泛函分析 06.02 线性算子的谱理论 - 有界线性算子的谱集

§6.2有界线性算子的谱集 \color{blue}{\S 6.2 有界线性算子的谱集}

▶在这一节我们研究有界线性算子的谱集合的性质. \blacktriangleright 在这一节我们研究有界线性算子的谱集合的性质.
▶我们将证明:有界线性算子的谱集非空,且是复数域C \blacktriangleright 我们将证明:{\color{red}{有界线性算子的谱集}}{\color{green}{非空}},且是复数域 \mathbb{C}
中的有界闭集(紧集). 中的{\color{green}{有界闭集}}(紧集).

6.2.1有界线性算子的谱集是有界集 \color{blue}{6.2.1 有界线性算子的谱集是有界集}

定理6.2.1设X是Banach空间,T∈B(X),如果定理 6.2.1 设 X 是 Banach 空间, T \in \mathscr{B}(X), 如果
∥T∥<1,则算子I−T有有界逆算子,并且 {\color{blue}{\Vert T \Vert
(I−T) −1 =∑ n=0 ∞ T n ,(6.2.1) \qquad (I-T)^{-1} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} T^n, \quad (6.2.1)
∥(I−T) −1 ∥≤11−∥T∥ (6.2.2) \qquad \Vert (I-T)^{-1} \Vert \leq \dfrac{1}{1 - \Vert T \Vert} \quad (6.2.2)
证明:考虑证明:考虑
∑ k=0 ∞ T k =I+T+T 2 +⋯,(6.2.3) \qquad {\color{blue}{\sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k = I + T + T^2 + \cdots, \quad (6.2.3)}}
即S n =∑ k=0 n−1 T k ,则对于任何的正整数m,n(m>n), 即 S_n = \sum \limits_{k=0}^{n-1} T^k, 则对于任何的正整数 m, n (m > n),
∥S m −S n ∥=∥∑ k=n m−1 T k ∥≤∑ k=n m−1 ∥T∥ k . \qquad \Vert S_m - S_n \Vert = \Vert \sum \limits_{k=n}^{m-1} T^k \Vert \leq \sum \limits_{k=n}^{m-1} \Vert T \Vert ^k.
由条件∥T∥<1知,{S n }是B(X)中的Cauchy列, 由条件 {\color{blue}{\Vert T \Vert
由X是Banach空间,可知B(X)是Banach空间. 由 X 是 Banach 空间, 可知 \mathscr{B}(X) 是 Banach 空间.
所以{S n }按算子范数收敛到一个有界线性算子,即由所以 {\color{blue}{\lbrace S_n \rbrace }} 按算子范数 {\color{blue}{收敛}}到一个有界线性算子, 即由
(6.2.3)式给出的级数按范数收敛. (6.2.3)式给出的级数按范数收敛.
由于由于
(I−T)(I+T+T 2 +⋯+T n−1 ) (I - T)(I + T + T^2 + \cdots + T^{n-1})
=(I+T+T 2 +⋯+T n−1 )(I−T)=I−T n ,(6.2.4) \qquad = (I + T + T^2 + \cdots + T^{n-1})(I - T) = {\color{blue}{I - T^n}}, \quad (6.2.4)
以及以及
lim n→∞ ∥T n ∥≤lim n→∞ ∥T∥ n =0 \qquad \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert \leq \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T \Vert ^n = 0
在(6.2.4)式两边令n→∞,得到在 (6.2.4) 式两边令 n \to \infty, 得到
(I−T)(∑ k=0 ∞ T k )=(∑ k=0 ∞ T k )(I−T)=I. \qquad (I - T) (\sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k) = (\sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k)(I-T) = I.
这说明算子I−T有逆算子,且这说明算子 {\color{red}{I-T}} 有 {\color{red}{逆算子}}, 且
(I−T) −1 =∑ k=0 ∞ T k . \qquad {\color{blue}{(I-T)^{-1} = \sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k.}}
结合定理2.5.1有结合定理 2.5.1 有
∥(I−T) −1 ∥=∥∑ k=0 ∞ T k ∥ \qquad \Vert (I-T)^{-1} \Vert = \Vert \sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k \Vert
≤∑ k=0 ∞ ∥T∥ k =11−∥T∥ . \qquad \leq \sum \limits_{k=0}^{\infty} \Vert T \Vert ^k = \dfrac{1}{1 - \Vert T \Vert} .
∙注意对照:(I−T) −1 =∑ n=0 ∞ T n (∥T∥<1)(见(6.2.1)式) \bullet 注意对照:(I - T)^{-1} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} T^n (\Vert T \Vert
和11−x =∑ n=0 ∞ x n (|x|<1)形式上的相似. 和 \dfrac{1}{1 - x} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} x^n (|x|

