幂级数——函数的幂级数展开

2024-05-18 21:38:19

一.泰勒级数

若函数f在点 $x_0$ 的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}_{R_n(x)}.$ $R_n(x)$ 为拉格朗日型余项。

如果函数f在 $x_0$ 处存在任意阶的导数，这时称级数 $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...$ 为函数f在 $x_0$ 处的泰勒级数。

定理11

设f在点 $x_0$ 具有任意阶导数，那么f在区间 $(x_0-r,x_0+r)$ 上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件：对一切满足不等式 $\left | x-x_0 \right |<r$ 的x，有 $\lim_{n\to \infty}R_n(x)=0,$ 这里的 $R_n(x)$ 是f在 $x_0$ 处的泰勒公式余项。

如果f能在点 $x_0$ 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在点 $x_0$ 的这一领域上可以展开成泰勒级数，并称等式 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...$ 的右边为f在 $x_0$ 处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。

函数在 $x_0=0$ 初的展开式 $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x)+\frac{f''(0)}{2!}(x)^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n+...$ 称为f的麦克劳林级数。

二.初等函数的幂级数展开式

(1)k级多项式函数 $f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_kx^k$ 的展开式是其本身。

$(2)e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+...+\frac{1}{n!}x^n+...,x\in (-\infty ,+\infty)$

$(3)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+...,x\in (-\infty,+\infty)$

$(4)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...,x\in (-\infty,+\infty)$

$(5)\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+...,x\in (-1,1]$

$(6)(1+x)^\alpha =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}x^n+...,x\in (-1,1)$

当 $\alpha \leqslant -1$ 时，收敛域为（-1，1）；

当 $-1< \alpha < 0$ 时，收敛域为（-1，1 ]；

当 $\alpha > 0$ 时，收敛域为[ -1,1 ];

幂级数——函数的幂级数展开相关推荐

14.0高等数学五- 函数的幂级数展开（泰勒级数或者麦克劳林级数）
函数的幂级数展开问题引入泰勒级数的概念定理1(单项的表示) 定理1推导泰勒级数或者麦克劳林级数泰勒级数展开的条件定理2,余项充要条件定理3,有界充分条件泰勒级数展开的方法公式法间接 ...
幂级数及其收敛准则，展开式，和函数。
一.幂级数的基本概念二.幂级数的性质 1.加减乘除性质. 2.三大分析性质. 三.函数的幂级数展开. 1.基本概念 2.常用七个麦克劳林级数. 四.幂级数展开的两种方式五.和函数
生成函数（常见幂级数、广义二项式定理、生成函数的应用）
文章目录生成函数引言定义有关幂级数的有用事实形式幂级数幂级数的和.积广义二项式定理常见的生成函数使用生成函数解决计数问题不定方程的解的个数完全背包问题的方案数有顺序的背包问题的 ...
高数考研归纳 - 级数 - 幂级数
点击此处查看高数其他板块总结文章目录记忆内容 1 基本概念 (1) 函数项级数 - ∑n=1∞un(x)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\,n=1∑∞un(x ...
cosx的麦克劳林级数是多少_cosx泰勒展开
泰勒公式在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式....的项用乘法分配律写在一起,剩余的项写在一起,刚好是 cosx,sinx 的展开式...... 任取在闭区间上阶连续 ...
高斯课堂数电讲义笔记_学技树
[高斯课堂]概率论与数理统计\1.mp4 [高斯课堂]概率论与数理统计\10.mp4 [高斯课堂]概率论与数理统计\11.mp4 [高斯课堂]概率论与数理统计\12.mp4 [高斯课堂]概率论与数理统 ...
2022考研-高等数学教程
文章链接 https://gitee.com/fakerlove/math 文章目录第一章函数,连续,极限 1.1 函数概念和常见的函数性质 1.2 极限数列极限函数极限性质易错问题 ...
高数笔记基础篇（更完）
文章目录第一章函数极限连续函数极限常用的基本极限常见等价无穷小要背 mark 常见泰勒公式函数的连续性第二章导数与微分导数的概念微分的概念导数与微分的几何意义连续可导可 ...
复旦大学《数学分析》教学大纲，读后有感
该<分析>大纲读后,犹如时间倒转,回到19世纪的马克思撰写<数学手稿>时代,-- 但是,时光不能倒流.进入20世纪,数学公理化时代终于到来了.1930年,哥德尔紧致性定理:19 ...
05 高等数学专题——无穷级数
一.数列{an} 定义:数列通项极限存在(即趋于某个常数),则称数列收敛 (反之数列收敛,则数列通项的极限存在) 单调有界准则:数列是单调有界数列,,则极限存在数列收敛(反之数列收敛,则数列有界,性质 ...

最新文章

热门文章