时间已经到了10月了

很快就要进入11月冲刺阶段

关于数列极限你们搞清楚了吗?

还有不懂的？

学姐来为你解答

小满师姐：总分340+(分数线310)，专业课数学分析120+。连续3年从事考研专业课辅导工作。

曾担任本科教学助理并参与评阅试卷，在厦大做科研助理一年，期间参与科研项目、论文及专利写作，编写数学建模比赛培训教案及编程python实现案例。

参与中国运筹学会金融工程与金融风险管理分会第六届学术年会，并在年会上发表学术报告。

数列极限

在数列极限这一章中，首先，引入了基本的极限的定义、性质及四则运算之后，教材中介绍了至少6个求极限的方法。

随后，有了收敛的性质，知道了收敛数列有什么特性，比如说收敛的有界性，也就是收敛必有界，定理2.2.2(这个是判断收敛的必要条件)。

那么反过来，有界数列必收敛吗？

不一定吧，举个反例，sin(n*\pi/4).我们更想知道收敛数列的充要条件，这跟一个数列本身的性质有关。

为什么要找到收敛数列的充要条件呀？

如果只根据收敛的定义，很多时候我们甚至不知道它的极限，要是没有别的判断方法就无法知道其是不是收敛。

一个自然的想法是，既然收敛必有界，有界不一定收敛。那么肯定有界与收敛存在一个相关的关系，我们已经猜对了一半了吧。

那自然的就有几个问题：

l 有界数列加上什么条件，就必定收敛(判断收敛的充分条件)：单调有界数列收敛定理

l 有界数列可以得到什么结论?(虽然不一定收敛，应该是一个弱一点的结论也没关系)：Bolzano-Weierstrass定理

l 更进一步地，判断收敛的充要条件是什么呢?：Cauchy收敛原理

闭区间套定理把这4个定理建立了联系。

在数列极限这一章中，五个实数系的基本定理需要掌握其证明，其5个定理的关系如下图所示：

1. 确界存在定理(实数系连续性)：非空有上界数集必有上确界。证：刻画

2. 单调有界数列收敛定理。证：确界存在定理及确界定义

3. 闭区间套定理：闭区间套，存在唯一实数属于所有闭区间，且唯一。证：存在性，单调有界收敛定理及闭区间套定义；唯一性，反证及夹逼

4. B-W定理：有界数列必有收敛子列。证：构造闭区间套得极限，再证有一子列收敛于该极限(构造一子列夹逼于闭区间两端点)

5. Cauchy收敛原理(实数系完备性)：数列收敛得充要条件是基本数列。证：必要，收敛定义及插项三角不等式；充分，基本数列定义知必有界，由B-W定理知有收敛子列趋于极限，基本数列定义

第二点需要掌握的是，求极限的常见方法。

现给大家总结如下：

1. 由定义解出最佳正整数N，注意插项和三角不等式的技巧；

2. 利用二项式放缩，注意典型题型及常见结论；

3. 两个平均值；

4. 夹逼准则；

5. Stolz定理，思考什么时候用Stolz定理：如有明显递推、给出和式时；

6. 应用单调有界数列收敛定理；

(1) 利用递推求极限

(2) 三个常用无理数

(3) p级数

(4) Fibonaccii数列

函数极限

函数极限的大部分定义定理为数列极限的延拓，大家复习时应注意对比。

同时，要明白连续其实本质上就是极限，也要会区分点连续和一致连续：前者为局部性，后者则为整体性的概念。

另外，连续函数中的重点为三类不连续点，对应不同的类型应能给出典型例子，并画图形象表示，可以判断不连续点的类型。

(1)第一类(跳跃点)：左右极限存在但不相等。注意单调函数；

(2)第二类：左右极限中有不存在。注意Dirichlet函数及其变形；

(3)第三类(可去间断点)：左右极限存在且相等，但不等于f(x0)或f(x0)无定义。

例f(x)=xsin(1/x)；注意例3.2.7 Riemann函数(画图直观理解，对比Riemann函数和dirichlet函数，一个跳的高度一样，一个跳的高度为1/p)。

在无穷小量与无穷大量的阶这一小节中，需自己总结常用的等价关系。

例如我总结的部分常用等价关系和高阶关系给大家参考一下。

【参考】

l 常用的等价关系：

1)x->0：

sinx~x

1-cosx~1/2 x^2

tanx - sinx ~ 1/2 x^3 ，变形 sinx ((1-cosx)/cosx) ~ 1/2 x^3

In(1+x) ~ x

(1+x)^a -1 ~ ax

tanx ~ x

arctanx ~ x

e^x - 1 ~ x，变形 a^x -1 ~ x Ina

2)x->\pi/2 -：

tanx ~ 1/(\pi/2 - x)，变形如下

cosx ~ \pi/2 - x

l 常用的高阶关系：

1)x->+\infty：低到高阶无穷大量(从小到大)

In^k(x), x^a, a^x,[x]!,x^x

2)x->0+：高到低阶无穷小量(从小到大)

(1/x)^(-1/x), 1/[1/x]!, a^(-1/x), x^a, In^(-k)(1/x)

随后，对于连续函数在闭区间上的5个分析性质，对应5个定理：有界性定理、最值定理、零点存在定理、一致连续Cantor定理，需掌握其证明思想。

证明它们用了实数系的5个基本定理，当中我们用的比较多的是b-w定理和闭区间套定理，实际上因为实数系的5个基本定理等价，因此用任意一个证明都是等价的，难度有差。这种题可以考，可当作习题自我检测。

综 述

l 函数极限要跟数列极限的相关概念、定理和方法对比，课上我有提出来哪个证明方法其实跟哪个定理是一样的，哪个定理其实是谁的拓展版，哪个概念其实就是哪个概念。类似这样的问题帮助你看清楚知识点的本质，加深你对这个知识点的认识。总之多对比，多总结。

l 跟数列极限一起复习，找到框架性的知识，比如数列极限和函数极限分别讲了它们的什么性质，分别有什么关系，要有框架性的大纲，学数学要时刻清楚自己在干什么，目标要明确。有的时候某一步很难过来推不下来，会卡住，但弄明白这种细枝末节的步骤以后也要学会跳出细节，了解框架。

l 不断对比总结，框架上一层一层拔高一个层次、越来越高的角度来理解，来总结，这样做笔记对你们帮助会非常大。

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