【高等数学基础进阶】定积分与反常积分-反常积分

文章目录

无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
常考题型与典型例题
- 反常积分的敛散性
- 反常积分的计算

积分有两个要求，一个是积分上下限有限，被积函数有界，打破其中任意一个，即为反常积分

无穷区间上的反常积分

∫+∞af(x)dx=lim⁡t→+∞∫atf(x)dx∫−∞bf(x)dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x)dx若∫0+∞f(x)dx和∫−∞0f(x)都收敛,则称∫−∞+∞f(x)dx收敛\begin{gathered} \int^{a}_{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int^{t}_{a}f(x)dx\\ \int^{b}_{-\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to-\infty}\int^{b}_{t}f(x)dx\\ 若\int^{+\infty}_{0}f(x)dx和\int^{0}_{-\infty}f(x)都收敛,则称\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx收敛 \end{gathered} ∫+∞af(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx∫−∞bf(x)dx=t→−∞lim∫tbf(x)dx若∫0+∞f(x)dx和∫−∞0f(x)都收敛,则称∫−∞+∞f(x)dx收敛

常用结论：
∫a+∞1xPdx={P>1收敛P≤1发散(a>0)\int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx=\left\{\begin{aligned}&P>1&收敛\\ &P\leq1&发散\end{aligned}\right.\quad(a>0) ∫a+∞xP1dx={P>1P≤1收敛发散(a>0)

无界函数的反常积分

设aaa为f(x)f(x)f(x)的无界点，
∫abf(x)dx=lim⁡t→a+∫cbf(x)dx\int^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{t\to a^{+}}\int^{b}_{c}f(x)dx ∫abf(x)dx=t→a+lim∫cbf(x)dx

常用结论：
∫ab1(x−a)Pdx={P<1收敛P≥1发散=∫ab1(b−x)Pdx\int^{b}_{a} \frac{1}{(x-a)^{P}}dx=\left\{\begin{aligned}&P<1&收敛\\ &P\geq1&发散\end{aligned}\right.=\int^{b}_{a} \frac{1}{(b-x)^{P}}dx ∫ab(x−a)P1dx={P<1P≥1收敛发散=∫ab(b−x)P1dx

常考题型与典型例题

反常积分的敛散性

例1：说明反常积分∫2+∞xde−x\int^{+\infty}_{2}xde^{-x}∫2+∞xde−x收敛

∫2+∞xde−x=−∫2+∞xde−x=−xe−x∣2+∞+∫2+∞e−xdx=−(x+1)e−x∣2+∞\begin{aligned} \int^{+\infty}_{2}xde^{-x}&=-\int^{+\infty}_{2}xde^{-x}\\ &=-xe^{-x}\Big|^{+\infty}_{2}+\int^{+\infty}_{2}e^{-x}dx\\ &=-(x+1)e^{-x}\Big|^{+\infty}_{2} \end{aligned} ∫2+∞xde−x=−∫2+∞xde−x=−xe−x∣∣2+∞+∫2+∞e−xdx=−(x+1)e−x∣∣2+∞

exe^{x}ex在分母上变成e−xe^{-x}e−x

例2：设函数f(x)={1(x−1)α−11<x<e1xln⁡α+1xx≥ef(x)=\left\{\begin{aligned}& \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}&1<x<e\\& \frac{1}{x\ln^{\alpha+1}x}&x\geq e\end{aligned}\right.f(x)=⎩⎨⎧(x−1)α−11xlnα+1x11<x<ex≥e，若反常积分∫1+∞f(x)dx\int^{+\infty}_{1}f(x)dx∫1+∞f(x)dx收敛，求α\alphaα的范围

定义中若∫0+∞f(x)dx\int^{+\infty}_{0}f(x)dx∫0+∞f(x)dx和∫−∞0f(x)\int^{0}_{-\infty}f(x)∫−∞0f(x)都收敛，则称∫−∞+∞f(x)dx\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx收敛，是指积分上下限区间范围内任意分都收敛，则整体收敛

∫1+∞f(x)dx=∫1e1(x−1)α−1dx+∫e+∞dxxln⁡α+1x=∫1e1(x−1)α−1dx⏟α−1<α⇒α<2+∫e+∞dln⁡xln⁡α+1x⏟α+1>1⇒α>0\begin{aligned} \int^{+\infty}_{1}f(x)dx&=\int^{e}_{1} \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}dx+\int^{+\infty}_{e} \frac{dx}{x\ln^{\alpha+1}x}\\ &=\underbrace{\int^{e}_{1} \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}dx}_{\alpha-1<\alpha\Rightarrow \alpha<2 }+\underbrace{\int^{+\infty}_{e} \frac{d\ln x}{\ln^{\alpha+1}x}}_{\alpha+1>1 \Rightarrow \alpha>0} \end{aligned} ∫1+∞f(x)dx=∫1e(x−1)α−11dx+∫e+∞xlnα+1xdx=α−1<α⇒α<2∫1e(x−1)α−11dx+α+1>1⇒α>0∫e+∞lnα+1xdlnx

