什么是欧拉公式

欧拉公式是数学中一类非常重要的，能够把三角函数和复数联系在一起，并在我们需要的时候可以简化问题的数学工具。

欧拉公式的推导

如果你懂级数的概念，那么推导处欧拉公式是非常简单的。首先，我们用泰勒级数分别展开exe^xex，sin⁡x\sin xsinx 以及 cos⁡x\cos xcosx

ex=1+x1!+x22!+x33!+⋯+xnn!e^x=1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}ex=1+1!x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn
cos(x)=1−x22!+x44!−x66!+⋯cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdotscos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯
sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdotssin(x)=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯

在exe^xex中，将x替换为jyjyjy，那么表达式就变为：ejy=1+jy1!+(jy)22!+(jy)33!+⋯e^{jy} = 1 + \frac{jy}{1!} + \frac{(jy)^2}{2!} + \frac{(jy)^3}{3!} + \cdots ejy=1+1!jy+2!(jy)2+3!(jy)3+⋯其中，jjj代表虚数，j2=−1j^2 = -1j2=−1，所以：

ejy=1+jy1!−y22!+(jy)33!+y44!+⋯e^{jy} = 1 + \frac{jy}{1!} - \frac{y^2}{2!} + \frac{(jy)^3}{3!} + \frac{y^4}{4!} + \cdots ejy=1+1!jy−2!y2+3!(jy)3+4!y4+⋯

然后调换一些项的顺序：

ejy=(1−y22!+y44!+⋯)+(jy−jy33!+jy55!+⋯)e^{jy}=(1- \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} + \cdots) + (jy - \frac{jy^3}{3!} + \frac{jy^5}{5!} + \cdots)ejy=(1−2!y2+4!y4+⋯)+(jy−3!jy3+5!jy5+⋯)

于是我们推导出欧拉公式：

ejy=cos(x)+j⋅sin(x)e^{jy} = cos(x) + j \cdot sin(x)ejy=cos(x)+j⋅sin(x)

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