复变函数 | 第一部分复数

文章目录

1.1\quad复数的定义
1.2\quad复数的计算与性质
- 1.2.1\quad复数的计算
- 1.2.2\quad复数的性质
- 1.2.3\quad复数的模
- 1.2.4\quad共轭复数
1.3\quad复数的三角表示与指数表示
- 1.3.1\quad复数的两种新表示
- 1.3.2\quad复数的指数形式计算
- 1.3.3\quad复数的根
1.4\quad复平面的区域概念

1.1\quad复数的定义

基础定义：复数，实部与虚部，复平面，实轴与虚轴

复数可以定义为一对有序数对 (x,y)(x,y)(x,y)，对应于 复平面 上的一点。
复平面中，xxx轴定义为实轴，yyy轴定义为虚轴。(x,0)(x,0)(x,0) 对应实轴上的点，为实数；(0,y)(0,y)(0,y) 对应虚轴上的点，称为 纯虚数 。
对于一般形式的点 (x,y)(x,y)(x,y)，x,yx,yx,y 分别称为复数的实部和虚部，记作 Rez=x\mathrm{Re}\ z=xRe z=x，Imz=y\mathrm{Im} z=yImz=y.
定义用 iii 表示虚数。复数可表示为 z=x+iyz=x+iyz=x+iy.

1.2\quad复数的计算与性质

以下列出的都是最基本的性质，其他可列出的性质均可自行推导

1.2.1\quad复数的计算

以下计算中，定义 z=(x,y),z1=(x1,y1),z2=(x2,y2).z=(x,y),z_1=(x_1,y_1), z_2=(x_2,y_2).z=(x,y),z1=(x1,y1),z2=(x2,y2).

加减法：z1+z2=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2).z_1+z_2=(x_1,y_1)\pm (x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2).z1+z2=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2).
乘法：z1z2=(x1,y1)(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+x2y1).z_1z_2=(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).z1z2=(x1,y1)(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+x2y1).
逆元：z−1=(xx2+y2,−yx2+y2)(z≠0).z^{-1}=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}) \quad (z\ne0).z−1=(x2+y2x,x2+y2−y)(z=0).
除法：z1z2=(x1,y1)(x2x22+y22,−y2x22+y22)=(x1x2+y1y2x22+y22,x2y1−y1x2x22+y22)(z2≠0).\frac{z_1}{z_2}=(x_1,y_1)(\frac{x_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{-y_2}{x_2^2+y_2^2})=(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{x_2y_1-y_1x_2}{x_2^2+y_2^2}) \quad (z_2\ne 0).z2z1=(x1,y1)(x22+y22x2,x22+y22−y2)=(x22+y22x1x2+y1y2,x22+y22x2y1−y1x2)(z2=0).

1.2.2\quad复数的性质

交换律：z1+z2=z2+z1z_1+z_2=z_2+z_1z1+z2=z2+z1
z1z2=z2z1\qquad\quad\ z_1z_2=z_2z_1 z1z2=z2z1
结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
(z1z2)z3=z1(z2z3)\qquad\quad\ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3) (z1z2)z3=z1(z2z3)
分配律：z(z1+z2)=zz1+zz2z(z_1+z_2)=zz_1+zz_2z(z1+z2)=zz1+zz2
消除律：z1zz2z=z1z2(z≠0,z2≠0)\frac{z_1z}{z_2z}=\frac{z_1}{z_2} \quad (z\ne 0,z_2\ne 0)z2zz1z=z2z1(z=0,z2=0)

1.2.3\quad复数的模

复数的模是实平面中向量的模的推广。

复数的模：∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2}∣z∣=x2+y2. 几何意义上，复数的模代表原点到 (x,y)(x,y)(x,y) 的距离。

由模引申出的——三角不等式的复数形式：
∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1±z2∣≤∣z1∣+∣z2∣||z_1|-|z_2||\le |z_1\pm z_2|\le |z_1|+|z_2|∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1±z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ ∣z1∣+∣z2∣+⋯+∣zn∣≥∣z1+z2+⋯+zn∣|z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|\ge|z_1+z_2+\dots+z_n|∣z1∣+∣z2∣+⋯+∣zn∣≥∣z1+z2+⋯+zn∣其他的性质：

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣.|z_1z_2|=|z_1||z_2|.∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣.
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣(z2≠0).|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \quad (z_2\ne 0).∣z2z1∣=∣z2∣∣z1∣(z2=0).

1.2.4\quad共轭复数

共轭复数 z‾=x−iy.\overline{z}=x-iy.z=x−iy.

