[01背包] 数字组合(01背包+求方案数)

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278. 数字组合

将 M 看作背包容量，每个数看成一个物品，Ai 看成是体积。本题即转化为：求出总体积恰好是 M 的方案数。

思路：

状态表示：
- f[i,j]：所有只从前 i 个物品中选，且总体积不超过 j 的方案的数量
状态计算：
- 和 01 背包一致，根据最后一步第 i 个物品选还是不选分类
- 不包含物品 i 的所有选法：
  - f[i][j] = f[i-1][j]
- 包含物品 i 的所有选法
  - f[i][j] = f[i-1][j-vi]
- 状态转移方程： f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-vi]
状态初始化及答案：
- f[0]=1，初始 M 为 0 时，一个不选也是一种方案，其它均为 0
- 答案即为 f[m]

一维代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 10005;int n, m;
int f[N];int main() {cin >> n >> m;f[0] = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {int v;cin >> v;for (int j = m; j >= v; --j) f[j] += f[j - v];}cout << f[m] << endl;return 0;
}

二维代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 10005;int n, m;
int v[N];
int f[N][N];int main() {cin >> n >> m;f[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i];for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 0; j <= m; ++j) {f[i][j] = f[i - 1][j];if (j >= v[i]) f[i][j] += f[i - 1][j - v[i]];}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

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