【高等数学基础进阶】多元函数的极值与最值

文章目录

无约束极值
条件极值与拉格朗日乘数法
最大最小值
常考题型方法与技巧
- 求极值（无条件）
- 求最大最小值

无约束极值

定义：若在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)的某邻域内恒成立不等式
f(x,y)≤f(x0,y0)(f(x,y)≥f(x0,y0))f(x,y)\leq f(x_{0},y_{0})\quad (f(x,y)\geq f(x_{0},y_{0})) f(x,y)≤f(x0,y0)(f(x,y)≥f(x0,y0))
则称fff在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)取得极大值（极小值），点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)称为fff的极大值点（极小值点），极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点

定理（极值的必要条件）：设z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)存在偏导数，且(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极值点，则
fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0f_{x}(x_{0},y_{0})=0,f_{y}(x_{0},y_{0})=0 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0

也可表述为
f(x,y0)f(x,y_{0})f(x,y0)在x=x0x=x_{0}x=x0处的导数等于000，f(x0,y)f(x_{0},y)f(x0,y)在y=y0y=y_{0}y=y0处的导数等于000

极值点只可能在驻点和fx,fyf_{x},f_{y}fx,fy至少有一个不存在的点

定理（极值的充分条件）：设z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P(x0,y0)P(x_{0},y_{0})P(x0,y0)的某邻域内有二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0})=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，记A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)A=f_{xx}(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}(x_{0},y_{0})A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)，则

当AC−B2>0AC-B^{2}>0AC−B2>0时，有极值，若A>0A>0A>0为极小值，若A<0A<0A<0为极大值
当AC−B2<0AC-B^{2}<0AC−B2<0时，无极值
当AC−B2=0AC-B^{2}=0AC−B2=0时，不一定（一般用定义判定）

条件极值与拉格朗日乘数法

函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0\phi (x,y)=0ϕ(x,y)=0条件下的极值
令F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)
{Fx=f(x,y)+λϕx(x,y)=0Fy=fy(x,y)+λϕy(x,y)=0Fλ=ϕ(x,y)=0\left\{\begin{aligned}&F_{x}=f(x,y)+\lambda \phi_{x}(x,y)=0\\ &F_{y}=f_{y}(x,y)+\lambda \phi_{y}(x,y)=0\\ &F_{\lambda}=\phi(x,y)=0\end{aligned}\right. ⎩⎨⎧Fx=f(x,y)+λϕx(x,y)=0Fy=fy(x,y)+λϕy(x,y)=0Fλ=ϕ(x,y)=0

函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在条件ϕ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0\phi(x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0ϕ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0条件下的条件极值
令F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)+μψ(x,y,z)F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)+μψ(x,y,z)

设给定目标函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)，约束条件为ϕ(x,y)=0\phi(x,y)=0ϕ(x,y)=0

如图所示，曲线LLL为约束条件ϕ(x,y)=0\phi(x,y)=0ϕ(x,y)=0，f(x,y)=Cf(x,y)=Cf(x,y)=C为目标函数的等值线族
在f(x,y),ϕ(x,y)f(x,y),\phi(x,y)f(x,y),ϕ(x,y)偏导数都连续的条件下，目标函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在约束条件ϕ(x,y)=0\phi(x,y)=0ϕ(x,y)=0下的可能极值点M(x0,y0)M(x_0,y_0)M(x0,y0)，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点
因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点M(x0,y0)M(x_0,y_0)M(x0,y0)处法向量{fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)}\{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}{fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)}与约束条件曲线在点M(x0,y0)M(x_0,y_0)M(x0,y0)处法向量{ϕx′(x0,y0),ϕy′(x0,y0)}\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}{ϕx′(x0,y0),ϕy′(x0,y0)}平行，即
fx′(x0,y0)ϕx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)ϕy′(x0,y0)\begin{aligned}\frac{f'_x(x_0,y_0)}{\phi'_x(x_0,y_0)}=\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)}\end{aligned}ϕx′(x0,y0)fx′(x0,y0)=ϕy′(x0,y0)fy′(x0,y0)
也就是说存在实数λ\lambdaλ，使下式成立
{fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)}+λ{ϕx′(x0,y0),ϕy′(x0,y0)}=0\{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}+\lambda\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}=0{fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)}+λ{ϕx′(x0,y0),ϕy′(x0,y0)}=0
需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在约束条件ϕ(x,y)=0\phi(x,y)=0ϕ(x,y)=0下的极值点（如图中的M2M_2M2点）

