【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-函数的连续性

文章目录

一、连续性的概念
二、间断点及其分类
- 1. 间断点的定义
- 2. 间断点的分类
三、连续性的运算与性质
四、闭区间上连续函数的性质
常考题型与典型例题

一、连续性的概念

定义1：若lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_{0}x0处连续

定义2：若lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})x→x0limf(x)=f(x0)则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_{0}x0处连续

定义3：若lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})x→x0−limf(x)=f(x0)则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_{0}x0处左连续
定义4：若lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})x→x0+limf(x)=f(x0)则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_{0}x0处右连续

定理：f(x)f(x)f(x)连续⇔f(x)\Leftrightarrow f(x)⇔f(x)左连续且右连续

定义4：区间上连续。开区间连续即区间内任意点都连续，闭区间连续即左闭左连续，右闭右连续。

例1：若f(x)={sin⁡2x+e2ax−1x,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x},x\ne0\\a,x=0\end{cases}f(x)={xsin2x+e2ax−1,x=0a,x=0在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)处连续，则a=a=a=（）

因为题设f(x)f(x)f(x)在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)处连续，又f(0)=af(0)=af(0)=a，则lim⁡x→x0f(0)=a\lim\limits_{x\to x_{0}}f(0)=ax→x0limf(0)=a，即在x=0x=0x=0处极限存在
lim⁡x→x0f(x)=lim⁡x→x0sin⁡2x+e2ax−1x=lim⁡x→x0sin⁡2xx+lim⁡x→x0e2ax−1x显然lim⁡x→x0sin⁡2xx存在，整体极限存在，因此等式成立=2+2a=f(0)=a\begin{aligned} \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)&=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}+\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{e^{2ax}-1}{x}\\ &显然\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}存在，整体极限存在，因此等式成立\\ &=2+2a=f(0)=a \end{aligned} x→x0limf(x)=x→x0limxsin2x+e2ax−1=x→x0limxsin2x+x→x0limxe2ax−1显然x→x0limxsin2x存在，整体极限存在，因此等式成立=2+2a=f(0)=a
解得a=−2a=-2a=−2

二、间断点及其分类

1. 间断点的定义

定义5：若f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0某去心邻域有定义，但在x0x_{0}x0处不连续，则称x0x_{0}x0为f(x)f(x)f(x)的间断点

2. 间断点的分类

第一类间断点：左、右极限均存在的间断点
可去间断点：左极限=右极限
跳跃间断点：左极限≠\ne=右极限
第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在
无穷间断点
震荡间断点

注：第一类间断点有且只有两种，第二类间断点有多种，如果题目中要求判断间断点类型，如果是第一类间断点需要说明是可去还是跳跃，如果是第二类间断点，不需要继续说明

例2：设函数f(x)=ln⁡∣x∣∣x−1∣sin⁡xf(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin xf(x)=∣x−1∣ln∣x∣sinx，分析f(x)f(x)f(x)间断点的情况

分析间断点类型，如果该点两侧函数表达式不同，则分极限讨论，如果相同，则不需要

由于
lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0ln⁡∣x∣∣x−1∣sin⁡x=lim⁡x→0xln⁡∣x∣=lim⁡x→0ln⁡∣x∣1x=lim⁡x→01x−1x2=0\begin{aligned} \lim\limits_{x\to0}f(x)&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\\ &=\lim\limits_{x\to 0}x\ln|x|\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}\\ &=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0 \end{aligned} x→0limf(x)=x→0lim∣x−1∣ln∣x∣sinx=x→0limxln∣x∣=x→0limx1ln∣x∣=x→0lim−x21x1=0
则x=0x=0x=0为可去间断点
由于
lim⁡x→1f(x)=sin⁡1⋅lim⁡x→1ln⁡x∣x−1∣这里可以分左右极限讨论=sin⁡1⋅lim⁡x→1ln⁡[1+(x−1)]∣x−1∣=sin⁡1⋅lim⁡x→1x−1∣x−1∣={sin⁡1,x→1+−sin⁡1,x→1−\begin{aligned} \lim\limits_{x\to1}f(x)&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}\quad这里可以分左右极限讨论\\ &=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{|x-1|}\\ &=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{|x-1|}=\begin{cases} \sin 1,x\to1^{+} \\ -\sin1,x\to1^{-} \end{cases} \end{aligned} x→1limf(x)=sin1⋅x→1lim∣x−1∣lnx这里可以分左右极限讨论=sin1⋅x→1lim∣x−1∣ln[1+(x−1)]=sin1⋅x→1lim∣x−1∣x−1={sin1,x→1+−sin1,x→1−
则x=1x=1x=1为跳跃间断点

(ln⁡x)′=1x,(ln⁡∣x∣)′=1x(\ln x)'=\frac{1}{x},(\ln|x|)'=\frac{1}{x}(lnx)′=x1,(ln∣x∣)′=x1

三、连续性的运算与性质

定理1：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

定理2：连续函数的复合认为连续函数

定理3：基本初等函数在其定义域内是连续的

定理4：初等函数在其定义区间内是连续的。为了避免有单个点f(x)=cos⁡x−1f(x)=\sqrt{\cos x-1}f(x)=cosx−1

四、闭区间上连续函数的性质

定理5（有界性定理）：若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上有界

定理6（最值定理）：若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上必有最大值和最小值

定理7（介值定理）：若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b)f(a)=f(b)，则对f(a)f(a)f(a)于f(b)f(b)f(b)之间任一数CCC，至少存在一个ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=Cf(\xi)=Cf(ξ)=C

