n阶差分方程重根计算公式的一般证明
n阶差分方程重根计算公式的一般证明
设(x-a)^n=0,则它的解的形式为a^n,n*a^n,n^2*a^n...,n^(n-1)*a^n
下面采用数学归纳法证明:
即在(x-a)^(n+1)=0时,它的解形式为:a^(n+1),(n+1)*a^(n+1),(n+1)^2*a^(n+1)...,(n+1)^(n)*a^(n+1)
目前设一般形式为(n+1)^s*a^(n+1) , (其中0<=s<=n,不能取到n+1 )
将(n+1)^s*a^(n+1)代入(x-a)^(n+1)中有:
result=SUM { C(n+1,k)*(n+1+k)^s*a^(n+1+k)*(-a)^(n+1-k) } (其中0=< k <=n+1)
Go
result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1,k)*(n+1+k)^s*(-1)^(n+1-k) }
在这里首先n是固定的,先假定s是不变的,然后假定k是不变的,对于{}中的多项式(n+1+k)^s用newton展开有:
GO
result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1,k)* SUM { C(s,k')*(n+1)^k'*k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) } (其中0=< k' <=s)
Go
k在第二个SUM里面是定的,所以运用前面的技巧C(n+1,k)*(n+1)^k'=C(n+1-1,k-1)*(n+1)^(k'-1):
result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1-1,k-1)* SUM { C(s,k')*(n+1)^(k'-1)*k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) } (其中0=< k' <=s)
GO
对(n+1)^(k'-1) 运用newton展开有:
这里(其中0=< k'-1 <=s-1)
result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1-1,k-1)* SUM { C(s,k')* SUM { C(k'-1,k'')*n^k'' } *k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) }
Go
result=a^(2*n+2)* SUM { C(n,k-1)* SUM { C(s,k')* SUM { C(k'-1,k'')*n^(k'-1-k'') } *k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) }
注意由数学归纳法可以知道:
其中最内层的SUM和为0,这个是(x-a)^n=0时解应该满足的条件。
从而得到证明。
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