定理6.2.2设X是Banach空间,T∈B(X),则定理 6.2.2 设 X 是 {\color{blue}{Banach}} 空间, {\color{blue}{T \in \mathscr{B}(X)}}, 则
σ(T)是有界集. {\color{green}{\sigma(T)是有界集}}.
证明:对于|λ|>∥T∥,显然有∥1λ T∥<1. 证明:对于 {\color{red}{|\lambda| > \Vert T \Vert}}, 显然有 {\color{green}{\Vert \dfrac{1}{\lambda}T \Vert
由定理6.2.1知,I−1λ T有有界的逆算子,从而由定理6.2.1 知, {\color{blue}{I - \dfrac{1}{\lambda} T}} 有 {\color{blue}{有界的逆算子}}, 从而
(λI−T) −1 =1λ (I−Tλ ) −1 =∑ n=0 ∞ λ −n−1 T n (6.2.5) \qquad (\lambda I - T)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda}(I- \dfrac{T}{\lambda})^{-1} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1} T^n \quad (6.2.5)
再由(6.2.2)式知再由(6.2.2)式知
∥(I−Tλ ) −1 ∥≤11−∥T∥|λ| =|λ||λ|−∥T∥ , \qquad \Vert (I - \dfrac{T}{\lambda})^{-1} \Vert \leq \dfrac{1}{1 - \frac{\Vert T \Vert}{|\lambda|}} = \dfrac{|\lambda|}{|\lambda| - \Vert T \Vert},
于是于是
∥(λI−T) −1 ∥≤1|λ|−∥T∥ ,(6.2.6) \qquad \Vert (\lambda I - T)^{-1} \Vert \leq \dfrac{1}{|\lambda| - \Vert T \Vert}, \quad (6.2.6)
即当|λ|>∥T∥时λ∈ρ(T). 即当{\color{red}{|\lambda| > \Vert T \Vert }} 时 {\color{red}{\lambda \in \rho(T)}}.
即谱集合是有界的,σ(T)⊂B ¯ ¯ ¯ (0,∥T∥). 即谱集合是有界的, {\color{blue}{\sigma(T) \subset \overline{B}(0, \Vert T \Vert)}}.

