NYOJ 301 递推求值（矩阵快速幂）

递推求值

时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB

难度：4

描述

给你一个递推公式：

f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c

并给你f(1),f(2)的值，请求出f(n)的值，由于f(n)的值可能过大，求出f(n)对1000007取模后的值。

注意:-1对3取模后等于2

输入

第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(T<=10000)
随后每行有六个整数，分别表示f(1),f(2),a,b,c,n的值。
其中0<=f(1),f(2)<100,-100<=a,b,c<=100,1<=n<=100000000 (10^9)

输出

输出f(n)对1000007取模后的值

样例输入

2
1 1 1 1 0 5
1 1 -1 -10 -100 3

样例输出

5
999896

分析：由于n的值比较大，所以常规方法肯定会超时。根据递推式求第n个表达式的值时，通常用矩阵乘法来做。

本题要构造两个矩阵，其中一个为矩阵A，作为初始矩阵

f2 0 0
f1 0 0
1 0 0

另一个为矩阵B

b a c
1 0 0
0 0 1

因为F(2)和F(1)是已知的，当n>=3时，每次都乘以矩阵B，就能推出下一个矩阵。而矩阵的第一行第一列的元素就是所求的结果。

所以利用矩阵快速幂能够快速准确地求出结果。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod 1000007
#define N 3
typedef long long LL;
struct Matrix
{LL mat[N][N];
};Matrix unit_matrix =
{1, 0, 0,0, 1, 0,0, 0, 1
}; //单位矩阵Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{Matrix res;for(int i = 0; i < N; i++)for(int j = 0; j < N; j++){res.mat[i][j] = 0;for(int k = 0; k < N; k++){res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];res.mat[i][j] %= mod;}}return res;
}Matrix pow_matrix(Matrix a, LL n)  //矩阵快速幂
{Matrix res = unit_matrix;while(n != 0){if(n & 1)res = mul(res, a);a = mul(a, a);n >>= 1;}return res;
}int main()
{LL n, f1, f2, a, b, c, T;Matrix tmp, arr;scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&f1, &f2, &a, &b, &c, &n);if(n == 0)printf("%lld\n",(f2-f1*b-c + mod)%mod);if(n == 1)printf("%lld\n",(f1+mod)%mod);else if(n == 2)printf("%lld\n",(f2+mod)%mod);else{memset(arr.mat, 0, sizeof(arr.mat));arr.mat[0][0] = f2;  arr.mat[1][0] = f1;  arr.mat[2][0] = 1;tmp.mat[0][0] = b;   tmp.mat[0][1] = a;   tmp.mat[0][2] = c;tmp.mat[1][0] = tmp.mat[2][2] = 1;tmp.mat[1][1] = tmp.mat[1][2] = tmp.mat[2][0] = tmp.mat[2][1] = 0;Matrix p = pow_matrix(tmp, n-2);p = mul(p, arr);LL ans = (p.mat[0][0] + mod) % mod;printf("%lld\n",ans);}}return 0;
}

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