共轭复数基本性质：

z‾‾=z\overline{\overline{z}}=zz=z
∣z‾∣=∣z∣|\overline z|=|z|∣z∣=∣z∣
z1±z2‾=z1‾±z2‾\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}z1±z2=z1±z2
z1z2‾=z1‾z2‾\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}z1z2=z1z2
(z1z2‾)=z1‾z2‾(\overline\frac{z_1}{z_2})=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z2z1)=z2z1
zz‾=∣z∣2z\overline z=|z|^2zz=∣z∣2
Rez=z+z‾2,Imz=−z−z‾2i\mathrm{Re}\ z=\frac{z+\overline z}{2}, \ \mathrm{Im}\ z=-\frac{z-\overline z}{2i}Re z=2z+z, Im z=−2iz−z

1.3\quad复数的三角表示与指数表示

1.3.1\quad复数的两种新表示

复数的指数表示类似于实平面中直角坐标与极坐标的转换。

由复数 zzz 的映射 z:(x,y)↦(r,θ)z:(x,y)\mapsto (r,\theta)z:(x,y)↦(r,θ),得到复数的三角表示式：
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})z=r(cosθ+isinθ) 再由 Euler\mathrm{Euler}Euler 公式：eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}eiθ=cosθ+isinθ，得到复数的指数表达式：
z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ 由此引入复数的辐角概念。

复数的辐角用 Argz\mathrm{Arg}\ zArg z 表示，可取任意实数。而在所有辐角中，把满足 −π<θ0≤π-\pi<\theta_0\le\pi−π<θ0≤π 的 θ0\theta_0θ0 称为 Argz\mathrm{Arg}\ zArg z 的主值，记作 θ0=arg⁡z\theta_0=\arg zθ0=argz.

辐角主值的确定如下：
θ0=arg⁡z={arctan⁡yx(x>0,y∈R)±π2(x=0,y≠0)arctan⁡yx±π(x<0,y≠0)π(x<0,y=0)\theta_0=\arg{z}=\left\{\begin{matrix} \arctan{\frac{y}{x}} & (x>0,y\in\mathbb{R}) \\ \pm\frac{\pi}{2} & (x=0,y\ne 0) \\ \arctan\frac{y}{x}\pm\pi & (x<0,y\ne0) \\ \pi & (x<0,y=0) \\ \end{matrix}\right.θ0=argz=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧arctanxy±2πarctanxy±ππ(x>0,y∈R)(x=0,y=0)(x<0,y=0)(x<0,y=0)

1.3.2\quad复数的指数形式计算

乘法：z1z2=r1eiθ1⋅r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}z1z2=r1eiθ1⋅r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)
逆元：z−1=1re−iθz^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}z−1=r1e−iθ
除法：z1z2=z1z2−1=r1eiθ1⋅1r2e−iθ2=r1r2ei(θ1−θ2)\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=r_1e^{i\theta_1}\cdot \frac{1}{r_2}e^{-i\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}z2z1=z1z2−1=r1eiθ1⋅r21e−iθ2=r2r1ei(θ1−θ2)
辐角：arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg{(z_1z_2)}=\arg z_1+\arg z_2arg(z1z2)=argz1+argz2
arg⁡z−1=−arg⁡z\qquad\ \ \arg{z^{-1}}=-\arg z argz−1=−argz
arg⁡(z1z2)=arg⁡z1−arg⁡z2\qquad\ \ \arg{(\frac{z_1}{z_2})}=\arg z_1-\arg z_2 arg(z2z1)=argz1−argz2

1.3.3\quad复数的根

对于复数 z0=r0ei(θ0+2kπ)z_0=r_0e^{i(\theta_0+2k\pi)}z0=r0ei(θ0+2kπ) ，其 nnn 次根为 z01n=r0nexp⁡[i(θ0n+2kπn)](k=0,1,2,…,n−1)z_0^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{r_0}\exp[i(\frac{\theta_0}{n}+\frac{2k\pi}{n})] \quad (k=0,1,2,\dots,n-1)z0n1=nr0exp[i(nθ0+n2kπ)](k=0,1,2,…,n−1)

1.4\quad复平面的区域概念

基础工具—— 领域（去心邻域）
对于点与区域关系的表述—— 外点，内点，边界点，聚点
对于边界与区域关系的表述—— 开集，闭集，闭包
对于区域有限性的表述——有界区域，无界区域
对于区域连通性的表述——单连通域，多连通域
补充：简单曲线（若尔当曲线）