6.2.2有界线性算子的谱集是闭集 \color{blue}{6.2.2 有界线性算子的谱集是闭集}

定理6.2.3设T是Banach空间X到X的有界线性定理 6.2.3 设 T 是 Banach 空间 X 到 X 的有界线性
算子,λ∈ρ(T),且|μ|<∥(λI−T) −1 ∥ −1 , 算子, {\color{blue}{\lambda \in \rho(T)}}, 且{\color{blue}{|\mu|
则λ+μ∈ρ(T),即ρ(T)是一个开集. 则 {\color{red}{\lambda + \mu \in \rho(T)}}, 即 {\color{red}{\rho(T)是一个开集}}.
证明:设λ∈ρ(T),考虑证明: 设 \lambda \in \rho(T), 考虑
(λ+μ)I−T=(λI−T)[I+μ(λI−T) −1 ]. \qquad (\lambda + \mu) I - T = (\lambda I - T)[I + \mu (\lambda I - T)^{-1}].
由∥μ(λI−T) −1 ∥<1及定理6.2.1知道由{\color{blue}{\Vert \mu (\lambda I - T)^{-1} \Vert
I+μ(λI−T) −1  \qquad I + \mu (\lambda I - T)^{-1}
有有界的逆算子,于是有 {\color{green}{有界的逆算子}}, 于是
R λ+μ (T)=[I+μ(λI−T) −1 ] −1 R λ (T)(6.2.7) \qquad R_{\lambda + \mu}(T) = [I + \mu(\lambda I - T)^{-1}]^{-1} R_{\lambda}(T) \quad (6.2.7)
且R λ+μ (T)可以表示为R λ (T)的幂级数且 R_{\lambda + \mu}(T) 可以表示为 R_{\lambda}(T)的幂级数
R λ+μ (T)=∑ n=0 ∞ (−1) n μ n (R λ (T)) n+1 . \qquad R_{\lambda + \mu}(T) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \mu ^n (R_{\lambda}(T))^{n+1}.
这说明R λ+μ (T)存在且有界,即λ+μ∈ρ(T). 这说明{\color{red}{R_{\lambda + \mu}(T) 存在且有界}}, 即 {\color{blue}{\lambda + \mu \in \rho(T)}}.
这就证明了ρ(T)是开集. 这就证明了 \rho(T) 是开集.
注1:定理说明注1: 定理说明
∙谱集合是一个闭集. \bullet {\color{blue}{谱集合是一个闭集}}.
∙以后我们可以看到:对于复平面中的任何闭集F⊂C, \bullet 以后我们可以看到:对于{\color{green}{复平面中的任何闭集}} F \subset \mathbb{C},
都可以构造一个线性算子T,使得σ(T)=F(参阅推都可以{\color{green}{构造一个线性算子 T}}, 使得{\color{blue}{\sigma(T) = F}}(参阅推
论7.4.23). 论 7.4.23).
注2:结合定理6.2.2,T∈B(X),则σ(T)是位于闭球注2: 结合定理 6.2.2, T \in \mathscr{B}(X), 则 \sigma(T) 是位于闭球
{z:|z|≤∥T∥}中的有界闭集. \lbrace z: |z| \leq \Vert T \Vert \rbrace 中的{\color{red}{有界闭集}}.
注3:从定理6.2.3证明中我们看到,若z 0 ∈ρ(t),则注3: 从定理 6.2.3 证明中我们看到, 若 {\color{green}{z_0 \in \rho(t)}}, 则
{z:|z−z 0 |<∥R z 0  (T)∥ −1 }⊂ρ(T), \qquad {\color{blue}{\lbrace z: |z - z_0|
因此因此
dist(z 0 ,σ(T))≥∥R z 0  (T)∥ −1 (6.2.8) \qquad dist(z_0, \sigma(T)) \geq \Vert R_{z_0}(T) \Vert ^{-1} \quad (6.2.8)

