电磁场与仿真软件(7)

这篇写一些基本量和一些基本理论,对前面几篇的补充和为下面几篇做准备:

1. 波阻抗 $\eta$

波阻抗描述的电场phasor和磁场phasor之间的关系.在求解电磁场时,一般只要求出电场或磁场一个量,利用波阻抗公式: $\tilde{E}(R)=-\eta \tilde{a}_{n}\times\tilde{H} (R)$ $\tilde{H}(R)=1/\eta \tilde{a}_{n}\times\tilde{E} (R)$ 就可以直接求出另一个量 $\tilde{a}_{n}$ 是波传播方向. 电磁波的传播方向 E方向 H方向一定是互相垂直的这里的向量X乘只是标识方向而已.

波阻抗是从无损介质(或真空)麦克斯韦方程组导出的：

$\bigtriangledown \times \tilde{E}=-i\omega \mu \tilde{H}$

在无损介质中, $\tilde{E}=\tilde{E_{0}}e^{-ik\tilde{a_{n}}\cdot \tilde{R}}$ --> $\bigtriangledown \times \tilde{E}=\frac{\partial \tilde{E}}{\partial R}=-ik\tilde{a_{n}}\times \tilde{E_{0}}e^{-ik\tilde{a_{n}}\cdot \tilde{R}}=-ik\tilde{a_{n}}\times\tilde{E}$

带入上式,得到: $-ik\tilde{a_{n}}\times\tilde{E}=-i\omega \mu \tilde{H}$ --> $\tilde{H}=(k/\omega \mu)\tilde{a_{n}}\times\tilde{E}$ k是波数，w是角频率

$k=2\pi /\lambda, \omega =2\pi f$ , --> $k/\omega =\lambda f=v=\sqrt{\varepsilon \mu }$

有定义 $\sqrt{\mu /\varepsilon }=\eta$ --> $\tilde{H}(R)=1/\eta \tilde{a}_{n}\times\tilde{E} (R)$

同理用这个公式 $\bigtriangledown \times \tilde{H}=i\omega \varepsilon \tilde{E}+\vec{J}$ 可以求得: $\vec{J}$ 默认是和位置无关项对位置微分后=0

$\tilde{E}(R)=-\eta \tilde{a}_{n}\times\tilde{H} (R)$

2. TE, TM波

定义波的传输平面,如下图所示:

波的传输方向是一维的, 界面的法线方向也是一维的. 波的传输方向+界面的法线方向构成的平面成为入射平面.

TE wave就是 $\vec{H}$ 在入射平面并且和入射界面的法线方向有一定夹角,而 $\vec{E}$ 是垂直于入射平面的;

TM wave则相反, $\vec{E}$ 在入射平面并且和入射界面的法线方向有一定夹角, $\vec{H}$ 是垂直于入射平面的;

无论是TE Wave还是TM Wave, 波传播方向,电场方向,磁场方向还是互相垂直的.

对于TE Wave或TM wave而言, E或H因为和界面的法线有一定夹角,不是垂直入射(如果垂直入射的话,我们称为TEM wave). 我们大概可以猜到在平行于界面法线方向上, 会形成驻波(参考前一篇)，在垂直界面法线方向上会正常传播.-- 下一节会做定量分析.

3. Snell's law(斯涅耳定律）

假设有一列电磁波按一定角度从介质1入射到介质2,那么它满足Snell's law.

$\theta _{i}=\theta _{r}, sin\theta _{i}/sin\theta _{t}=n2/n1=\sqrt{\varepsilon _{2}/\varepsilon _{1}}$ n2,n1是折射率

这个是由边界条件导出的: $\vec{n}\times (E2-E1)=0$ 即电场的切向在边界上是连续的

入射波在X轴（切向）分量为 $E_{i}=E_{i0}e^{i(\vec{k_{i}}\cdot \vec{x})}$ ,反射波为 $E_{r}=E_{r0}e^{i(\vec{k_{r}}\cdot \vec{x})}$ , 透射波为 $E_{r}=E_{t0}e^{i(\vec{k_{t}}\cdot \vec{x})}$

带入上述边界条件:

$\vec{n}\times (Ei+Er-Et)=0 ,, \vec{n}\times (Ei+Er)=\vec{n}\times (Et)$

上述等式对于任何方向的k都要成立,所以我们可以得到:

$\vec{k_{i}}\cdot \vec{x}=\vec{k_{r}}\cdot \vec{x}=\vec{k_{t}}\cdot \vec{x}$ 其中 $\vec{k_{i}},\vec{k_{r}},\vec{k_{t}},$ 分别是入射波,反射波,透射波的波数.他们在X轴上的投影相等，即 $k_{i}sin\theta _{i}=k_{r}sin\theta _{r}=k_{t}sin\theta _{t}$

把 $k=\omega \sqrt{\varepsilon \mu }$ 带入 ,假设 $\omega$ 是不变的（即入射电磁波反射电磁透射电磁波频率不变姑且这么认为因为如果从电磁波是光子角度来看, 频率会因为碰撞改变的改变量应该很小可以忽略）.

$k_{i},k_{r}$ 都是发生在材料1中的, 所以 $\theta_{i} =\theta_{r}$ 即入射角等于反射角;

$k_{t}$ 是发生在材料2中, $\sqrt{\varepsilon_{1}\mu _{1} }sin\theta _{i} =\sqrt{\varepsilon_{2}\mu _{2} }sin\theta _{t}$ 除了铁磁材料外其他材料 $\mu$ 都是差不多的

所以可以得到: $sin\theta _{i}/sin\theta _{t}=\sqrt{\varepsilon _{2}/\varepsilon _{1}}$

上面这两条就是我们所说的snell's law(斯涅耳定律）

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