最优二叉搜索树相关内容

01 最优二叉搜索树概念

设S={x1,x2,…，xn.}是有序集，且x1<x2<…<xn, 表示有序集S的二叉搜索树利用二叉树的结点来存储有序集中的元素。它具有下述性质:存储于每个结点中的元素x大于其左子树中任一结点所存储的元素，小于其右子树中任一结点所存储的元素。二叉搜索树的叶结点是形如(xn,xi+1)的开区间。在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素 x，返回的结果有两种情形:①在二叉搜索树的内结点中找到x=xi; ②在二叉搜索树的叶结点中确定x∈(xi,xi+1)。

设在第①种情形中找到元素x=xi的概率为bi;在第②种情形中确定x∈(xi, xi+1)的概率为ai。其中约定x0=-∞， xn+1=+∞。显然，有ai≥0 (0≤i≤n)，bj≥0(1≤j≤n)，

则(a0,b1,a1,…, bn, an)称为集合S的存取概率分布。

最优二叉搜索树问题是对于有序集S及其存取概率分布(a0, b1,a1, .. bn,an),在所有表示有序集S的二叉搜索树中找出一棵具有最小平均路长的二叉搜索树。

02 最优子结构性质

二叉搜索树T的一棵含有结点ki,...,kj和叶结点(ki-1,ki),...,(kj,kj+1)的子树可以看做有序集{ki,...,kj}关于全集合{ki-1,...kj+1}的一棵二叉搜索树，设Tij是有序集{xi,...,xj}关于存取概率的一棵最优二叉搜索树，其平均路长为pij。Tij的根节点存储元素xm。其左右子树Ti和Tr的平均路长分别为pl和pr。由于Tl和Tr中结点深度是它们在Tij中结点深度减1，则 wi,j pi,j=wi,j+wi,m-1pl+wm+1,jpr。

由于T是关于集合{xi,…,xm-1}的一棵二叉搜索树，故Pl≥Pi,m-1。若pl>Pi,m-1,则用Ti,m-1替换Tl可得到平均路长比Tij更小的二叉搜索树。这与Tij是最优二又搜索树矛盾，故Tl是一棵最优二叉搜索树。同理可证，T,也是一棵最优二叉搜索树。因此，最优二叉搜索树问题具有最优子结构性质。

设计出解最优二叉搜索树问题的动态规划算法如下：

void OptimalBinarySearchTree(int a,int b,int n,int **m,int **s,int **w){

for (int i=0;i<=n;i++){

w[i+1][i]=a[i];

m[i+1][i]=0;

}

for (int r0;r<n;r++){

for (int i=1;i<=n-r;i++){

int j=i+r;

w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];

m[i][j]=m[i+1][j];

s[i][j]=i;

for (int k=i+1;k<=j;k++){

int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];

if (t<m[i][j]){

m[i][j]=t;

s[i][j]=k;}

}

m[i][j]+=w[i][j];

}

03 构造最优解

算法中用s[i][j]保存最优子树T(i,j)的根结点中元素，当s[i][n]=k时，Xk为所求二叉树根结点元素，其左子树为T（1，k-1)。因此，i=s[1][k-1]表示T（1，k-1)的根结点元素为xi,以此类推，容易右s保存的信息在O（n)时间内构造出所求的最优二叉搜索树。

04 计算复杂性

对于固定的r，它需要计算时间O（j-i+1)=O(r+1).因此，耗费的总时间为

void OBST(int a,int b,int n,int **m,int **s,int **w){

for (int i=0;i<=n;i++){

w[i+1][i]=a[i];

m[i+1][i]=0;

s[i+1][i]=0;

}

for(int r=0;r<n;r++){

for(int i=1;i<=n-r;i++){

int j=i+r,i1=s[i][j-1]>i?s[i][j-1]:i,j1=s[i+1][j]>i?s[i+1][j]:j;

w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];

m[i][j]=m[i][i1-1]+m[m1+1][j];

s[i][j]=i1;

for (int k=i1+1;k<=j1;k++){

int t =m[i][k-1]+m[k+1][j];

if (t<=m[i][j]){

m[i][j]=t;

s[i][j]=k;

}

m[i][j]+=w[i][j];

}

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