6.2.3有界线性算子的谱集非空 \color{blue}{6.2.3 有界线性算子的谱集非空}

引理6.2.4设λ,μ∈ρ(T),则引理 6.2.4 设 {\color{green}{\lambda, \mu \in \rho(T)}}, 则
R λ (T)−R μ (T)=(μ−λ)R λ (T)R μ (T).(6.2.9) \qquad {\color{blue}{R_{\lambda}(T) - R_{\mu}(T) = (\mu - \lambda) R_{\lambda}(T) R_{\mu}(T). \quad (6.2.9)}}
证明:由于证明: 由于
(λI−T) −1 =(λI−T) −1 (μI−T)(μI−T) −1  (\lambda I - T)^{-1} = (\lambda I - T)^{-1}{\color{red}{(\mu I - T)(\mu I - T)^{-1}}}
=(λI−T) −1 [(μ−λ)I+(λI−T)](μI−T) −1  = (\lambda I- T)^{-1}[(\mu - \lambda)I +(\lambda I - T)] (\mu I - T)^{-1}
=(μ−λ)(λI−T) −1 (μI−T) −1 +(μI−T) −1 , =(\mu - \lambda)(\lambda I - T)^{-1}(\mu I - T)^{-1} + (\mu I - T)^{-1},
引理得证. 引理得证.
▶考虑在正则集ρ(T)上定义的算子值函数: \blacktriangleright {\color{blue}{考虑在正则集 \rho(T) 上定义的算子值函数:}}
λ→R λ (T),λ∈ρ(T). \qquad \lambda \to R_{\lambda}(T), \lambda \in \rho(T).
∙如上定义的算子值函数是从ρ(T)到有界线性算子组成 \bullet 如上定义的算子值函数是从{\color{blue}{\rho(T)}}到有界线性算子组成
的Banach空间B(X)上的一个映射. 的 Banach 空间 {\color{blue}{\mathscr{B}(X)}} 上的一个映射.
∙我们称此映射在λ 0 点是连续的,若λ,λ 0 ∈ρ(T)且 \bullet 我们称此映射{\color{green}{在 \lambda_0 点是连续的}}, 若 \lambda, \lambda_0 \in \rho(T) 且
λ→λ 0 时,在算子范数收敛的意义下,有 \lambda \to \lambda_0 时, 在{\color{red}{算子范数收敛}}的意义下, 有
R λ (T)→R λ 0  (T)(∥R λ (T)−R λ 0  (T)∥→0,λ→λ 0 ).(6.2.10) {\color{blue}{R_{\lambda}(T) \to R_{\lambda_0}(T)(\Vert R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T) \Vert \to 0, \lambda \to \lambda_0).}} \quad (6.2.10)
∙我们称它在λ 0 是可微的,如果当λ→λ 0 时, \bullet 我们称它{\color{green}{在 \lambda_0是可微的}}, 如果当 \lambda \to \lambda_0 时,
R λ (T)−R λ 0  (T)λ−λ 0  (6.2.11) \qquad \dfrac{R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T)}{\lambda - \lambda_0} \quad (6.2.11)
在B(X)中按算子的范数收敛. 在 \mathscr{B}(X) 中{\color{red}{按算子的范数收敛}}.

定理6.2.5在正则集ρ(T)中,预解式定理 6.2.5 在正则集 \rho(T) 中, 预解式
R λ (T):λ∈ρ(T)⊂C↦B(X) \qquad {\color{blue}{R_{\lambda}(T): \lambda \in \rho(T) \subset \mathbb{C} \mapsto \mathscr{B}(X)}}
是关于λ的算子值解析函数. 是关于 \lambda 的{\color{red}{算子值解析函数}}.
证明:首先证明R λ (T)关于λ连续. 证明:{\color{green}{首先证明 R_{\lambda}(T) 关于 \lambda 连续.}}
设λ 0 ∈ρ(T),令h=λ−λ 0 ,由(6.2.7)式可知设 \lambda_0 \in \rho(T), 令 h = \lambda - \lambda_0, 由 (6.2.7) 式可知
R λ (T)=R λ 0 +h (T) \qquad R_{\lambda}(T) = R_{\lambda_0 + h}(T)
=[I+h(λ 0 I−T) −1 ] −1 R λ 0  (T), \qquad = [I + h(\lambda_0 I - T)^{-1}]^{-1} R_{\lambda_0}(T),
只有|h|<12∥R λ 0  (T)∥ ,根据定理6.2.1, 只有 {\color{red}{|h|
∥R λ (T)∥<11−∥hR λ 0  (T)∥ ∥R λ 0  (T)∥<2∥R λ 0  (T)∥. \Vert R_{\lambda}(T) \Vert
根据引理6.2.4,又有根据引理 6.2.4, 又有
∥R λ (T)−R λ 0  (T)∥=|h|∥R λ (T)∥∥R λ 0  (T)∥ \Vert R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T) \Vert = |h| \Vert R_{\lambda}(T) \Vert \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert
≤2|h|∥R λ 0  (T)∥∥R λ 0  (T)∥ \qquad \leq 2|h| \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert
=2|h|∥R λ 0  (T)∥ 2 →0(λ→λ 0 ). \qquad = 2 |h| \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert ^2 \to 0(\lambda \to \lambda_0).
再证R λ (T)关于λ可微. {\color{blue}{再证 R_{\lambda}(T) 关于 \lambda 可微.}}
由引理6.2.4和R λ (T)的连续性可知由引理 6.2.4 和 R_{\lambda}(T) 的连续性可知
R λ (T)−R λ 0  (T)λ−λ 0  =(λ 0 −λ)R λ (T)R λ 0  (T)λ−λ 0  →−(R λ 0  (T)) 2 (λ→λ 0 ). \dfrac{R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T)}{\lambda - \lambda_0} = \dfrac{(\lambda_0 - \lambda)R_{\lambda}(T) R_{\lambda_0}(T)}{\lambda - \lambda_0} \to -(R_{\lambda_0}(T))^2(\lambda \to \lambda_0).

