + trans;}friend static RigidRTMatrix operator*(RigidRTMatrix& a, RigidRTMatrix& b) {RigidRTMatrix multi;multi.mat = a.mat * b.mat;multi.trans = a.mat * b.trans + a.trans;return multi;}};
}

代码测试

可以看出一个点依次作用与用一次综合矩阵的效果是一样的。

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