电磁场与仿真软件(36)

2024-05-13 14:24:49

这篇我们从最简单的slab waveguide出发看下如何用FDM去计算它.

Slab waveguide可以认为是一个二维的wave guide,简单来说,就是认为在y方向上是无限延伸的.简单理解就是如果是沿着z方向传播的自由空间平面波,那么x,y方向都是无限大的,现在我们在x方向有约束条件,保持在y方向上无限大而已.从数学上来说,y方向上的电磁波是均匀的,即: 如下图:

把这个约束条件带入Maxwell的旋度方程组,就可以简化这些方程,如下图:

做下整理,得到如下方程组: 可以发现有两种完全独立的mode会存在这个波导中,就是我们在第7篇提到的TE和TM mode（简单回顾下:电场在z方向没有分量,就是TE mode,就是下图的Ey mode; 磁场在z方向上没有分量,TM mode,就是Hy mode）

TE,TM mode一般只存在于二维波导中,在三维波导中,不存在完美的TE TM或者TEM mode,一般电场和磁场在z方向都会有分量,计算会变得超级复杂,一般需要做一些近似, 这个后续再写.

然后来看下：

然后我们可以得到:

先研究Ey mode,把上式带入Ey mode方程组, 可以得到:

在开始FDM分析之前,还需要对一些参数进行normalize处理(我也不知道具体原因X",可能是方便计算吧)

对x进行normalize处理:

然后带入方程组,可以得到:

做下整理:

在一般介电物质中,认为r=1 所以三组方程最后可以写成如下形式:

然后把第一式子中的Hz和Hx用第2,3式子中的Ey取代,得到:

然后我们知道:

最后可以得到如下式子,和上一篇的通用求法得到的结果是能对应起来的

再把差分方程用FDM法写成矩阵方程如下:

ey和neff就是我们想求得,ey是电场沿x方向的分布情况,neff和相关只要求得neff,就知道沿z轴方向的传播系数

整个问题就变成在求解矩阵的eigen value和eigen function问题了.

n阶矩阵有n组eigen value和eigen vector的解,我们理论上也可以得一系列Mode的解如下图:

就是一个neff对应了一组ey的解

接下来一篇会写如何用matlab去求解整个问题

参考资料: Dr.Raymond Rumpf在youtube上的CEM课程

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