BF算法和KMP算法详解

串匹配问题

给定两个字符串S和T，在主串S中查找子串T的过程称之为串匹配（模式匹配）,T称之为模式。这样一类的问题在实践中应用非常广泛。在文本处理系统、操作系统、编译系统、数据库系统以及Internet信息检索系统中，串匹配都是使用最频繁的操作。

一般来说，串匹配问题具有以下的特征：

问题输入规模很大，常常要在大量信息中进行匹配。因此，算法执行依次的时间也不可忽视
匹配操作经常被调用，执行频率很高，因此，算法改进的累积效益往往比表面看起来要高

解决串匹配问题可以使用蛮力法或者KMP模式匹配。

首先介绍一下BF算法（朴素的模式匹配算法）：
从主串的S的第一个字符开始和模式T的第一个字符进行比较，若相等，则继续比较二者的后序字符；若不相等，则从主串S的第二个字符开始和模式T的第一个字符进行比较，重复上述过程，若T中的字符全部比较完毕，则说明本趟匹配成功；若S中的字符全部比较完毕，则匹配失败。这个算法称之为BF算法。

BF算法的基本思想如上图。
设有主串S=“abcabcacb”，模式T=“abcac”，则其匹配执行过程如下：

上述BF算法可描述为以下伪代码：

输入：主串S，模式T
输出：T在S中的位置1. 初始化主串开始比较位置index=02. 在串S和串T中设置比较的起始下标i=0,j=03. 重复以下操作：直到其中一个串比较完毕if S[i]==T[j] i++;j++elseindex++;i=index;j=0
4. 如果T中所有字符均比较完毕，则返回匹配的开始位置，否则返回0

其算法用C++语言描述如下：

int BF(char S[],char T[]){int index=0;      //主串从下标0开始第一趟匹配int i=0,j=0;        //设置比较的起始下标while((S[i]!='\0')&&(T[j]!='\0')){if(S[i]==T[j]){i++;j++}else{index++;i=index;j=0;}
}

对BF算法分析：
BF算法在某趟匹配失败后，对于主串S要回溯到本趟匹配开始字符的下一个字符，模式T要回溯到第一个字符，这就造成了BF算法的效率低下，而这些显然是不必要的：

观察上图匹配过程，在第一趟匹配过程中，S[0]~S[3] 和T[0] ~ T[3]匹配成功，S[4]！=T[4]匹配失败，因此有了第二趟。因为第一趟中有S[1]=T[1],而T[0]！=T[1]，故T[0]！=S[1]，所以第二趟是不必要的，同理，第三趟也是不必要的，可以直接到第四趟。进一步分析第四趟中的第一对字符S[3]和T[0]的比较是多余的，因为第一趟中已经比较了S[3]和T[3]，并且S[3]=T[3]，而T[0]=T[3],因此必有是S[3]=T[0],因此第四趟比较可以从第二对字符S[4]和T[1]开始进行，也就是说，第一趟匹配失败后，下标i不回溯，而是将下标j回溯至第二个字符，从T[1]和S[4]开始进行比较.

而关键的问题在于S[i]和T[j]匹配失败后，下标i不回溯，下标j回溯至某个位置k，从T[k]和S[i]开始比较。这个其中的k是如何确定的？

下面我们观察部分匹配成功时的特征，某趟在S[i]和T[j]匹配失败后，下一趟比较从S[i]和T[k]开始，则有T[0]~T[k-1] =S[i-k] ~S[i-1]成立，如下图a所示；在部分匹配成功时，有T[j-k] ~T[j-1]=S[i-k] ~S[i-1]成立。如图b所示。

所以可得：T[0]~T[k-1]= T[j-k] ~T[j-1]。
这说明：模式中每个字符都对应一个k值，而且该k值仅依赖于模式本身，于主串无关。

例如主串S=“ababaababcb”，模式T=“ababc”，其模式T的next值为{-1,0,0,1,2}。而其对应的KMP（改进的串匹配）算法过程如下：

该KMP算法匹配的伪代码如下：

输入：主串S，模式T
输出：T在S中的位置1. 初始化主串开始比较位置index=02. 在串S和串T中设置比较的起始下标i=0,j=03. 重复以下操作：直到其中一个串比较完毕if S[i]==T[j] i++;j++elsej=next[j]          //将下标j回溯到next[j]的位置if  j=-1  i++;j++ 准备下一趟比较
4. 如果T中所有字符均比较完毕，则返回匹配的开始位置，否则返回0

KMP算法的C++代码实现：

/**在求得模式T的next值后，KMP算法只需将主串扫描一遍。所以其时间复杂度为O(n).
**/
void getNext(char T[],char S[]){int len=-1,i,j;next[0]=-1;for(j=1;T[j]!='\0';j++){                 //依次求next[j]for(len=j-1;len>=1;len--){          //相等子串的最大长度为j-1for(int i=0;i<len;i++)                             //依次比较T[0]~T[len-1]与T[j-len]~T[j-1]if(T[i]!=T[j-len+i])break;if(i==len){next[j]=len;break;}}if(len<1)next[j]=0;                   //其他情况，无子串相等}
}
int KMP(char S[],char T[]){int i=0,j=0;int next[80];      //假定模式最长为80个字符GetNext(T,next);while(S[i]!='\0'&&T[j]!='\0'){if(S[i]==T[j]){i++;j++;}else{j=next[j];if(j==-1){i++;j++}}}if(T[j]=='\0') return (i-strlen(T)+1);       //返回本趟匹配的开始位置else return 0;
}

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