链接：拉格朗日乘数法_百度百科 (baidu.com)

最大最小值

求连续函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在有界闭域DDD上的最大最小值

求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在DDD内部可能的极值点（无约束极值）
求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在DDD的边界的最大最小值（条件极值）
比较

应用题

建立函数关系
求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在DDD内部可能的极值点（无约束极值）
求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在DDD的边界的最大最小值（条件极值）
比较

常考题型方法与技巧

求极值（无条件）

例1：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydydz=xdx+ydydz=xdx+ydy，证明点(0,0)(0,0)(0,0)是f(x,y)f(x,y)f(x,y)的极小值点

可以用极值的充分条件，这里不展示过程。这里展示偏积分的方法得到原函数

函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydydz=xdx+ydydz=xdx+ydy，可知
zx=x,zy=yz_{x}=x,z_{y}=y zx=x,zy=y
由zx=xz_{x}=xzx=x，偏积分得
z=∫xdx=12x2+ϕ(y)z=\int_{}^{}xdx=\frac{1}{2}x^{2}+\phi(y) z=∫xdx=21x2+ϕ(y)
再代入zy=yz_{y}=yzy=y，确定ϕ(y)\phi(y)ϕ(y)
zy=ϕ′(y)⇒ϕ′(y)=y∫ϕ′(y)dy=∫ydyϕ(y)=12y2+Cz=12x2+12y2+C\begin{aligned} z_{y}&=\phi'(y)\\ \Rightarrow \phi'(y)&=y\\ \int_{}^{}\phi'(y)dy&=\int_{}^{}ydy\\ \phi(y)&=\frac{1}{2}y^{2}+C\\ z&=\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C \end{aligned} zy⇒ϕ′(y)∫ϕ′(y)dyϕ(y)z=ϕ′(y)=y=∫ydy=21y2+C=21x2+21y2+C
根据定义后面不再展示过程

还可以通过凑微分得到原函数

dz=xdx+ydydz=d(12x2)+d(12y2)dz=d(12x2+12y2)z=12x2+12y2+C\begin{aligned} dz&=xdx+ydy\\ dz&=d (\frac{1}{2}x^{2})+d (\frac{1}{2}y^{2})\\ dz&=d(\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2})\\ z&= \frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C \end{aligned} dzdzdzz=xdx+ydy=d(21x2)+d(21y2)=d(21x2+21y2)=21x2+21y2+C
根据定义后面不再展示过程

求最大最小值

例2：求函数u=x2+y2+z2u=x^{2}+y^{2}+z^{2}u=x2+y2+z2在约束条件下z=x2+y2z=x^{2}+y^{2}z=x2+y2和x+y+z=4x+y+z=4x+y+z=4下的最大值和最小值

设
F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2−z)+μ(x+y+z−4)F(x,y,z,\lambda,\mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}-z)+\mu(x+y+z-4) F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2−z)+μ(x+y+z−4)
有
{Fx=2x+2λx+μ=0Fy=2y+2λy+μ=0Fz=2z−λ+μ=0Fλ=x2+y2−z=0Fμ=x+y+z−4=0\left\{\begin{aligned} &F_{x}=2x+2\lambda x+\mu=0\\ &F_{y}=2y+2\lambda y+\mu=0\\ &F_{z}=2z-\lambda+\mu=0\\ &F_\lambda=x^{2}+y^{2}-z=0\\ &F_{\mu}=x+y+z-4=0\end{aligned}\right. ⎩⎨⎧Fx=2x+2λx+μ=0Fy=2y+2λy+μ=0Fz=2z−λ+μ=0Fλ=x2+y2−z=0Fμ=x+y+z−4=0
解得(x1,y1,z1)=(1,1,2),(x2,y2,z2)=(−2,−2,8)(x_{1},y_{1},z_{1})=(1,1,2),(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)(x1,y1,z1)=(1,1,2),(x2,y2,z2)=(−2,−2,8)
故所求的最大值为727272，最小值为666