两个常用公式中的变量可以整体代换，如本题ln⁡x\ln xlnx代换xxx，可使用∫a+∞1xPdx\int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx∫a+∞xP1dx的结论

因此0<α<20<\alpha<20<α<2

例3：反常积分∫−∞01x2e1xdx\int^{0}_{-\infty} \frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}dx∫−∞0x21ex1dx的敛散性为

原式=−∫−∞0e1xd1x=−e1x∣−∞0=−lim⁡x→0−e1x+1=1\begin{aligned} 原式&=-\int^{0}_{-\infty}e^{\frac{1}{x}}d \frac{1}{x}\\ &=-e^{\frac{1}{x}}\Big|^{0}_{-\infty}\\ &=- \lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}+1=1 \end{aligned} 原式=−∫−∞0ex1dx1=−ex1∣∣−∞0=−x→0−limex1+1=1

此处有lim⁡x→0−e1x\lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}x→0−limex1，原本是lim⁡x→0e1x\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}x→0limex1，但由于一面已经确定了是−∞-\infty−∞（000以左都一样），则在该区间内，趋向于000，显然无法出现x→0+x\to 0^{+}x→0+，因此默认为0−0^{-}0−

例4：反常积分∫0+∞1xa(1+x)bdx\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}}dx∫0+∞xa(1+x)b1dx收敛

∫0+∞1xPdx\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{x^{P}}dx∫0+∞xP1dx积分两侧都是反常积分，下限为无界函数的反常积分，上限为无穷区间的反常积分

原式=∫01dxxa(1+x)b+∫1+∞dxxa(1+x)b这里观察到两侧都是反常积分因此随便找个数把两类反常积分区间分开\begin{aligned} 原式&=\int^{1}_{0} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}+\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}\\ &这里观察到两侧都是反常积分\\ &因此随便找个数把两类反常积分区间分开 \end{aligned} 原式=∫01xa(1+x)bdx+∫1+∞xa(1+x)bdx这里观察到两侧都是反常积分因此随便找个数把两类反常积分区间分开
由于lim⁡x→0+(1+x)b=1\lim\limits_{x\to0^{+}}(1+x)^{b}=1x→0+lim(1+x)b=1，易知∫01dxxa(1+x)b\int^{1}_{0} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}∫01xa(1+x)bdx在000处与∫01dxxa\int^{1}_{0} \frac{dx}{x^{a}}∫01xadx同敛散，因此a<1a<1a<1。对于另一部分有
∫1+∞dxxa(1+x)b=∫1+∞dxxa+b(1+1x)b\begin{aligned} \int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}&=\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a+b}(1+ \frac{1}{x})^{b}} \end{aligned} ∫1+∞xa(1+x)bdx=∫1+∞xa+b(1+x1)bdx
用上面的推理方式,可知∫1+∞dxxa+b(1+1x)b\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a+b}(1+ \frac{1}{x})^{b}}∫1+∞xa+b(1+x1)bdx与∫1+∞dxxa+b\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a+b}}∫1+∞xa+bdx当x→+∞x\to +\inftyx→+∞同敛散，因此a+b>1a+b>1a+b>1

反常积分的计算

例5：∫2+∞dx(x+7)x−2=()\int^{+\infty}_{2} \frac{dx}{(x+7)\sqrt{x-2}}=()∫2+∞(x+7)x−2dx=()

可以令x−2=t\sqrt{x-2}=tx−2=t，可以算出来，这里用另一种方法
原式=∫2+∞2dx−29+(x−2)2=23arctan⁡x−2∣2+∞=π3\begin{aligned} 原式&=\int^{+\infty}_{2} \frac{2d \sqrt{x-2}}{9+(\sqrt{x-2})^{2}}\\ &=\frac{2}{3} \arctan \sqrt{x-2}\Big|^{+\infty}_{2}\\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned} 原式=∫2+∞9+(x−2)22dx−2=32arctanx−2∣∣2+∞=3π

例6：计算I=∫1+∞dxex+e2−xI=\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{e^{x}+e^{2-x}}I=∫1+∞ex+e2−xdx

如果积分中出现exe^{x}ex且要凑进dxdxdx，则可以考虑尽量把所有e−xe^{-x}e−x化成exe^{x}ex方便观察

I=∫1+∞exdxe2x+e2=∫1+∞dexe2+e2x=1earctan⁡exe∣1+∞=π4e\begin{aligned} I&=\int^{+\infty}_{1} \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+e^{2}}\\ &=\int^{+\infty}_{1} \frac{de^{x}}{e^{2}+e^{2x}}\\ &=\frac{1}{e}\arctan \frac{e^{x}}{e}\Big|^{+\infty}_{1}\\ &=\frac{\pi}{4e} \end{aligned} I=∫1+∞e2x+e2exdx=∫1+∞e2+e2xdex=e1arctaneex∣∣1+∞=4eπ