推论：若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可取到介于它在[a,b][a,b][a,b]上最小值与最大值之间的一切值

定理8（零点定理）：若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0f(a)⋅f(b)<0，则必∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in (a,b)∃ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0

常考题型与典型例题

讨论函数的连续性及间断点的类型
有关闭区间上连续函数性质的证明题

例3：讨论f(x)=x1−ex1−xf(x)= \frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}f(x)=1−e1−xxx的连续性并指出间断点类型

由于f(x)f(x)f(x)使初等函数，则除x=0,x=1x=0,x=1x=0,x=1外，处处连续
当x=0x=0x=0
lim⁡x→0x1−ex1−x=lim⁡x→0x−x1−x=−1\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}}=-1 x→0lim1−e1−xxx=x→0lim−1−xxx=−1
为可去间断点
当x=1x=1x=1
lim⁡x→1+f(x)=1,lim⁡x→1−=0\lim\limits_{x\to1^{+}}f(x)=1,\lim\limits_{x\to1^{-}}=0 x→1+limf(x)=1,x→1−lim=0
为跳跃间断点

例4：函数f(x)=(x2+x)(ln⁡∣x∣)sin⁡1xx2−1f(x)=\frac{(x^{2}+x)(\ln|x|)\sin \frac{1}{x}}{x^{2}-1}f(x)=x2−1(x2+x)(ln∣x∣)sinx1的可去间断点的个数为（）

f(x)f(x)f(x)有三个间断点x=0,x=±1x=0,x=\pm1x=0,x=±1
在x=0x=0x=0处
lim⁡x→0f(x)=−lim⁡x→0xln⁡∣x∣sin⁡1x\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|\sin \frac{1}{x} x→0limf(x)=−x→0limxln∣x∣sinx1
其中（由于sin⁡1x∈[−1,1],x→0,ln⁡∣x∣→∞\sin \frac{1}{x}\in[-1,1],x\to0,\ln|x|\to \inftysinx1∈[−1,1],x→0,ln∣x∣→∞，所以考虑把0⋅∞0\cdot \infty0⋅∞拿出来算，看结果是确定值还是无穷）
lim⁡x→0xln⁡∣x∣=lim⁡x→0ln⁡∣x∣1x=lim⁡x→01x−1x2=0\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0 x→0limxln∣x∣=x→0limx1ln∣x∣=x→0lim−x21x1=0
有
lim⁡x→0f(x)=0\lim\limits_{x\to0}f(x)=0 x→0limf(x)=0
则x=0x=0x=0为可去间断点
在x=−1x=-1x=−1处
lim⁡x→−1f(x)=lim⁡x→−1xln⁡∣x∣sin⁡1xx−1=0\lim\limits_{x\to-1}f(x)=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}=0 x→−1limf(x)=x→−1limx−1xln∣x∣sinx1=0
则x=1x=1x=1为可去间断点
在x=1x=1x=1处
lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→−1xln⁡∣x∣sin⁡1xx−1=sin⁡1lim⁡x→1ln⁡xx−1=sin⁡1lim⁡x→1ln⁡[1+(x−1)]x−1=sin⁡1\begin{aligned} \lim\limits_{x\to1}f(x)&=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}\\ &=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\\ &=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{x-1}\\ &=\sin1 \end{aligned} x→1limf(x)=x→−1limx−1xln∣x∣sinx1=sin1x→1limx−1lnx=sin1x→1limx−1ln[1+(x−1)]=sin1

例5：设函数f(x)=lim⁡n→∞1+x1+x2nf(x)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}}f(x)=n→∞lim1+x2n1+x，讨论函数的间断点

观察到有lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to \infty}x^{n}n→∞limxn的形式，考虑lim⁡n→∞xn={0,∣x∣<1∞,∣x∣>11,x=1不存在,x=−1\lim\limits_{n\to \infty}x^{n}=\begin{cases}0,|x|<1\\ \infty,|x|>1\\1,x=1\\不存在,x=-1\end{cases}n→∞limxn=⎩⎨⎧0,∣x∣<1∞,∣x∣>11,x=1不存在,x=−1

f(x)={1+x,∣x∣<10,∣x∣>11,x=10,x=−1f(x)=\begin{cases} 1+x,|x|<1 \\ 0,|x|>1 \\ 1,x=1 \\ 0,x=-1 \end{cases} f(x)=⎩⎨⎧1+x,∣x∣<10,∣x∣>11,x=10,x=−1
因此存在间断点x=1x=1x=1

例6：设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，a<c<d<ba<c<d<ba<c<d<b。试证对任意的正数p,qp,qp,q，至少存在一个ξ∈[c,d]\xi\in[c,d]ξ∈[c,d]使
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi) pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)

移项可得f(ξ)=pf(c)+qf(d)p+qf(\xi)=\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}f(ξ)=p+qpf(c)+qf(d)，本题即证pf(c)+qf(d)p+q\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}p+qpf(c)+qf(d)在区间[c,d][c,d][c,d]上的最大值和最小值之间
由于f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，则存在[c,d][c,d][c,d]上最大值MMM，最小值mmm，有
m=pm+qmp+q≤pf(c)+qf(d)p+q≤pM+qMp+q=Mm=\frac{pm+qm}{p+q}\leq\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\leq\frac{pM+qM}{p+q}=M m=p+qpm+qm≤p+qpf(c)+qf(d)≤p+qpM+qM=M
因此存在一个ξ∈[c,d]\xi\in[c,d]ξ∈[c,d]满足条件

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