例3：已知z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的全微分dz=2xdx−2ydydz=2xdx-2ydydz=2xdx−2ydy且f(1,1)=2f(1,1)=2f(1,1)=2。求f(x,y)f(x,y)f(x,y)在D={(x,y)∣x2+y24≤1}\begin{aligned} D=\left\{(x,y)\Big|_{}^{}x^{2}+ \frac{y^{2}}{4} \leq 1\right\}\end{aligned}D={(x,y)∣∣x2+4y2≤1}上的最大最小值

先找f(x,y)f(x,y)f(x,y)，这里用凑微分（偏积分也行）
dz=2xdx−2ydydz=dx2−dy2dz=d(x2−y2)z=x2−y2+C代入f(1,1)=22=1−1+C⇒C=2z=x2−y2+2\begin{aligned} dz&=2xdx-2ydy\\ dz&=dx^{2}-dy^{2}\\ dz&=d(x^{2}-y^{2})\\ z&=x^{2}-y^{2}+C\\ &代入f(1,1)=2\\ 2&=1-1+C \Rightarrow C=2\\ z&=x^{2}-y^{2}+2 \end{aligned} dzdzdzz2z=2xdx−2ydy=dx2−dy2=d(x2−y2)=x2−y2+C代入f(1,1)=2=1−1+C⇒C=2=x2−y2+2
令∂f∂x=2x=0,∂f∂y=−2y=0\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0,\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0\end{aligned}∂x∂f=2x=0,∂y∂f=−2y=0，得驻点为(0,0)(0,0)(0,0)

接下来可以用拉格朗日乘数法，运算不难，这里不展示步骤。考虑另一个思路，由于已经知道了约束条件，该约束条件可以代入z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，化条件为无条件

由于点在x2+y24=1x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1x2+4y2=1上，有
z=x2−(4−4x2)+2x∈[−1,1]z=5x2−2zmax⁡=z∣x=±1=3zmin⁡=z∣x=0=−2\begin{aligned} z&=x^{2}-(4-4x^{2})+2\quad x \in [-1,1]\\ z&=5x^{2}-2\\ z_{\max}&=z \Big|_{x=\pm 1}^{}=3\\ z_{\min}&=z \Big|_{x=0}^{}=-2 \end{aligned} zzzmaxzmin=x2−(4−4x2)+2x∈[−1,1]=5x2−2=z∣∣x=±1=3=z∣∣x=0=−2
因此最大值为333，最小值为−2-2−2

对于圆和椭圆可以用参数方程化条件为无条件

椭圆x2+y24=1\begin{aligned} x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1\end{aligned}x2+4y2=1的参数方程为
{x=cos⁡ty=2sin⁡t\left\{\begin{aligned}&x= \cos t\\&y=2 \sin t\end{aligned}\right. {x=costy=2sint
则
z=f(x,y)=x2−y2+2=cos⁡2t−4sin⁡2t+2=3−5sin⁡2tt∈[0,2π]\begin{aligned} z=f(x,y)&=x^{2}-y^{2}+2\\ &=\cos ^{2}t-4\sin ^{2}t+2\\ &=3-5\sin ^{2}t \quad t \in [0,2\pi] \end{aligned} z=f(x,y)=x2−y2+2=cos2t−4sin2t+2=3−5sin2tt∈[0,2π]