点击此处查看高数其他板块总结

文章目录

记忆内容
- 1 基本概念
- - (1) 函数项级数 - ∑n=1∞un(x)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\,n=1∑∞un(x)
  - (2) 幂级数 - ∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn
- 2 幂级数基本定理
- - (一) 阿贝尔定理 (Abel\text{Abel}Abel)
  - (二) 收敛半径定理和相关问题
  - - 定理1
    - 定理2
    - 补充说明
    - 问题1. 求收敛域
    - 问题2. 根据收敛点或发散点判断收敛域
    - 问题3. 根据幂级数的收敛半径推另一个幂级数的收敛半径
- 3 幂级数的分析性质
- - (1) 连续性质
  - (2) 逐项可导性
  - (3) 逐项可积性
  - (4) 变换与拆项
  - - 下标增减变换
    - kk\,k阶导的等价下标变换
    - 拆项和补项
    - 综合运用
- 4 函数的幂级数展开
- - (一) 常见函数的麦克劳林级数
  - (二) 直接展开法 (不常用)
  - (三) 间接展开法
  - - (1) 有理分式： f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)
    - (2) 对数：lnP(x)\text{ln}P(x)lnP(x)
    - (3) 三角函数：cosP(x)\text{cos}P(x)cosP(x)、sinP(x)\text{sin}P(x)sinP(x)
    - (4) 先求积分再求导
    - (5) 先求导再求积分
  - (四) 已知f(x)\,f(x)\,f(x)，求f(n)(0)\,f^{(n)}(0)\,f(n)(0)
- 5 求幂级数的和函数
- - 和函数定义
  - 幂级数的和函数
  - 求幂级数和函数的基本步骤
  - 几点说明
  - - a) 求和函数的工具
    - b) 求和函数与展开为幂级数的关系
    - c) 及时改变下标
    - d) 导致s(x)\,s(x)\,s(x)分段的原因
  - (1) 先积分再求导
  - (2) 先求导再积分
  - (3) ∑n=0∞P(n)xn\sum\limits_{n=0}^\infty P(n)x^nn=0∑∞P(n)xn
  - (4) ∑n=0∞xnP(n)\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{P(n)}n=0∑∞P(n)xn
  - (5) 级数中含阶乘
  - (6) ana_n\,an未知
  - (7) 构造微分方程反解和函数

记忆内容

1 基本概念

(1) 函数项级数 - ∑n=1∞un(x)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\,n=1∑∞un(x)

定义：
设{un(x)}\,\{u_n(x)\}\,{un(x)}为函数列，称∑n=1∞un(x)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\,n=1∑∞un(x)为函数项级数.
∑n=1∞un(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...n=1∑∞un(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...

注意：当x=x0\,x=x_0\,x=x0时，∑n=1∞un(x0)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)\,n=1∑∞un(x0)为常数项级数.

收敛点 / 发散点：若常数项级数∑n=1∞un(x0)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)\,n=1∑∞un(x0)收敛(发散)，则称x0\,x_0\,x0是函数项级数∑n=1∞un(x0)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)\,n=1∑∞un(x0)的收敛点(发散点).

收敛域 / 发散域：函数项级数∑n=1∞un(x)\,\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\,n=1∑∞un(x)收敛点(发散点)的全体.

收敛区间：不含端点的收敛域：(−R,R)(-R,\,R)(−R,R).

部分和 - sn(x)s_n(x)sn(x)：
即∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\,n=1∑∞un(x)的前n\,n\,n项之和.
sn(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)s_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)sn(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)

和函数 - s(x)s(x)s(x)：
s(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...s(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...

部分和与和函数的关系：
lim⁡n→∞sn(x)=s(x)\lim\limits_{n\to\infty}s_n(x)=s(x)n→∞limsn(x)=s(x)

余项 - rn(x)r_n(x)rn(x)：
rn(x)=s(x)−sn(x)r_n(x)=s(x)-s_n(x)rn(x)=s(x)−sn(x)

lim⁡n→∞rn(x)=0\lim\limits_{n\to\infty}r_n(x)=0n→∞limrn(x)=0

注意：只有x\,x\,x在收敛域上，rn(x)\,r_n(x)\,rn(x)才有意义.

(2) 幂级数 - ∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn

定义：
幂级数是具有以下形式的函数项级数：
∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...n=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...