定理6.2.6设T是有界线性算子,则σ(T)≠∅. 定理 6.2.6 设 T 是有界线性算子, 则 \sigma(T) \neq \emptyset.
证明:假若不然,ρ(T)=C,由定理6.2.5知算子值函数证明:{\color{blue}{假若不然}}, \rho(T) = \mathbb{C}, 由定理 6.2.5 知算子值函数
R λ (T):C↦B(X)(6.2.12) \qquad R_{\lambda}(T): \mathbb{C} \mapsto \mathscr{B}(X) \quad (6.2.12)
在复平面C上解析.当|λ|>∥T∥时,由(6.2.5),(6.2.6) 在{\color{red}{复平面 \mathbb{C} 上解析}}. 当|\lambda| > \Vert T \Vert 时, 由 (6.2.5), (6.2.6)
R λ (T)=∑ n=0 ∞ (λ) −n−1 T n , \qquad R_{\lambda}(T) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (\lambda)^{-n-1} T^n,
且且
∥R λ (T)∥≤1|λ|−∥T∥ ,|λ|>∥T∥.(6.2.13) \qquad \Vert R_{\lambda}(T) \Vert \leq \dfrac{1}{|\lambda| - \Vert T \Vert}, |\lambda| > \Vert T \Vert . \quad (6.2.13)
由于R λ (T)在C上解析,所以∥R λ (T)∥在C上连续, 由于 {\color{blue}{R_{\lambda}(T) 在 \mathbb{C} 上解析}}, 所以 \Vert R_{\lambda}(T) \Vert 在 \mathbb{C} 上连续,
于是在|λ|≤∥T∥上有界. 于是在 |\lambda| \leq \Vert T \Vert 上有界.
结合(6.2.13)式,∥R λ (T)∥在复平面C上有界. 结合 (6.2.13) 式, {\color{green}{\Vert R_{\lambda}(T) \Vert 在复平面 \mathbb{C} 上有界.}}
即存在M>0使得即存在 M > 0 使得
∥R λ (T)∥<M,∀λ∈C(6.2.14) \qquad {\color{blue}{\Vert R_{\lambda}(T) \Vert
对于B(X)上的任意一个有界线性泛函f∈B(X) ∗ 对于 \mathscr{B}(X) 上的任意一个有界线性泛函 f \in \mathscr{B}(X)^{\ast}
f:B(X)↦C,(6.2.15) \qquad f: \mathscr{B}(X) \mapsto \mathbb{C}, \quad (6.2.15)
令令
u f (λ)=f(R λ (T))(6.2.16) \qquad {\color{red}{u_f(\lambda) = f(R_{\lambda}(T))}} \quad (6.2.16)
则u f (λ)是整个复平面上定义的数值函数, 则 u_f(\lambda) 是 {\color{blue}{整个复平面上定义的数值函数}},
u f :C↦C(6.2.17) \qquad u_f : \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} \quad (6.2.17)
由于f的连续性和定理6.2.5知,u f (λ)是复平面上的解析函数. 由于 f 的连续性和定理 6.2.5 知, {\color{green}{u_f(\lambda) 是复平面上的解析函数}}.
结合(6.2.14)式,我们有结合(6.2.14) 式, 我们有
|u f (λ)|=|f(R λ (T))| \qquad |u_f(\lambda)| = |f(R_{\lambda}(T))|
≤∥f∥∥R λ (T)∥≤∥f∥M.(6.2.18) \qquad \leq \Vert f \Vert \Vert R_{\lambda}(T) \Vert \leq \Vert f \Vert M.\quad (6.2.18)
即u f (λ)在整个复平面C上有界, {\color{blue}{即 u_f(\lambda)在整个复平面 \mathbb{C} 上有界}},
根据复变函数中的Liouville定理, 根据复变函数中的 {\color{red}{Liouville 定理}},
u f (λ)是与λ无关的常值函数. \qquad u_f(\lambda) 是与 \lambda 无关的常值函数.
由Hahn−Banach定理可知,B(X)上存在足够多的线性泛函, 由 {\color{green}{Hahn-Banach 定理}}可知, \mathscr{B}(X) 上{\color{green}{存在足够多的线性泛函}},
可以区别B(X)中不同的元素. 可以区别 \mathscr{B}(X) 中不同的元素.
由于对∀f∈B(X) ∗ ,u f (λ)是常值函数,可以推知由于对 \forall f \in \mathscr{B}(X)^{\ast}, {\color{blue}{u_f(\lambda) 是常值函数}}, 可以推知
R λ (T)是与λ无关的常值算子. \qquad {\color{red}{R_{\lambda}(T) 是与 \lambda 无关的常值算子}}.
由引理6.2.4知R λ (T)≡0, 由引理 6.2.4 知 R_{\lambda}(T) \equiv 0,
这与I=(λI−T)R λ (T)矛盾. 这与 I = (\lambda I - T) R_{\lambda}(T)矛盾.
注: 注:
∙R λ (T)是从C到B(X)的映射((6.2.12)式); \bullet {\color{green}{R_{\lambda}(T)}} 是{\color{blue}{从 \mathbb{C} 到 \mathscr{B}(X)}}的映射((6.2.12) 式);
∙f是从B(X)到C的映射((6.2.15)式); \bullet {\color{green}{f}} 是 {\color{blue}{从 \mathscr{B}(X) 到 \mathbb{C}}}的映射((6.2.15) 式);
∙u f 是从C到C的映射((6.2.17)式). \bullet {\color{green}{u_f}} 是{\color{blue}{从 \mathbb{C} 到 \mathbb{C} }}的映射((6.2.17)式).
注意它们之间的逻辑关系和Hahn−Banach定理的应用. 注意它们之间的逻辑关系和 Hahn-Banach 定理的应用.

