红黑树概念及其相关操作的实现

红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但它并不像AVL树一样，每个结点绑定一个平衡因子。但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过 对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
最长路径中结点的个数不会超过最短路径中结点个数的两倍

红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色
根节点是黑色的，空树也是红黑树。
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的，不可能出现连在一起的红色结点。
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点，每条路径里黑色结点个数是相等的。
每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

问题

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

极端情况下，刚好是两倍，但是这种极端情况不存在。因为根结点是黑的，那么第二层的两个结点都必须是红色的。

红黑树的结构

红黑树结点的定义

enum COLOR{RED,BLACK};template<class T>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const T& data = T(), COLOR color = RED):_pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _color(color)  {}RBTreeNode<T>* _pLeft;RBTreeNode<T>* _pRight;RBTreeNode<T>* _pParent;T _data;COLOR _color;
};

为什么要将结点的默认颜色给成红色的？

因为如果默认颜色是黑色的话，往已经是一颗红黑树里插入的话，性质4一定遭到破坏，所以给成红色，有些情况下破坏，有些情况下不被破坏。

红黑树的插入

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template<class T>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<T> Node;
public:RBTree(){_pHead = new Node;_pHead->_pLeft = _pHead;_pHead->_pRight = _pHead;//构造里已经将双亲给成空}bool Insert(const T&data){Node* pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot) //树为空,创建根结点{pRoot = new Node(data,BLACK);pRoot->_pParent = _pHead;//只有一个结点，head就是根节点的双亲_pHead->_pLeft = pRoot; //改变左右指针域_pHead->_pRight = pRoot;return true;}else{//说明树已经不为空了//1.按照二叉搜索树的性质找到带插入结点在红黑树的位置Node* pCur = pRoot;Node* pParent = nullptr;while (pCur){pParent = pCur;//标记双亲位置if (data < pCur->_data)pCur = pCur->_pLeft;else if (data>pCur->_data)pCur = pCur->_pRight;else//相同不插入return false;}//2. 插入新结点pCur = new Node(data);if (data < pParent->_data)pParent->_pLeft = pCur;else{pParent->_pRight = pCur;}//3. 更新双亲位置pCur->_pParent = pParent;//4.检测:是否新结点插入后连在一起的红色结点if (RED == pParent->_color){//调整//检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏}}//5.调整头结点的左右指针域//保证根节点是黑色pRoot->_color = BLACK;_pHead->_pLeft=leftMost();_pHead->_pRight = RightMost();return true;}Node* LeftMost(){//得到根节点Node* pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot)return _pHead;Node* pCur = pRoot;//找到最左侧结点while (pCur->_pLeft)pCur = pCur->_pLeft;return pCur;}Node* RightMost(){//得到根节点Node* pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot)return _pHead;Node* pCur = pRoot;//找到最右侧结点while (pCur->_pRight)pCur = pCur->_pRight;return pCur;}
protected:Node*& GetRoot()  //head是new出来的，head存在parent一定存在，按引用方式返回没有问题{//得到根节点，也就是头结点的下一个结点return _pHead->_pParent;}
private:Node* _pHead;
};

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点此时需要对红黑树分情况来讨论
cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

2.1 cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

2.2 cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红

如果u不存在，假设cur本来就存在，cur和双亲比然是黑的，因为两个红的不能连在一起，那么这条路径里就有两个黑色，所以不满足性质4，cur所以一定是新插入的结点
如果u存在且为黑色，右侧路径里有两个黑色路径，因为两条路径黑色结点必须一样。新节点一插入，插入到cur的子树中，导致子树中不满足情况。向上调整时，把cur改成黑色。

