n 阶贝塞尔曲线计算公式—

文章目录

1、什么是贝塞尔曲线
2、常见贝塞尔曲线
3、贝塞尔曲线通用公式
- 3.1、贝塞尔曲线通用公式
- 3.2、思路解析
- 3.3、实现方法
- 3.4、效果展示
- 3.5、Demo下载
4、结束语

1、什么是贝塞尔曲线

Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。
看了这段话，相信你还是不大明白贝塞尔曲线到底是怎么样的，这里放上贝塞尔曲线扫盲贴，有需要的自行阅读！这里有个贝塞尔游戏，有兴趣的可以体验一下！

2、常见贝塞尔曲线

这里我们放上去常见的贝塞尔曲线效果演示图：

以下公式中：
B(t)为t时间下点的坐标
P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线(线段)：

一阶贝塞尔曲线通用公式：
B(t)=(1−t)P0+tP1，t∈[0,1]\begin{aligned} B(t)=(1-t)P_0+tP_1， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)P0+tP1，t∈[0,1]

意义：由 P0 至 P1 的连续点，描述的一条线段

二阶贝塞尔曲线(抛物线)：

二阶贝塞尔曲线通用公式：
B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2，t∈[0,1]\begin{aligned} B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2，t∈[0,1]

原理：
由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
经验：P1-P0为曲线在P0处的切线

三阶贝塞尔曲线：

三阶贝塞尔曲线通用公式：
B(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3，t∈[0,1]\begin{aligned} B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3，t∈[0,1]

四阶贝塞尔曲线：

五阶贝塞尔曲线：

3、贝塞尔曲线通用公式

3.1、贝塞尔曲线通用公式

我们查阅资料给出的一般公式是这样的：

B(t)=∑i=0n(ni)Pi(1−t)n−iti=(n0)P0(1−t)nt0+(n1)P1(1−t)n−1t1+...+(nn−1)Pn−1(1−t)1tn−1+(nn)Pn(1−t)0tn，t∈[0,1]\begin{aligned} B(t)=\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} P_i(1-t)^{n-i}t^i= \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} P_0(1-t)^nt^0+ \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} P_1(1-t)^{n-1}t^1+...+ \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} P_{n-1}(1-t)^1t^{n-1}+ \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} P_n(1-t)^0t^n， t\in[0,1] \end{aligned} B(t)=i=0∑n(ni)Pi(1−t)n−iti=(n0)P0(1−t)nt0+(n1)P1(1−t)n−1t1+...+(nn−1)Pn−1(1−t)1tn−1+(nn)Pn(1−t)0tn，t∈[0,1]

3.2、思路解析

观察上面公式，可以查看出，其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键：
(ni)Pi(1−t)n−iti，t∈[0,1]\begin{aligned} \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} P_i(1-t)^{n-i}t^i， t\in[0,1] \end{aligned} (ni)Pi(1−t)n−iti，t∈[0,1]

该表达式可分为四个部分看：

从 i 递增到 n 的常数部分
PiP_iPi 坐标部分
(1−t)n−i(1 - t)^{n - i}(1−t)n−i
tit^iti

可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)

如果直接从上面的公式上找规律比较抽象，那就从具体的例子中找规律吧。
设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2…Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式:

如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。

N = 3 P=(1−t)2P0+2(1−t)tP1+t2P2P=(1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2P=(1−t)2P0+2(1−t)tP1+t2P2

N = 4 P=(1−t)3P0+3(1−t)2tP1+3(1−t)t2P2+t3P3P= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3P=(1−t)3P0+3(1−t)2tP1+3(1−t)t2P2+t3P3

N = 5 P=(1−t)4P0+4(1−t)3tP1+6(1−t)2t2P2+4(1−t)t3P3+t4P4P = (1-t)^4P_0 + 4(1-t)^3tP_1 + 6(1-t)^2t^2P_2 + 4(1-t)t^3P_3 + t^4P_4P=(1−t)4P0+4(1−t)3tP1+6(1−t)2t2P2+4(1−t)t3P3+t4P4

将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示，设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式：
a(1−t)btcPn,t∈[0,1]a(1 - t)^bt^cP_n, t\in[0,1] a(1−t)btcPn,t∈[0,1]

分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值:
如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 (1−t)2P0(1-t)^2P_0(1−t)2P0，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0