6.2.4有界线性算子的谱半径 \color{blue}{6.2.4 有界线性算子的谱半径}

定理6.2.7设T∈B(X),则极限定理 6.2.7 设 {\color{blue}{T \in \mathscr{B}(X)}}, 则极限
r σ (T)=lim k→∞ ∥T k ∥ 1k =inf∥T k ∥ 1k (6.2.19) \qquad r_{\sigma}(T) = \lim \limits_{k \to \infty} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} = \inf \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} \quad (6.2.19)
存在. 存在.
证明:令a k =lg∥T k ∥,下面证明:a k k →β=infa k k (k→∞). 证明: 令 {\color{red}{a_k = \lg \Vert T^k \Vert, }} 下面证明: {\color{red}{ \dfrac{a_k}{k} \to \beta = \inf \dfrac{a_k}{k} (k \to \infty).}}
根据教材(4.1.9)式,可知∥T m+k ∥≤∥T m ∥∥T k ∥,因此根据教材(4.1.9) 式, 可知 \Vert T^{m+k} \Vert \leq \Vert T^m \Vert \Vert T^k \Vert, 因此
a m+k =lg∥T m+k ∥≤lg(∥T m ∥⋅∥T k ∥) \qquad a_{m+k} = \lg \Vert T^{m+k} \Vert \leq \lg (\Vert T^m \Vert \cdot \Vert T^k \Vert)
=lg∥T m ∥+lg∥T k ∥=a m +a k . \qquad = \lg \Vert T^m \Vert + \lg \Vert T^k \Vert = a_m + a_k.
对于固定的正整数m,k=mq+p,其中q,p是整数使得0≤p<m. 对于固定的{\color{blue}{正整数m, k = mq + p}}, 其中 q, p 是整数使得 0 \leq p
那么a k ≤qa m +a p ,于是a k k ≤qk a m +a p k . 那么 a_k \leq qa_m + a_p, 于是 {\color{red}{\dfrac{a_k}{k} \leq \dfrac{q}{k} a_m + \dfrac{a_p}{k}. }}
对于固定的m,令k→∞,qk →1m ,因此对于固定的 m, 令 k \to \infty, \dfrac{q}{k} \to \dfrac{1}{m}, 因此
limsupa k k ≤1m a m . \qquad \lim \sup \dfrac{a_k}{k} \leq \dfrac{1}{m} a_m.
由于m是任意的,limsupa k k ≤β.另一方面,a k k ≥β, 由于 m 是任意的, {\color{blue}{\lim \sup \dfrac{a_k}{k} \leq \beta.}} 另一方面, {\color{blue}{\dfrac{a_k}{k} \geq \beta}},
因此因此
liminfa k k ≥β. \qquad \lim \inf \dfrac{a_k}{k} \geq \beta.
于是于是
a k k →β=inf k a k k (k→∞), \qquad \dfrac{a_k}{k} \to \beta = \inf \limits_{k} \dfrac{a_k}{k} (k \to \infty),
即即
∥T k ∥ 1k →inf k ∥T k ∥ 1k (k→∞). \qquad \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} \to \inf \limits_{k} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} (k \to \infty).

