定义

若在mod p意义下，对于一个整数a，有a*b≡1(mod p)，那么这个整数b即为a的乘法逆元，同时a也为b的乘法逆元
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时a才有对p的乘法逆元

逆元的作用

首先对于除法取模不成立，即(a/b)modp≠(amodp/bmodp)modp(a/b) \mod p \neq (a \mod p / b \mod p) \mod p(a/b)modp=(amodp/bmodp)modp。

显然数学家们是不能忍受这种局面的，他们扔出了“逆元”来解决这个问题。

因为取模运算对于乘法来说是成立的，逆元就是把除法取模运算转化为乘法取模运算
(a/b)%p=m -------- 1
假设存在一个数x满足
a*x%p=m ------- 2

由模运算对乘法成立，对1式两边同时乘以 b ，得到：a%p=(m(b%p))%p
如果 a 和 b 均小于模数 p 的话，上式可以改写为：a =bm%p
等式两边再同时乘以 x, 联立2式比较得到:ax%p=m%p=xbm%p
因此可以得到：bx%p=1

哎，x是b的逆元呀（x 在模运算的乘法中等同于 1/b, 这就是逆元的意义）
由以上过程我们看到，求取 (a/b)%p 等同于求取 a∗(b的逆元)%p。因此，求模运算的除法问题就转化为就一个数的逆元问题了。

求逆元的方法

因为在算法竞赛中模数p总是质数，所以可以利用费马小定理：
bp−1modp=1b^{p−1}\mod p=1bp−1modp=1
可以直接得到
所以bp−2b^{p-2}bp−2即为b在 mod p 意义下的逆元

ll pow(ll a, ll n, ll p)    //快速幂 a^n % p
{ll ans = 1;while(n){if(n & 1) ans = ans * a % p;a = a * a % p;n >>= 1;}return ans;
}ll niyuan(ll a, ll p)   //费马小定理求逆元
{return pow(a, p - 2, p);
}

还可以利用扩展欧几里德算法

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)    //拓展欧几里得算法
{if(!b) x = 1, y = 0;else{exgcd(b, a % b, y, x);y -= x * (a / b);}
}ll niyuan(ll a, ll b)   //求a对b取模的逆元
{ll x, y;exgcd(a, b, x, y);return (x + b) % b;
}

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