[数学/质数筛] 素数筛法

Date:2019/10/16??
其实现在都快1点了，算是16号，啊？？
今天讲了素数的筛法

其实，在很小的数据范围内，不同的算法复杂度是差不多的，但是，如果处理几个数据，算法的作用就没有发挥出来

朴素算法
埃氏筛法
线性筛法（欧拉筛）
P3383 【模板】线性筛素数

朴素算法

素数最朴素的算法了
它的时间复杂度是O(n*sqrt(n))的

bool prime (int x){for(int i = 2; i <= x; i ++){if(x % i ==0){return 0;}}return 1;
}

但是，这只适用于小数据的处理，所以我们需要改进算法

Eratosthenes（埃氏筛法）

整数的唯一分解定理：
任何一个大于1的自然数 N，如果N不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1 ^ a1 · P2 ^ a2 · P3 ^ a3 · … · Pn ^ an ，这里P1<P2<P3<…<Pn均为质数，其诸指数 ai 是正整数。
（：当然质数的话直接就是质数本身）
埃氏筛法的思想：
枚举每个素数，然后把他们的倍数都打上标记，从而达到筛出的目的
质数的倍数一定不是质数

时间复杂度是 O(nloglogn)

具体代码是

注意j = i可以做到一部分的优化作用

for(int i = 1; i <= sqrt(n); i ++){       //循环一遍可以有倍数的    if(b[i] == 1) continue;           //如果不是质数或已经判断过，直接跳过 for(int j = i; i * j <= n;j++){       //内层循环倍数 //pay attention to j = i; b[i*j] = 1;                        //打上标记                  }
}

但是这个算法在1e7左右还是不太好用，会TLE（~~哭晕~
而且埃氏筛法还有一个缺陷：
对于一个合数，有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……
那么如何确保每个合数只被筛选一次呢？我们只要用它的最小质因子来筛选即可，这便是欧拉筛法

线性筛法（欧拉筛法）

线性筛法是什么意思呢？
就是我们在埃氏筛法中有个问题就是一个数可能被筛多次
所以就造成了时间的浪费，所以算法就在这里做了改进

基本思想：在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Prime(){mem(visit,0);mem(prime, 0);for (int i = 2;i <= maxn; i++) {if (!visit[i]) {prime[++prime[0]] = i;      //记录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数}for (int j = 1; j <= prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {//j 循环枚举了当前位置已判定为素数的数，并且限制倍数和质数的和的乘积不大于最大数
//            cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;visit[i*prime[j]] = 1;    //打标记if (i % prime[j] == 0) { //这一步比较重要，如果i%j==0，说明i 就不是最小的质因子，所以就跳出程序了；break;}}}
}

还有网友版本的~

void init()
{memset(bz,1,sizeof(bz));tot=0;for (int i=2;i<MAXN;i++) {if (bz[i])p[tot++]=i;for (int j=0;j<tot && i*p[j]<=MAXN;j++) {bz[i*p[j]]=0;if (i%p[j]==0)break;}}
}
————————————————
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涨知识ing~~~
%%%%%%dalao 们

P3383 【模板】线性筛素数

做个水题
P3383 【模板】线性筛素数

裸题

AC code

稍微注意一下0和1的特判

//Author:PhilFan;
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 10000010
using namespace std;
int n,m,a[MAXN],p[MAXN],x;
void init(int n)
{memset(p,0,sizeof(p));p[1]=1;  tot=0;for (int i = 2;i <= n;i++) {if(a[i]==0)    p[tot++]= i;for (int j = 0;j < tot && i * p[j] <= n+5; j++) {a[i * p[j]] = 1;if (i % p[j] == 0)    break;}}
}int main()
{scanf("%d %d",&n,&m);init(n);a[0]=1,a[1]=1;for(int i = 1; i <= m; i++){scanf("%d",&x);if(a[x]==0){printf("Yes\n");}else{printf("No\n");}x=0;}  return 0;
}

P1865 A % B Problem网址

这道题是输出区间的质数，需要在线性筛法中加入一个前缀和的数组，因为不加的话会TLE一个点


//Author:PhilFan;
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 10000010
using namespace std;
int n,m,a[MAXN],p[MAXN],b[MAXN],x,y,cnt;
void init(int n)
{memset(p,0,sizeof(p));p[1]=1;  int tot=0;for (int i = 2;i <= n;i++) {if(a[i]==0){p[tot++]= i;b[i]=b[i-1]+1;//前缀和数组   //如果有多的质数，数组++}else b[i]=b[i-1];//如果质数没有多，b[i]就和上一个一样for (int j = 0;j < tot && i * p[j] <= n+5; j++) {a[i * p[j]] = 1;if (i % p[j] == 0)   break;}}
}int main()
{scanf("%d %d",&m,&n);a[0]=1,a[1]=1;init(n);for(int i = 1; i <= m; i++){scanf("%d %d",&x,&y);if(x<1||x>n||y<1||y>n){       //特判printf("Crossing the line\n");}else{cout<<b[y]-b[x-1]<<endl;  //x有可能也是质数，所以是x-1x = 0 , y = 0;}}  return 0;
}

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