定义6.2.8称定义 6.2.8 称
r σ (T)=inf k ∥T k ∥ 1k =lim k→∞ ∥T k ∥ 1k \qquad {\color{blue}{r_{\sigma}(T) = \inf \limits_{k} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} = \lim \limits_{k \to \infty} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} }}
为有界线性算子T的谱半径. 为有界线性算子 T 的 {\color{red}{谱半径}}.
∙定理6.2.7显示,对于任何正整数k,r σ (T)≤∥T k ∥ 1k , \bullet 定理 6.2.7 显示, 对于任何正整数 k, r_{\sigma}(T) \leq \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}},
特别地,有特别地, 有
r σ (T)≤∥T∥(6.2.20) \qquad r_{\sigma}(T) \leq \Vert T \Vert \quad (6.2.20)
∙定理6.2.7证明了极限(6.2.19)的存在性,给出了 \bullet 定理 6.2.7 证明了极限(6.2.19)的存在性, 给出了
r σ (T)的定义方式,但是并未涉及r σ (T)和谱的关系. r_{\sigma}(T) 的定义方式, 但是并未涉及 r_{\sigma}(T) 和谱的关系.
▶事实上,谱半径刻画了谱的范围,我们有下面的定理. \blacktriangleright 事实上, {\color{blue}{谱半径刻画了谱的范围}}, 我们有下面的定理.