注意：
(1) ∑n=0∞an(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\,n=0∑∞an(x−x0)n是幂级数的一般形式，但可以作代换t=x−x0\,t=x-x_0\,t=x−x0化为上面的标准形式. 题目出现这种形式时也是考虑先代换，转化为∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn.
(2) a0,a1,a2,...,an,...a_0,\,a_1,\,a_2,...,a_n,...\,a0,a1,a2,...,an,...称为幂级数的系数.
(3) 泰勒公式的级数形式：
f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^nf(x)=n=0∑∞an(x−x0)n

2 幂级数基本定理

(一) 阿贝尔定理 (Abel\text{Abel}Abel)

对幂级数∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn，
a) 若存在x0≠0\,x_0\neq 0x0=0，使得∑n=0∞anx0n\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x_0^n\,n=0∑∞anx0n收敛，则当∣x∣<∣x0∣\,|x|<|x_0|\,∣x∣<∣x0∣时，∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn绝对收敛；
b) 若存在x1≠0\,x_1\neq 0x1=0，使得∑n=0∞anx1n\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x_1^n\,n=0∑∞anx1n发散，则当∣x∣>∣x1∣\,|x|>|x_1|\,∣x∣>∣x1∣时，∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn发散；

!\color{Red}!\,!推论：
对幂级数∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\,n=0∑∞anxn，∃R>0\exist\,R>0\,∃R>0(RR\,R称为收敛半径)，
a)∣x∣<R\;|x|<R\,∣x∣<R即x∈(−R,R)\,\color{Blue}x\in(-R,R)x∈(−R,R)，幂级数绝对收敛；
b)∣x∣>R\;|x|>R\,∣x∣>R即x<−R\,\color{Blue}x<-R\,x<−R或x>R\,\color{Blue}x>Rx>R，幂级数发散；
c)x=±R\;\color{Blue}x=\pm R\,x=±R，幂级数可能收敛也可能发散.

注意：
(1) 由此可见，幂级数的条件收敛只有可能发生在端点.
(2) 端点处是否属于收敛域需要单独考虑，通过判断将端点代入幂级数得到的常数项级数的敛散性确定.

(二) 收敛半径定理和相关问题

通过下面两个定理可以确定收敛半径R\,RR.

定理1

对幂级数∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^nn=0∑∞anxn，设lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\,\color{Blue}\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=\rhon→∞lim∣anan+1∣=ρ，则
(1) 若ρ=0\,\rho=0ρ=0，则R=+∞\,R=+\inftyR=+∞；

(2) 若ρ=+∞\,\rho=+\inftyρ=+∞，则R=0\,R=0\,R=0；

(3) 若0<ρ<+∞\,0<\rho<+\infty0<ρ<+∞，则R=1ρ\,R=\frac{1}{\rho}R=ρ1.

定理2

对幂级数∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^nn=0∑∞anxn，设lim⁡n→∞∣an∣n=ρ\,\color{Blue}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rhon→∞limn∣an∣=ρ，则
(1) 若ρ=0\,\rho=0ρ=0，则R=+∞\,R=+\inftyR=+∞；

(2) 若ρ=+∞\,\rho=+\inftyρ=+∞，则R=0\,R=0\,R=0；

(3) 若0<ρ<+∞\,0<\rho<+\infty0<ρ<+∞，则R=1ρ\,R=\frac{1}{\rho}R=ρ1.

补充说明

(1) 若幂级数表示为∑n=0∞anxkn+c(k>0,c⩾0)\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^{{\color{Red}k}n+c}\;(k>0,c\geqslant0)n=0∑∞anxkn+c(k>0,c⩾0)，其收敛半径为R′\,R'R′，则
1R=lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ⇒R′=Rk=1ρk\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg|=\rho\Rightarrow R'=\sqrt[\color{Red}k]{R}=\sqrt[\color{Red}k]{\frac{1}{\rho}}R1=n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=ρ⇒R′=kR=kρ1

1R=lim⁡n→∞∣an∣n=ρ⇒R′=Rk=1ρk\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho\Rightarrow R'=\sqrt[\color{Red}k]{R}=\sqrt[\color{Red}k]{\frac{1}{\rho}}R1=n→∞limn∣an∣=ρ⇒R′=kR=kρ1

(2) 对于幂级数∑n=0∞an(x−x0)n\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^nn=0∑∞an(x−x0)n，其收敛域是以x0\,x_0\,x0为中心且包含(x0−R,x0+R)\,(x_0-R,\,x_0+R)\,(x0−R,x0+R)的区间 (端点情况单独考虑).

