先简单的介绍一下素数定理：

素数定理（

为了用数学语言描述它，不妨定义

则素数定理就可以简单的写成：

更一般的，设

综上，素数定理又可以写成：

以下为证明：

我们希望估算出

任何一个大于1的自然数

理想很美好，现实很骨感，我们并不知道

事实上，还真的有，这个数就是“

声明一下，这个“

那么

我们不加证明的引入两个定理：

定理一：若

注意到

由此，我们得到：

整理一下我们目前的已知结论，

对此，我们引入第二个定理（

接下来，我们引入第一个近似（本篇的近似很多，请做好心理准备）:

注：上式右边的等号是等比数列求和公式。另外插一句话，本篇所有的“

现在，我们将

两边取对数可得：

再运用斯特林公式：

现在，我们得到一个有关

跑题了，总之，我们得到了一个有关

注意到当

说真的，到了这一步，已经想不到有什么路可以走了。

不过有时候，回头看看起点，有时候会有点启发。讲讲历史，看看素数定理最初是怎么来的，顺便，瞻仰一下高斯的天才之处。

1849年，著名天文学家

高斯回复道:这个问题很有意思!在57年前，也就是在我14岁的时候，偶然得到一本书。书上有一个对数表，还有一个质数表。闲来无事的我，花了一刻钟时间计算了其中1000个。发现了一个规律:质数的分布密度接近于自然对数的倒数，于是我又验算了大概一百万个，结论大体没错。

什么意思？就是在一百万里随便找一千个数，例如485001

14岁、闲来无事、十五分钟、一千个数内的所有素数、总结出规律……

大神的特点就是:所有人都觉得他在装逼，只有他自己觉得很正常。

扯远了，总而言之，用数学语言把高斯发现的规律写下来就是：

写的再详细一点就是：

这样就给了我们启发：要不，看看能不能找到一个简单连续函数

当然了，如果当

但是到目前为止，我们根本不知道这样的

现在，我们假设这样的

因为

故：

注意到对于两个相邻的素数

故有：

再对

得到：

等等，为什么感觉约等于号右边的式子有些眼熟？哦！咱们把上式变一下：

想起来了吧？是的，之前我们证明过

两边同时求导：

如果你愿意，也可以写成：

插一句，素数定理还有一种表达方式：

故有：

这就是素数定理了。不过，站在数值计算角度看，

终于，我们证明

看完以上的推导过程，如果作为一个大一或大二学生还没有几分激动的话，也许真的不适合搞基础数学研究了，数学也是讲究缘分的。至少当初亲手推导时很激动，尽管上述方法并不严密，但我却希望你们能在这并不严密的数学推导中感受到数学的美。

其实，很多数学问题最初的解决方法不一定使用了特别高深的数学工具，而是很多令后人拍案叫绝的思想。例如，欧拉解决巴塞尔问题

的方法：

首先，函数

接着，如果我们将

而由泰勒公式

比较

化简，得：

是的，以上很多步骤在当时看起来非常的不严谨，但想不到后人通过严格的数学证明，发现它居然真的是对的。有的时候数学研究，不一定非要局限于你所在的领域，有时也可以先大胆的思考、尝试，然后再回过头来补全它，不要因为害怕而限制住了自己的思维。

关于素数定理，有了探索和猜想，下面需要严格的数学证明了。素数定理的第一个严格证明来自阿达玛和普桑，证明方法比较高深（用到了复变函数论）。后来塞尔伯格和厄尔多斯给出了纯初等证明（一堆繁琐的不等式估计，思路比较复杂，启发性不大），证明细节可参考华老的《数论导引》。后人们不断简化素数定理的证明，已经有好几种证明了。

对了！关于素数定理，还有一件事：

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。1859年黎曼被任命为柏林科学院的通讯院士，作为见面礼，黎曼提交了他唯一关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文，《论小于一个给定值的素数的个数》。在这篇论文中，黎曼提出了著名的黎曼猜想：黎曼