定理6.2.9设T∈B(X),则定理 6.2.9 设 T \in \mathscr{B}(X), 则
r σ (T)=sup λ∈σ(T) |λ|(6.2.21) \qquad {\color{blue}{r_{\sigma}(T) = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda| }} \quad (6.2.21)
证明:令α=sup λ∈σ(T) |λ|, 证明: 令 \alpha = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda|,
β=r σ (T)=inf n {∥T n ∥ 1n  }=lim n→∞ ∥T n ∥ 1n  . \qquad \beta = r_{\sigma}(T) = \inf \limits_{n} \lbrace \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} \rbrace = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}}.
首先证明α≤β.对于∀λ∈σ(T),可推知λ n ∈σ(T n ). {\color{red}{首先证明 \alpha \leq \beta}}. 对于 {\color{blue}{\forall \lambda \in \sigma(T)}}, 可推知{\color{blue}{\lambda^n \in \sigma(T^n)}}.
假如不然,λ n ∈ρ(T n ),由假如不然, \lambda^n \in \rho(T^n), 由
(λI) n −T n =(λI−T)P λ (T)=P λ (T)(λI−T)(6.2.22) (\lambda I)^n - T^n = (\lambda I - T) P_{\lambda}(T) = P_{\lambda}(T)(\lambda I - T) \quad (6.2.22)
及P λ (T)=∑ j=1 n λ j−1 T n−j ,知λI−T的逆算子存在且有界, 及 P_{\lambda}(T) = \sum \limits_{j=1}^n \lambda^{j-1}T^{n-j}, 知 \lambda I - T 的{\color{green}{逆算子存在且有界}},
即λ∈ρ(T),矛盾. 即{\color{green}{\lambda \in \rho(T)}}, 矛盾.
所以由定理6.2.2,|λ n |≤∥T n ∥,即所以由定理 6.2.2, |\lambda^n| \leq \Vert T^n \Vert, 即
|λ|≤∥T n ∥ 1n  (n=1,2,⋯). \qquad |\lambda| \leq \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} (n = 1, 2, \cdots).
于是于是
|λ|≤β=inf n {∥T n ∥ 1n  }, \qquad |\lambda| \leq \beta = \inf \limits_{n} \lbrace \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} \rbrace,
这样α=sup λ∈σ(T) |λ|≤β. 这样 {\color{blue}{\alpha = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda| \leq \beta.}}
反之,对于∀ε>0,令λ=α+ε∈ρ(T), 反之, 对于 \forall \varepsilon > 0, 令 \lambda = \alpha + \varepsilon \in \rho(T),
根据定理6.2.5,R λ (T)是关于λ的解析函数, 根据定理 6.2.5, {\color{red}{R_{\lambda}(T) 是关于 \lambda 的解析函数}},
因此它有唯一的Laurent展开. 因此它有唯一的 Laurent 展开.
由定理6.2.1,|λ|>∥T∥时,其展开式可由(6.2.5)表示. 由定理 6.2.1, |\lambda| > \Vert T \Vert 时, 其展开式可由 (6.2.5) 表示.
由Laurent展开的唯一性知R λ (T)=∑ n=0 ∞ λ −n−1 T n . 由 {\color{green}{Laurent 展开的唯一性}}知 R_{\lambda}(T) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1} T^n.
因此∥λ −n T n ∥→0(n→∞),于是当n充分大时, 因此 {\color{red}{\Vert \lambda^{-n}T^n \Vert \to 0 (n \to \infty)}}, 于是当n 充分大时,
∥T n ∥≤|λ| n =(α+ε) n . \qquad \Vert T^n \Vert \leq |\lambda|^n = (\alpha + \varepsilon)^n.
于是于是
β=lim n→∞ ∥T n ∥ 1n  ≤α+ε. \qquad \beta = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} \leq \alpha + \varepsilon.
由于ε>0是任意的,β≤α,定理得证. 由于 \varepsilon > 0 是任意的, \beta \leq \alpha, 定理得证.
▶下面举例说明(6.2.20)式中的严格不等号可以成立. \blacktriangleright 下面举例说明 (6.2.20) 式中的{\color{green}{严格不等号}}可以成立.

例6.2.10令例 6.2.10 令
A=(10 11 ) \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
σ(A)=σ p (A)={1},r σ (T)=sup λ∈σ(T) |λ|<∥A∥=3+5 √ 2 − − − − − − √ . {\color{blue}{\sigma(A) = \sigma_p(A) = \lbrace 1 \rbrace, r_{\sigma}(T) = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda|

例6.2.11令X=C[a,b],考虑Volterra积分算子K: 例 6.2.11 令 X = C[a, b], {\color{green}{考虑 Volterra 积分算子 K}}:
(Kx)(s)=∫ s a k(s,t)x(t)dt,a≤s≤b, \qquad (Kx)(s) = \int_a^s k(s, t) x(t) dt, a \leq s \leq b,
其中核k(s,t)是a≤t,s≤b上的连续函数,通过归纳其中核 k(s, t) 是 a \leq t, s \leq b 上的连续函数, 通过归纳
法可以证明法可以证明
∥K k ∥≤M k (b−a) k (k−1)! ,k≥1,(6.2.23) \qquad \Vert K^k \Vert \leq \dfrac{M^k(b-a)^k}{(k-1)!}, k \geq 1, \quad (6.2.23)
其中M=sup s,t∈[a,b] |k(s,t)|. 其中 M = \sup \limits_{s,t \in [a, b]} |k(s, t)|.
由此得到由此得到
r σ (K)=lim k→∞ ∥K k ∥ 1k =0 \qquad r_{\sigma}(K) = {\color{blue}{\lim \limits_{k \to \infty} \Vert K^k \Vert ^{\frac{1}{k}} }} = 0
我们得到σ(K)={0}. 我们得到 {\color{red}{\sigma(K) = \lbrace 0 \rbrace }}.