数据结构之字符串匹配算法（BF算法和KMP算法）

字符串匹配算法：就是给定两个串，主串（s）和子串（sub），查找子串是否在主串里面，如果找到便返回子串在主串中第一个元素的位置下标，否贼返回-1,。在这里我
们讨论的时候主要用字符串来举例实现。总共有两个算法，分别为BF算法和它的优化算法KMP算法。
首先我们来讲一下BF算法，BF 算法即朴素算法 ：它的实现方式是这样的，假定我们给出字符串 ”ababcabcdabcde”作为主串，然后给出子串： ”abcd”,现在我们需要查找子串是否在主串中出现，出现返回主串中的第一个匹配的下标，失败返回-1；

我们看上图，这是两个字符串，上面是主串，下面是子串，BF算法的基本原理用绿字写在旁边，大家可以动手画一下来体会这个过程。
那么，我用代码来实现一下BF算法函数：

int BF(Str *s,Str *sub,int pos)
{if(pos<0||pos>s->length){return -1;}int i = pos;//pos是传的参数，表示从主串的那个位置开始匹配int j = 0;int lens = s->length;int lensub = sub->length;while (i < lens && j < lensub)//进入while的条件是标记i和j都没有走完主串和子串{if (s->elem[i] == sub->elem[j])//字符相等{i++;j++;}else//字符不相等{i = i - j + 1;//让i回到开始位置加1的地方，继续匹配j = 0;//让j指向子串的0号下标}}if (j >= lensub)//这里做一个判断，j>=lensub的情况下就是在主串中找到了子串，就返回i-j，i是pos位置，减去j等于走了一个子串的长度。{return i - j;}else return -1;
}

其实它函数就这么一点，很简单，很好理解。BF函数有三个参数，分别是主串（s），子串（sub）和从那个位置开始查找的一个整型变量（pos）。注释很详细。

KMP 算法：相对于 BF 算法来说 KMP 算法更为高效，原因在于 BF 算法的时间复杂度是：
O(mn)，M 代表主串的长度， n 代表子串的长度。而 KMP 的话，时间复杂度就变为 O(m+n);接下来我们看一下，具体的实现过程，还是一样，我们举例来看： KMP 和 BF 唯一不一样的地方在，主串的 i 并不会回退到开始的位置加1的地方，并且 j 也不会移动到 0 号位置。我们先看个例子：

在这时，i并没有回退，但j退回到0.

KMP算法中标记量i，j的移动并不像BF算法那样，这里我们必须引进一个量K，K表示的是匹配失败时子串的回退下标，所有的K都存在一个next数组中，这个next数组说起来就是一个存下标的整型数组嘛，可计算起来就有点绕了。。。
记下来我们手动计算一下next数组的K值

上图是我求好next数组的一个字符串，接下来，我要用一段超级好理解的大白话来给你将K值的计算，首先，第一个元素的K值是-1，第二个元素的K值是0，这个是固定的，我们要从第三个元素开始，利用一二元素的K值来计算，先明确两点，1，计算哪个元素的K值要看前面的元素，不能包括自己,2，需找子字符串时必须以0号元素，也就是第一个元素开始，以要计算K值的那个元素的前一个元素结束，回到上图，第三个元素是c，我们只能在前两个字符的子串中找，而且要以a开始，b结束，很明显找不到两个一样的满足条件的真子串，所以2号下标元素的K值为0；3号下标元素为a，不包含自己前面有三个元素，真子串只能是a,b,c,ab,bc，很明显也找不出两个满足条件的真子串，所以3号下标的元素的K值为0；4号下标为b，前面有四个元素，以a元素开始，a元素结束，可以有的真子串是a,b,c,a,ab,bc,ca,abc,bca,可以看出只能是单个元素a瞒足条件，所以4号下标元素K值为1；5号下标元素是d，前面一共有五个字符元素，利用上面的方法很好找出满足条件的是子串ab，因为找出的子串长度为2，则5号下标元素的K值为2；6号下标元素为e，要找一个以a开始，d结尾的真子串，很明显没有，所以6号下标元素的K值为0，后面的7和8号下标元素的K值大家可以自己算算。
手动求K值就是这样一个方法，下面给大家两个例子，可以动手算算，答案在该博客末尾，计算完可以对比一下。
练习 1：举例对于”abcababcabc”，求其的 next 数组？
练习 2：再对”abcabcabcabcdabcde”,求其的 next 数组？
明白了K值的定义和计算，那么我们现在进入到KMP算法最关键的地方，KMP算法的原理和公式推导