N = 3: 1,2,0 2,1,1 1,0,2
a: 1 2 1
b: 2 1 0
c: 0 1 2

N = 4: 1,3,0 3,2,1 3,1,2 1,0,3
a: 1 3 3 1
b: 3 2 1 0
c: 0 1 2 3

N = 5: 1,4,0 4,3,1 6,2,2 4,1,3 1,0,4
a: 1 4 6 4 1
b: 4 3 2 1 0
c: 0 1 2 3 4

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：
N=1:———1
N=2:——–1 1
N=3:——1 2 1
N=4:—–1 3 3 1
N=5:—1 4 6 4 1
a 值的改变规则为：杨辉三角

3.3、实现方法

好了，到这里我们基本上已经知道思路了，下面我们使用Ts写一下：

这里使用的是：
Vscode
Cocos Creator

/*** * @param ctrlPosArr 贝塞尔曲线控制点坐标* @param precison 精度，需要计算的该条贝塞尔曲线上的点的数目* @param resArr 该条贝塞尔曲线上的点（二维坐标）*/getBezierPos(ctrlPosArr:Array<cc.Vec2>,precison:number):Array<cc.Vec2>{cc.log(ctrlPosArr)let resArr:Array<cc.Vec2> = new Array<cc.Vec2>();/**贝塞尔曲线控制点数目（阶数）*/let number:number = ctrlPosArr.length;if(number < 2){cc.log("控制点数不能小于 2");return resArr;}/**杨辉三角数据 */let yangHuiArr:Array<number> = this.getYangHuiTriangle(number);//计算坐标for (let i = 0; i < precison; i++) {let t:number = i/precison;let tmpX:number = 0;let tmpY:number = 0;for (let j = 0; j < number; j++) {tmpX += Math.pow(1 - t,number - j - 1) * ctrlPosArr[j].x * Math.pow(t,j) * yangHuiArr[j];tmpY += Math.pow(1 - t,number - j - 1) * ctrlPosArr[j].y * Math.pow(t,j) * yangHuiArr[j];}// resArr[i].x = tmpX;// resArr[i].y = tmpY;resArr[i] = new cc.Vec2(tmpX,tmpY);}return resArr;}/*** 获取杨辉三角对应阶数的值* @param num 杨辉三角阶数*/getYangHuiTriangle(num:number):Array<number>{//计算杨辉三角let yangHuiArr = new Array<number>();if(num === 1){yangHuiArr[0] = 1;}else{yangHuiArr[0] = yangHuiArr[1] = 1;for (let i = 3; i <= num; i++) {let t = new Array<number>();for (let j = 0; j < i - 1; j++) {t[j] = yangHuiArr[j];}yangHuiArr[0] = yangHuiArr[i - 1] = 1;for (let j = 0; j < i - 2; j++) {yangHuiArr[j + 1] = t[j] + t[j + 1];            }}}cc.log(yangHuiArr);return yangHuiArr;}

3.4、效果展示

下面我取几个点，做一下演示：

let p1:cc.Vec2 = cc.v2(0,0);let p2:cc.Vec2 = cc.v2(200,200);let p3:cc.Vec2 = cc.v2(400,150);let p4:cc.Vec2 = cc.v2(500,200);this.drawPoint(p1);this.drawPoint(p2);this.drawPoint(p3);this.drawPoint(p4);this.drawLine(p1,p2,cc.Color.GREEN);this.drawLine(p2,p3,cc.Color.GREEN);this.drawLine(p3,p4,cc.Color.GREEN);let posArr1:Array<cc.Vec2> = [cc.v2(-150,80),cc.v2(1,80),cc.v2(48,92),cc.v2(167,159),cc.v2(309,271),cc.v2(421,394),cc.v2(514,498),cc.v2(597,572),cc.v2(658,590),cc.v2(745,550),cc.v2(802,465),cc.v2(841,320),cc.v2(866,266),cc.v2(951,163),cc.v2(1054,133),cc.v2(1228,126),cc.v2(1278,128),cc.v2(1430,128)]

为了验证正确性，我这里先用ts自带的贝塞尔曲线公式，通过四个点来画出三阶贝塞尔曲线，再用自己的点来画一遍，然后用自己的代码来画n阶贝塞尔曲线。效果如下：

3.5、Demo下载

为了方便大家，当然如果有不明白的童鞋也可以在这里点此下载Demo示例！

4、结束语

The End
好了，今天的分享就到这里，如有不足之处，还望大家及时指正，随时欢迎探讨交流！！！

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