算法导论——钢条切割问题（C语言）

《算法导论》在对动态规划讲解时，第一个问题就是钢条切割的问题。
在书中，对这个问题提供了3种思路

利用普通的递归来解，时间复杂度为O(2^n)
对普通的递归进行优化，使其带有记忆功能，减少运行时间。即自顶向下的动态规划
运用数组，自底向上的动态规划

现在依次讲解这三个思路，并且用代码实现它们！

首先先看题

现在给你一根钢条，你可以把它切成几个小部分（也可以不用切割），要找到一种方法，使得这根钢条可以卖出最多的价钱。

如：长度为4的钢条有三种卖法

不切割直接买，可以买价格9
切割为1,3再买，同样是价格9
切割为2,2再买，价格为10

可以看出，把4分为2,2来买可以达到最大收益。

普通递归方法

在上面的例子中，一根钢条可以被分为很多份，可以在被分的这些小份中继续分解，来找到最优解。这和递归的思路非常相似——将一个大问题分解子问题来求解。
首先假设一个问题的子问题的解都是最优的，于是，对于一个长度为L的钢条，若把他分为两段，L的最优解可能为 k，L-k （k=0,1，2，…，L-1）
现在遍历k的值，就可以找出最大的解（默认k，L-k为这个长度的最优解）
可以知道，虽然现在不知道k，L-k 是否为最优解，但是整个过程是递归的，在递归计算中可以知道k，L-k的最优解。

普通递归代码实现
创建两个大小为11的数组来储存这些钢条能卖出的价格，和当前钢条能买到的最大价格

int N[11]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int r[11]={0};

编写递归函数

int re(int n)
{if(n==0)  //钢条长度为零的时候，返回零return 0;int q=N[n];int i;for(i=1;i<n;i++)  //遍历k~L-k每一种情况，找到里面的最大值，k为零时为不切割的情况，q=N[n]已经储存，不需要考虑q=maxx(q,r[i]+re(n-i));r[n]=q; //钢条长度为n时最多可以买到价格qreturn q;
}

完整代码

#include<stdio.h>
#include<time.h>
//int N[44]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30,0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30,0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30,0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int N[11]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int r[11]={0};
int re(int);
int maxx(int ,int);
int main()
{int current;puts("输入你要裁剪的钢条长度：");scanf("%d",&current);clock_t start, finish;start=clock();int i;printf("%d长的钢条最大收益是：%d\n",current,re(current));printf("各个长度的收益情况：\n长度：");for(i=0;i<=current;i++){printf("%3d ",i);}puts("");printf("收益：");for(i=0;i<=current;i++){printf("%3d ",r[i]);}puts("");finish=clock();double Total_time = (double)(finish-start) / CLOCKS_PER_SEC;printf("%f 秒\n",Total_time);scanf("%d",&current);
}
int re(int n)
{if(n==0)return 0;int q=N[n];int i;for(i=1;i<n;i++)q=maxx(q,r[i]+re(n-i));r[n]=q;return q;
}
int maxx(int a,int b)
{if(a>=b)return a;elsereturn b;
}

可以扩大数组N的大小，使其可以测试更多的钢条。
我测试了一下他们的时间

n为31时运行时间为5s
n为32时运行时间为10s
n为33时运行时间为20s

从这里也可以看出，普通递归的时间复杂度为O（2^n)，是指数的。

自顶向下的动态规划法

观察普通的递归方法可以知道，创建的数组r除了最后打印收益结果时发挥了作用，并没有发挥其他的功能。并且仔细调试普通递归方法可以发现，它重复多次的计算了许多子问题。比如当n=4时，普通递归运行的方式是

图片来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/70763958
重复的计算这些子问题是浪费时间的，并且随着钢条长度的增加，这些时间会指数增长。
现在，让数组r来储存这些子问题的数据，不在重复计算子问题。

修改后的递归代码

int upToDown(int n) //每次返回的值是当前长度n的最大收益
{if(r[n]!=0)return r[n];if(n==0)return 0;int q=N[n];    int i;for(i=1;i<n;i++)q=maxx(q,r[i]+upToDown(n-i));r[n]=q;return q;
}

所添加的代码

if(r[n]!=0)return r[n];

由于r的初始值为零，r[n]不为零的时候，就代表子问题n已经被处理过，r[n]就是钢条长度的最大收益，可以直接返回，不需要继续递归。
完整代码

#include<stdio.h>
int N[11]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int upToDown(int);
int r[11]={0};
int maxx(int a,int b);
int main()
{int current;puts("输入你要裁剪的钢条长度：");scanf("%d",&current);int i;printf("%d长的钢条最大收益是：%d\n",current,upToDown(current));printf("各个长度的收益情况：\n长度：");for(i=0;i<=current;i++){printf("%3d ",i);}puts("");printf("收益：");for(i=0;i<=current;i++){printf("%3d ",r[i]);}
}
int upToDown(int n) //即每次返回的值是当前长度n的最大收益
{if(r[n]!=0)return r[n];if(n==0)return 0;int q=N[n];    int i;for(i=1;i<n;i++)q=maxx(q,r[i]+upToDown(n-i));r[n]=q;return q;
}
int maxx(int a,int b)
{if(a>=b)return a;elsereturn b;
}

个人看法，若要求长度n的最大收益，就必须知道他的子问题的收益，如子问题收益已知就直接返回，如果不知道，就继续求解子问题的子问题。从这个思路可以看出，只有知道了子问题才可以求出当前问题，所以虽然是从n开始递归，但最终都是求出了最基本的子问题之后，再开始往上求解上一级的子问题。所以自顶向下也是有一个自底向上的过程。

自底向上的动态规划

由于最终都是要找到最底层，最基本的子问题，所以干脆直接从最底层开始自底向上的求出最终解。
同样创建两个大小为11的数组来储存这些钢条能卖出的价格，和当前钢条能买到的最大价格

int N[11]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int n[11]={0};

动态规划的核心是保存已计算的子问题的值，并且是自底向上的动态规划，我们选用嵌套的两个for循环，从长度1开始依次计算各个长度的最优解。
核心代码：

 puts("输入你要裁剪的钢条长度：");scanf("%d",&current);for(i=1;i<=current;i++){int q=N[i];for(j=1;j<=i;j++){q=maxx(q,n[j]+n[i-j]);}n[i]=q;}

内层循环

for(j=1;j<=i;j++)
{q=maxx(q,n[j]+n[i-j]);
}

每一次内层循环之后，长度为i的最优解就已知了。

在钢条长度为i时，遍历i的各种切割方法，来求出长度i的最优解
仔细思考内外层循环可知

i=1时，内层循环运行1次
i=2时，内层循环运行2次
i=3时，内层循环运行3次

i为n时，内层循环运行n次。
所以总的迭代次数构成一个公差为1的等差数列，显然时间复杂度为O（n^2）.

总结

利用动态规划，完成了时间复杂度从指数到常数时间的优化，足以看出动态规划的巨大威力，能用动态规划运用于求解有重复子问题的情况，动态规划不会重复计算子问题，从而大大节约了时间。

摘一段《算法导论》中的话

我通常按照4个步骤来设计一个动态规划算法
1.刻画一个最优解的特征
2.递归的定义最优值
3.计算最优值，通常采用自底向上的方法

从第2点可以看出，动态规划和递归之间有着千丝万缕的联系，动态规划可以利用递归的思路非递归的来解决问题，从而到优化时间的目的！