中心极限与大数定理律的关系_麦克斯韦速度分布律与气体分子碰壁数的推导

本文对Maxwell速度分布律的推导按以下步骤进行：
1、根据速度分布的各向同性假设，确定Maxwell速度分布的基本形式
2、计算气体分子碰壁数，进而推导压强和温度与方均根速率的关系
3、根据温度与方均根速率的关系，得出Maxwell速度分布律的最终表达式

Maxwell速度分布律的基本形式

记速度的分布为

。

根据速度分布的各向同性假设，在速度空间中任取一组单位正交基

，将速度

展开为

，则

必定是三个相互独立的随机变量，而且它们的分布是相同的，与单位正交基的选取无关的。将它们的分布记为

，则

和

作为分布函数(概率密度函数)必需满足

。

任取另一组满足

的单位正交基

，则速度

在这组基下展开为

。根据上面关于速度分布的各向同性假设的论述，可以得到

取对数，可以得到

分别对

求偏导数，可以得到

移项，可以得到

可以看到，等号右侧的三式是相互独立却相等的，所以等号左侧必定是一个常数。于是，

满足微分方程

（

是待定常数）

解微分方程，可以得到

（

是待定常数）

由归一化条件，可以得到

记

，可以得到

（

是大于

的待定常数）

所以

是一个期望为

的正态分布。最终得到Maxwell速度分布的基本形式为

利用速度分布，可求得
平均速率

方均根速率(的平方)

气体分子碰壁数

由于在任一宏观小微观大的区域内，都有大量的以各种不同速度运动的不同的分子，在计算气体分子碰壁数的过程中，我们难以将气体视为流体，并使用速度场描述其运动状态。这是气体分子碰壁数问题的困难所在。
我们按以下步骤计算气体分子碰壁数：
1、将气体分子碰壁数问题，表述为等价的气体分子流量(通量)问题^[1]
2、假设所有分子以相同的速度运动，求得流量
3、利用速度分布求得流量的期望，亦即气体分子碰壁数的最终表达式

1、

气体分子碰壁数问题，可以被等价地表述为以下问题^[2]：

一容器内有一团均匀分布的理想气体，在某一时刻，这一容器突然凭空消失，求在容器消失后的下一微元时间内，气体分子在气团边界面的某一微元面积上的(单位时间内单位面积上的)流量(通量)。

其中，所要求的(单位时间内单位面积上的)流量，就等于气体分子(单位时间内单位面积上的)碰壁数。

(单位时间内单位面积上的)流量还可以更"数学"地表达为：气团边界面某点处的流量密度，在该点微元面积上的投影，作为时间的函数，在容器消失的时刻的右极限。

2、

假设在容器消失的前一时刻，所有气体分子均以速度

运动，则由于速度是随时间连续变化的，在容器消失的前后时刻，这团气体均可被视为流体，并可用空间中的同一个速度场描述其运动状态。

于是，记气体分子数密度为

，则所求的(…)流量为

（

是某一微元面积的指向闭合曲面外的单位法向量）。

3、

由于气体分子的速度各不相同，并按

分布，所以，在所有气体分子中，以速度

运动的只占

。

于是，记真实的(…)流量亦即气体分子(…)碰壁数为

，则

实际上是

的期望。需要注意的是，由于只有速度朝向微元面积外的分子参与碰壁，所以积分域只取半个速度空间。

根据

的基本形式，

的值与

的指向无关。在速度空间中任意选取一组满足

的单位正交基

。将

展开，可以求得

理想气体的压强和温度

延续计算气体分子碰壁数的思路，可以很快推导出理想气体压强公式。

由冲量定理可得，在一次碰撞中，一个速度为

气体分子施加给容器壁的冲量的大小为

。

^[3]

于是，气体对容器壁的压强为

同样地，

的值与

的指向无关，可以求得

由理想气体状态方程

，可以求得

Maxwell速度分布律

由理想气体温度公式可以确定常数

，于是，Maxwell速度分布律的最终表达式为

向Maxwell大神敬礼!!!

参考

^相比于碰壁数的问题，读者应该对流量密度的问题更熟悉，至少作者是如此。
^等价指的是计算过程和结果的相同。
^不难发现，向不同方向运动的分子，施加在容器壁同一点处的冲量的方向，都是平行于该点处微元面积的法向量的，所以此处可以不考虑冲量的方向。