求质数（素数）算法，及算法优化

质数（素数）：只能被1和其本身整除的数字（其中1和0不属于质数）

接下来我们用多种方法求1000以内（包含1000）的质数数量，并且统计每种方法的循环次数
(如果只想知道速度快的方法可以直接看方法五)

方法一：

循环遍历所有情况

int count1 = 0;//质数个数
int count2 = 0;//循环次数
for(int i=2;i<=1000;i++) {int flag = 0;//用作标记，如果是质数就为0，不是质数就为1for(int j=2;j<i;j++){count1++;if(i % j == 0 ){flag = 1;//不是质数，改为1}}if(flag == 0){count2++;}
}
System.out.println(count1);
System.out.println(count2);

此时总循环次数为498501次
质数个数有168个

方法二

改进点： 当一个数第一次被比自己小的数（不包含1）整除成功后，我们就可以立刻判断出这个数不是质数，所以我们使用break跳出循环，结束对这个数接下来的判断

int count1 = 0;//质数个数
int count2 = 0;//循环次数
for(int i=2;i<=1000;i++) {int flag = 0;//用作标记，如果是质数就为0，不是质数就为1for(int j=2;j<i;j++){count1++;if(i % j == 0 ){flag = 1;//不是质数，改为1break;//既然已经知道这个数不是质数，那么就可以结束对这个数字的判断}}if(flag == 0){count2++;}
}
System.out.println(count1);
System.out.println(count2);

此时总循环次数为78022次
质数个数有168个

方法三

改进点： 如果存在数字1能被数字2整除，那么一定存在这样一个小于等于数字1算术平方根的数字2（数学定理），所以一个数字在2~本身算术平方根这个数字区间内没有遇到能够被整除的数字，那么这个数就不是质数
　　简单解释一下：因数都是成对出现的。比如，100的因数有：1和100，2和50，4和25，5和20，10和10。看出来没有？成对的因数，其中一个必然小于等于100的开平方，另一个大于等于100的开平方。

注释掉的部分可以进一步提高计算速度，但提高不是非常大

int count1 = 0;//质数个数
int count2 = 0;//循环次数
for(int i=2;i<=1000;i++) {int flag = 0;//用作标记，如果是质数就为0，不是质数就为1//if(Math.sqrt(i)!=(int)Math.sqrt(i)){for (int j = 2; j <= Math.sqrt(i); j++) {//j改为小于i的平方根count2++;if (i % j == 0) {flag = 1;//不是质数，改为1break;//既然已经知道这个数不是质数，那么就可以结束对这个数字的判断}}//}else {//    count2++;//}if (flag == 0) {count1++;}
}
System.out.println(count1);
System.out.println(count2);

此时总循环次数为5288次
质数个数有168个

方法四

改进点： 如果数字1取余数字2不等于0，那么数字一取余数字2的倍数一定也不为0。
例如：7%2！=0那么我们没必要再去算7%4和7%6，因为4=22,6=32
所以，我们只需要判断一个数是否能被小于他的质数除尽即可
在这里我们将已经算出来为的质数存到一个数组中，后续的%只需对该数组中小于这个数本身平方根的数字进行

int count1 = 0;//质数个数
int count2 = 0;//循环次数
int re[] =new int[500];//定义一个数组，用于储存质数
re[0] = 2;
int k = 0;
for(int i=2;i<=1000;i++) {int flag = 0;//用作标记，如果是质数就为0，不是质数就为1for(int j=0;j<=k;j++){count2++;if(re[j]>Math.sqrt(i)){//只去小于等于该数字本身平方根的数字break;}if(i % re[j] == 0 ){//只对质数取余flag = 1;//不是质数，改为1break;//既然已经知道这个数不是质数，那么就可以结束对这个数字的判断}}if (flag == 0) {re[++k] = i;count1++;}
}
System.out.println(count1);
System.out.println(count2);

此时总循环次数为3467次
质数个数有168个

方法五

boolean prime[] = new boolean[1001];
int count1 = 0;//质数个数
int count2 = 0;//循环次数
for(int i=2;i<1000;i++){prime[i] = true;
}
for(int i=2;i<=1000;i++){if(prime[i]){for(int j=i+i;j<1000;j+=i){count2++;prime[j] = false;}}
}
for(int i=0;i<=1000;i++){if(prime[i] == true){count1++;}
}
System.out.println(count1);
System.out.println(count2);

此时总循环次数为1956次
质数个数有168个

讲解: 利用了筛法，首先，2是公认最小的质数，所以，先把所有2的倍数去掉；然后剩下的那些大于2的数里面，最小的是3，所以3也是质数；然后把所有3的倍数都去掉，剩下的那些大于3的数里面，最小的是5，所以5也是质数……
　　上述过程不断重复，就可以把某个范围内的合数全都除去（就像被筛子筛掉一样），剩下的就是质数了。维基百科上有一张很形象的动画，能直观地体现出筛法的工作过程。

问题延伸

现在是让你求1000以内的素数，我们可以写死让i<=1000，但如果题目改为让你按从小到大的顺序，输出1000个质数该怎么办呢？第1000个质数的范围在哪里呢？
如果我们使用上面的方法四可以这样写

int count1 = 0;//质数个数
int count2 = 0;//循环次数
int re[] =new int[1001];//定义一个数组，用于储存质数
re[0] = 2;
int k = 0;
for(int i=2;;i++) {if(count1==1000){break;}int flag = 0;//用作标记，如果是质数就为0，不是质数就为1for(int j=0;j<=k;j++){count2++;if(re[j]>Math.sqrt(i)){//只去小于等于该数字本身平方根的数字break;}if(i % re[j] == 0 ){//只对质数取余flag = 1;//不是质数，改为1break;//既然已经知道这个数不是质数，那么就可以结束对这个数字的判断}}if (flag == 0) {re[++k] = i;count1++;}
}
System.out.println(count1);
System.out.println(count2);

但是我们知道方法四比方法五要慢很多，但方法五中我们是提前定好了boolean prime[] = new boolean[1001];，第一千个质数我们应该将prime[]的大小定位多少呢？

这就涉及到了我们的数学知识，数学家找到了一些公式，用来估计某个范围内的素数，大概有几个。在这些公式中，最简洁的就是 x/ln(x)，公式中的 ln 表示自然对数（估计很多同学已经忘了啥叫自然对数）。假设要估计1,000,000以内有多少质数，用该公式算出是72,382个，而实际有78,498个，误差约8个百分点。该公式的特点是：估算的范围越大，偏差率越小。
　　有了素数定理，就可以根据要打印的质数个数，反推出这些质数分布在多大的范围内。因为这个质数分布公式有一定的误差（通常小于15%）。为了保险起见，把反推出的素数分布范围再稍微扩大15%，应该就足够了。

空间优化

看到这你因为这已经是最优的解法了吗？不，现在我们只优化了时间，还没有优化空间。
有些程序猿会想出按位（bit）存储的思路。
　　以Java为例。一个boolean占用4字节内存（boolean类型占了单独使用是4个字节，在数组中又是1个字节）。而1个字节有8个比特，每个比特可以表示0或1。所以，当你使用按位存储的方式，一个字节可以拿来当8个布尔型使用。所以，构造一个定长的byte数组，数组的每个byte存储8个布尔值。空间性能相比直接定义boolean，提高8倍（对于Java而言）。

最后总结

关于代码优化这件事，我认为没有最优，只有更优，科技永远不会停下前进的脚步

努力吧，少年！