九大背包问题专题--背包问题求方案数

7.背包问题求方案数

问题：
有N件物品和一个容量是V的背包。

每件物品只能用一次，第i件物品的体积是vi，价值是wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包的容量，且价值总和最大。

输出最优选法方案数。注意答案可能很大，请输出答案模10^9+7的结果

输入格式
第一行有两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量、背包容积。

接下来有N行，每行两个个整数vi，wi,用空格隔开，分别表示第i件物品的体积、价值。

输出格式
输出一个整数，表示方案数模10^9的结果。

数据范围
0<N，V<=1000
0<V,M<=1000

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例
2

分析思路:

f[i]:体积是恰好j的情况下，最大价值是多少
g[i]：体积是j的情况下, 方案数是多少

第一种决策，最大值和最优解一样
先算选和不选两种方案最大价值是多少,看到底从哪个决策转移过来
假设其中一个比另外一个大，只能从其中一种决策转移过来（选择决策的方案数）
若两种决策答案一样，把两种决策方案数都要选择
更新的时候同时需要更新g数组

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;const int N=1010,mod=1000000009,INF=1000000;
int n,m;
int f[N],g[N]; //g[i]体积是j的情况下 方案数是多少
int main(){  //f[j]体积恰好是j的情况下 cin>>n>>m;g[0]=1; //体积是0的方案数只有1种 for(int i=1;i<=m;i++) f[i]=-INF;  //f[0]=0,除此之外初始状态记为负无穷，所有状态从0开始更新 for(int i=0;i<n;i++)  //枚举物品 {int v,w;cin>>v>>w;for(int j=m;j>=v;j--) //从大到小枚举体积 {int t=max(f[j],f[j-v]+w); //第一种决策，最大值和最优解一样 int s=0;if(t==f[j]) s+=g[j]; //两种都选择if(t==f[j-v]+w) s+=g[j-v]; //第二种决策，最大值和最优解一样，两种都选择if(s>=mod) s-=mod;  //答案和大于10^9,减去这个数 f[j]=t;  //记录最优解 g[j]=s; //记录方案数 }}//统计最优解方案数，遍历整个数组，最优解不一定是f,不一定要用满f的体积才能得到 int maxw=0;for(int i=0;i<=m;i++) maxw=max(maxw,f[i]);int res=0;for(int i=0;i<=m;i++) //所有等于最优解的方案 if(maxw==f[i]){res+=g[i];  //加上体积是i的方案数 if(res>=mod)res-=mod;}cout<<res<<endl;return 0;
}

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