2.3 cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
检测其是否满足红黑树的性质

template<class T>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<T> Node;
public:RBTree(){_pHead = new Node;_pHead->_pLeft = _pHead;_pHead->_pRight = _pHead;//构造里已经将双亲给成空}bool Insert(const T&data){Node*& pRoot = GetRoot(); //必须以引用的方式进行接受if (nullptr == pRoot) //树为空,创建根结点{pRoot = new Node(data,BLACK);pRoot->_pParent = _pHead;//只有一个结点，head就是根节点的双亲_pHead->_pLeft = pRoot; //改变左右指针域_pHead->_pRight = pRoot;return true;}else{//说明树已经不为空了//1.按照二叉搜索树的性质找到带插入结点在红黑树的位置Node* pCur = pRoot;Node* pParent = nullptr;while (pCur){pParent = pCur;//标记双亲位置if (data < pCur->_data)pCur = pCur->_pLeft;else if (data > pCur->_data)pCur = pCur->_pRight;else//相同不插入return false;}//2. 插入新结点pCur = new Node(data);if (data < pParent->_data)pParent->_pLeft = pCur;elsepParent->_pRight = pCur;//3. 更新双亲位置pCur->_pParent = pParent;//以上没错//4.检测:是否新结点插入后连在一起的红色结点while (pParent!=_pHead && RED == pParent->_color){Node* granderFather = pParent->_pParent;if (pParent == granderFather->_pLeft){//叔叔结点在右侧Node* uncle = granderFather->_pRight;//情况一:叔叔结点存在，且为红if (uncle && RED == uncle->_color){pParent->_color = BLACK;uncle->_color = BLACK;granderFather->_color = RED;pCur = granderFather;pParent = pCur->_pParent;}//以上没问题else{//情况三if (pCur == pParent->_pRight) //情况三{//转变成情况二RotateLeft(pParent);swap(pParent, pCur);}//情况二pParent->_color = BLACK;granderFather->_color = RED;RotateRight(granderFather);}//以上没问题}else{//叔叔结点在左侧Node* uncle = granderFather->_pLeft;//情况一的反情况if (uncle && uncle->_color == RED){pParent->_color = BLACK;uncle->_color = BLACK;granderFather->_color = RED;pCur = granderFather;pParent = pCur->_pParent;}//以上没问题else{//情况三的反情况if (pCur == pParent->_pLeft)    /**/{//情况三的反情况变成情况二的反情况RotateRight(pParent);swap(pParent, pCur);}//情况二反情况处理pParent->_color = BLACK;granderFather->_color = RED;RotateLeft(granderFather);}//以上没问题}}}//5.调整头结点的左右指针域//保证根节点是黑色pRoot->_color = BLACK;_pHead->_pLeft = LeftMost();_pHead->_pRight = RightMost();return true;}void InOrder(){_InOrder(GetRoot());}//检测红黑树bool IsValidRBTree(){Node* pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot)return true;if (pRoot->_color != BLACK){cout << "违反性质2：根结点颜色必须为黑色" << endl;return false;}//获取一条路径中结点的个数size_t blackCount = 0; //基准值Node* pCur = pRoot;while (pCur){if (pCur->_color == BLACK)blackCount++;pCur = pCur->_pLeft;}size_t pathBlack = 0; //每条路径中的黑色结点个数return _IsValidRBTree(pRoot, blackCount,pathBlack);}
protected:bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t blackCount, size_t pathBlack){if (nullptr == pRoot)return true;if (pRoot->_color == BLACK)pathBlack++;//检测性质3Node* pParent = pRoot->_pParent;if (pParent != _pHead && pParent->_color == RED&&pRoot->_color == RED){cout << "违反性质3:不能有连在一起的红色结点" << endl;return false;}if (nullptr == pRoot->_pLeft&&nullptr == pRoot->_pRight){//一条路径到叶子if (blackCount != pathBlack){cout << "违反了性质4：每条路径中黑色结点个数必须相同" << endl;return false;}}return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, blackCount, pathBlack) &&_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, blackCount, pathBlack);}Node* LeftMost(){//得到根节点Node* pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot)return _pHead;Node* pCur = pRoot;//找到最左侧结点while (pCur->_pLeft)pCur = pCur->_pLeft;return pCur;}Node* RightMost(){//得到根节点Node* pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot)return _pHead;Node* pCur = pRoot;//找到最右侧结点while (pCur->_pRight)pCur = pCur->_pRight;return pCur;}void RotateLeft(Node* pParent){Node* pSubR = pParent->_pRight;Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;pParent->_pRight = pSubRL;if (pSubRL)pSubRL->_pParent = pParent;pSubR->_pLeft = pParent;Node* pPParent = pParent->_pParent;pParent->_pParent = pSubR;pSubR->_pParent = pPParent;if (pPParent == _pHead)GetRoot() = pSubR;else{if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubR;elsepPParent->_pRight = pSubR;}}void RotateRight(Node* pParent){Node* pSubL = pParent->_pLeft;Node* pSubLR = pSubL->_pRight;pParent->_pLeft = pSubLR;if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;pSubL->_pRight = pParent;Node* pPParent = pParent->_pParent;pParent->_pParent = pSubL;pSubL->_pParent = pPParent;//pParent是根结点if (pPParent == _pHead)GetRoot() = pSubL;else{//非根结点if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}}Node*& GetRoot()  //head是new出来的，head存在parent一定存在，按引用方式返回没有问题{//得到根节点，也就是头结点的下一个结点return _pHead->_pParent;}void _InOrder(Node* pRoot){if (pRoot){_InOrder(pRoot->_pLeft);cout << pRoot->_data << " ";_InOrder(pRoot->_pRight);}}
private:Node* _pHead;
};void TestRBTree()
{int array[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };RBTree<int>t;for (auto e : array)t.Insert(e);t.InOrder();if (t.IsValidRBTree()){cout << "t is vaild rbTree" << endl;}elsecout << "t is not vaild rbTree" << endl;
}

红黑树的删除

参考链接1
参考链接2

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( log2N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

红黑树的应用

Java中的java.util.TreeMap,java.util.TreeSet
C++ STL中的：map,multimap,multiset
.NET中的：SortedDictionary,SortedSet 等

模拟实现map和set

模拟实现