上图是我给出的一个例子，我们用j来做子串的标记，假设j++走到5号下标处不适配，我们可以算出5号下标元素的K值为2，所以表示紧挨者的j-1和j-2开始的0和1号下标的元素相同，所以在这里等于ab子串已经找过，5号下标d应该回退到2号下标，我们把3号下标设为k，把3号下标的元素设为Pk，跳出这个例子，next数组本身存放的就是j的回退路线下标K值，设0号下标元素为P0，
5号下标元素为Pj（因为此时j刚好调到5号下标元素处），那4号下标元素就是Pj-1。

由此可以轻松得到一个数学公式，即：P0 … Pk-1 = Px …Pj-1 因为前后找到的两个字符串本身就是相等的，所以在这样的顺序存储方式中，下标之差应该也是相等的，得到0 + k-1 = x + j-1 合并得x=j-k，所以上面等式可以写为P0 … Pk-1 = Pj-k … Pj-1。我们可以看出这个等式只是有关于下标j和k，那么作为Pk和Pj作为字符，它们比较只有两种结果，要么相等，要么不等，那么，我们先不放假设Pk = Pj，把Pk和Pj分别加到上面等式的两边可得，P0 … Pk = Pj-k … Pj(1)，因为next数组本来就是存放K值的，所以next[i] = k(2),那么由(1)(2)两个等式可以找规律明显得出
next[j+1] = k+1,也就是说：

那么另一种Pk ！= Pj的情况呢？还是一样先来看一个例子：

当Pk！=Pj时，按相等的方法回退一次并不能满足，但是我们很容易发现，在回退一次的基础上再回退一次便可解决问题，所以这里很容易得出K = next[K];
原理和公式推导就讲到这里，如果你还是不清楚，建议你可以举例子来画着捋一捋思路。
接下来我用代码实现以下求next数组的算法：

void GetNext(int* next,char* sub)
{int len = strlen(sub);next[0] = -1;next[1] = 0;int i = 2;int k = 0;while(i<len){if((k == -1) || sub[k] == sub[i -1])//if和else就是我上面所说的Pk = Pj和Pk!=Pj的情况，这里k=-1进入的原因是存在回退到0号下标元素的情况，因为它的K值为-1，所以需要执行一次k++，来让它置为0{next[i] == k+1;i++;k++;}else{k = next[k];}}
}

代码实现KMP算法函数：

int KMP(const char* s,char* sub,int pos)
{int lens = strlen(s);int lensub = strlen(sub);int i = pos;int j = 0;int* next = (int*)malloc(sizeof(int)*lensub);//malloc动态开辟内存，大小为sub串的长度乘sizeof取类型GetNext(next,sub);//通过上面写的GetNext函数自动获取next数组while(i < lens && j < lensub)//while循环的条件是标记值i和j分别没有走完主串和子串，如果主串走完说明没有匹配到，子串走完说明已经匹配到，这是都跳出while循环{if( (j == -1) || s[i] == sub[j]){i++;j++;}else{j = next[j];}}free(next);//这里一定要记得释放next动态开辟的内存，否则会发生内存泄漏的情况if(j >= lensub){return i - j;}elsereturn -1;
}

最后，完整代码加运行结果奉上：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<string.h>
void GetNext(int* next,char* sub)
{int len = strlen(sub);next[0] = -1;next[1] = 0;int i = 2;int k = 0;while(i<len){if((k == -1) || sub[k] == sub[i -1]){next[i] = k+1;i++;k++;}else{k = next[k];}}
}int KMP(const char* s,char* sub,int pos)
{int lens = strlen(s);int lensub = strlen(sub);int i = pos;int j = 0;int* next = (int*)malloc(sizeof(int)*lensub);GetNext(next,sub);while(i < lens && j < lensub){if( (j == -1) || s[i] == sub[j]){i++;j++;}else{j = next[j];}}free(next);if(j >= lensub){return i - j;}elsereturn -1；
}int BF(char *s,char *sub,int pos)
{if(pos<0 || pos>strlen(s)){return -1;}int i = pos;int j = 0;int lens = strlen(s);int lensub = strlen(sub);while (i < lens && j < lensub){if (s[i] == sub[j]){i++;j++;}else{i = i - j + 1;j = 0;}}if (j >= lensub){return i - j;}else return -1;
}int main()
{char *s = "abefzkrbc";char *sub = "zkr";printf("BF   =%d\n", BF(s, sub, 0));printf("KMP   =%d\n", KMP(s,sub,0));return 0;
}

练习答案：第一题：-1 0 0 0 1 2 1 2 3 4 5
第二题：-1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 0
这是我学习中的浅见，如果那里有问题，或者不全面，之后会继续补充，谢谢！

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