（详解）矩阵快速幂详解与常见转移矩阵的构造

转移矩阵求解套路

常见转移矩阵1-斐波那契矩阵

承接套路

常见转移矩阵2-类斐波那契数列

常见转移矩阵3-幂常数

前缀和

具体DP问题

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网上大部分讲解都是停留在快速幂的模板和求解斐波那契数列上，但矩阵快速幂的应用远不及此，且难点在于转移矩阵的构造，而且会结合具体DP问题来构造转移矩阵。

答案的求解包括三个矩阵答案矩阵 = 转移矩阵 * 初始矩阵

转移矩阵求解套路

重点在于转移矩阵的求得，套路是，找到转移方程，由特殊到一般，考虑承接

常见转移矩阵1-斐波那契矩阵

找到转移方程

可知，要想求解f[n]，必须知道f[n-1],f[n-2]

考虑特殊情况f[n]

得初始矩阵

答案矩阵（f(n)处于（1,1）位置，故是转移矩阵的第一行乘上初始矩阵的第一列）

转移矩阵

得到特殊矩阵

考虑承接

考虑到我们即使我们本次求得了f(n)，但是我们不得不为下一次f(n+1)的求解做准备，因此我们需要承接上次求解的f(n-1),如何求解，很容易，f(n-1）在（2,1）位置，只需要转移方程第二行乘上初始方程等于f(n-1)即可，

特殊到一般

对转移方程进行快速幂，把初始方程变成普通dp时最初状态，在斐波那契中的dp解法中，我们只需要先知道dp[0]=0,dp[1]=1即可。转移方程的幂数是n-1

当然，也完全可以这样，

承接套路

值得注意的是，这种承接方式在大多数题目中都适用，也就是将二行往后的每行i,(i,i-1)位置填上1，其余位置填上0即可。

常见转移矩阵2-类斐波那契数列

主要是一些含有常数系数的

第一行换系数，第二行往后考虑承接即可

常见转移矩阵3-幂常数

按照第一类时的套路，求fn，无非就是要知道fn-1，与n^2

可是我们发现，要求出(n+1)^2，靠n^2是远远不够的

(n+1)^2=n^2+1+2*n ，我们还应该知道n,和常数1

n+1）^2被推了出来，还要考虑本次能供fn+1使用，因此还应该加上n+1,与常数1

然后特殊化一般，利用快速幂求解即可。

其余更高次幂常数，利用二项式定理

n^3 = (n-1+1)^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1

n^4 =(n-1+1)^4 = (n-1)^4 + 4*(n-1)^3 + 6*(n-1)^2 + 4*(n-1) + 1

.......以此类推

n^3为例

前缀和

T[0]=T[1]=T[2]=1;

T[N]=T[N-1]+T[N-2]+T[N-3]

求解 T[A]+T[A+1]+...+T[B]

也就是要构造前缀和sb,sa-1

可以先求出sn

sn=tn+sn-1

这里的tn的构造方式就是一个类菲波那切数列的构造方式

考虑承接即可

具体DP问题

P5343 【XR-1】分块-矩阵快速幂加速DP_石油生产队里的秦三的博客-CSDN博客