SO3，SE3，旋转，欧拉角与四元数笔记

在机器人学中的定义和其它领域中的定义有时候会有不同，长时间不用也会记混淆。这里记录一下便于回头翻阅。

参考《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》p31-32

The ZYX Euler angles are also referred to as the yaw, pitch, and roll angles, with RabR_{ab}Rab defined by rotating about the x-axis in the body frame (roll), then the y-axis in the body frame (pitch), and finally the z-axis in the body frame (yaw).

参考《机器人技术基础》熊有伦 1996. p24-25，值得注意的是，这本书里的roll,pitch,yaw的定义与飞行器，航船一样，但是与机器人学中常用绕z轴旋转的是yaw不同，故不采纳。还是以上述李的版本为准。

z-y-x欧拉角，这种描述法中的各次转动都是相对于运动坐标系（注： body frame）的某轴进行的，而不是相对于固定的参考系（注：fixed frame）。由于所有的转动都是相对于运动坐标系进行的，根据“从左向右”的原则来安排各次旋转对应的矩阵，从而得到表达式
BARzyx(α,β,γ)=R(z,α)R(y,β)R(x,γ)^{A}_{B}R_{zyx}(\alpha, \beta, \gamma) = R(z, \alpha)R(y, \beta)R(x, \gamma) BARzyx(α,β,γ)=R(z,α)R(y,β)R(x,γ)
这一结果与绕固定轴x-y-z旋转的结果完全相同（注：相对于固定轴A，按照“从右向左”的原则，得到），先将B绕xAx_AxA转γ\gammaγ角，再绕yAy_AyA转β\betaβ角，绕zAz_AzA转α\alphaα角,
BARxyz(γ,β,α)=R(zA,α)R(yA,β)R(xA,γ)^{A}_{B}R_{xyz}(\gamma, \beta, \alpha) = R(z_A, \alpha)R(y_A, \beta)R(x_A, \gamma) BARxyz(γ,β,α)=R(zA,α)R(yA,β)R(xA,γ)

当涉及到机器人学中的RPY转换时，一定要采用KDL的转换形式

inline double sqr(double arg) { return arg*arg;}
void GetRPY( Eigen::Matrix3d&data, double& roll,double& pitch,double& yaw)
{double epsilon=1E-12;pitch = atan2(-data(2,0), sqrt( sqr(data(0,0))) +sqr(data(1 ,0))  );if ( fabs(pitch) > (M_PI_2-epsilon) ) {yaw = atan2(    -data(0,1), data(1 ,1) );roll  = 0.0 ;} else {roll  = atan2(data(2, 1), data(2,2));yaw   = atan2(data(1 ,0), data(0,0));}
}

Eigen自带的都不对，为什么不对，等待笔记todo

  std::cout<<"angle = "<<m.eulerAngles(2, 1, 0)*180.0/M_PI<<std::endl;std::cout<<"angle = "<<m.eulerAngles(0, 1, 2)*180.0/M_PI<<std::endl;

原因参考https://answers.ros.org/question/323102/getting-eigen3-matrix3feulerangles-values-similar-to-tf2-matrix3x3fgetrpy-roll-pitch-yaw/

This behaviour is similar to bug reported on eigen http://eigen.tuxfamily.org/bz/show_bu… . As a feature request to switch to tait-bryan angles which apparently start in range [-pi: pi]. currently the eigen implementation works in [0:pi]. This gives errors if assuming a ZYX rotation order as the output yaw is [0:pi]

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