(3) 在幂级数中，(−1)n(-1)^n\,(−1)n是包含在an\,a_n\,an中的 (这与交错级数不同)，计算收敛半径时不要漏掉.

问题1. 求收敛域

标准步骤：
(1) 求收敛半径，得到收敛区间 (开区间).
(2) 判断端点敛散性，得到收敛域.

如果对收敛区间分析感到困难，可以考虑使用下面这种方法：
收敛区间快速求法：
(1) 对于∑un(x)\,\sum u_n(x)∑un(x)，加绝对值使之成为正项级数∑∣un(x)∣\,\sum|u_n(x)|∑∣un(x)∣.
(2) 使用比值审敛法(或根值审敛法)，令：{lim⁡n→∞∣un+1(x)∣∣un(x)∣<1lim⁡n→∞∣un(x)∣n<1，\begin{cases}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n{(x)}|}<1\\ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}<1\end{cases}，⎩⎨⎧n→∞lim∣un(x)∣∣un+1(x)∣<1n→∞limn∣un(x)∣<1，解出x\,x\,x的范围，即为收敛区间.

细节问题：对于(1)，收敛半径通常对级数直接使用收敛半径定理即可解得. 但有时级数比较复杂，定理1、定理2计算不出. 应该考虑能否对级数进行拆分，分别考虑最后再取交集. 下面给出其中一种非常重要的拆分思路：
奇偶拆分：
以求∑n=1∞[3+(−1)n]nnxn\,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n\,n=1∑∞n[3+(−1)n]nxn的收敛区间为例：
∑n=1∞[3+(−1)n]nnxn=∑n=1∞42n2nx2n+∑n=1∞22n−12n−1x2n−1\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4^{2n}}{2n}x^{2n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n-1}}{2n-1}x^{2n-1}n=1∑∞n[3+(−1)n]nxn=n=1∑∞2n42nx2n+n=1∑∞2n−122n−1x2n−1

∑n=1∞42n2nx2n⇒(−12,12)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4^{2n}}{2n}x^{2n}\Rightarrow(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2})n=1∑∞2n42nx2n⇒(−21,21)

∑n=1∞22n−12n−1x2n−1⇒(−14,14)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n-1}}{2n-1}x^{2n-1}\Rightarrow(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4})n=1∑∞2n−122n−1x2n−1⇒(−41,41)

⇒(−14,14)\Rightarrow (-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4})⇒(−41,41)

读者可以再考虑：∑n=1∞2+(−1)nnxn\,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{n}x^nn=1∑∞n2+(−1)nxn.

问题2. 根据收敛点或发散点判断收敛域

对于幂级数：
∑n=0∞an⋅xn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^nn=0∑∞an⋅xn

首先明确一个事实：收敛区间必定关于x=0\,x=0\,x=0中心对称，必定以(−R,R)\,(-R,R)\,(−R,R)或(−∞,+∞)\,(-\infty,+\infty)\,(−∞,+∞)二者之一的形式出现.

有以下几个的结论：
(1) 若已知该幂级数在x=x1\,x=x_1\,x=x1收敛，说明：
至少在(−x1,x1]\,(-x_1,\,x_1]\,(−x1,x1]这个区间内幂级数是收敛的；
在区间(−x1−Δx,x1+Δx)\,(-x_1-\Delta x,x_1+\Delta x)\,(−x1−Δx,x1+Δx)内幂级数可能还收敛；
x=−x1x=-x_1\,x=−x1是否收敛不能确定.
R⩾x1\,R\geqslant x_1R⩾x1；

(2) 若该幂级数在x=x2\,x=x_2\,x=x2发散，说明：
至多在[−x2,x2)\,[-x_2,\,x_2)\,[−x2,x2)这个区间内幂级数是收敛的；
在区间(−x2+Δx,x2−Δx)\,(-x_2+\Delta x,x_2-\Delta x)\,(−x2+Δx,x2−Δx)内幂级数可能还发散；
x=−x2x=-x_2\,x=−x2是否收敛不能确定.
R⩽x2\,R\leqslant x_2R⩽x2；

而对于幂级数：
∑n=0∞an⋅(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot (x-x_0)^nn=0∑∞an⋅(x−x0)n

首先作代换，令t=x−x0⇒x=t+x0\,t=x-x_0\Rightarrow x=t+x_0t=x−x0⇒x=t+x0.
则收敛域必然关于t=0\,t=0\,t=0对称，问题就转化为∑n=0∞an⋅tn\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot t^n\,n=0∑∞an⋅tn的收敛半径问题了.

更一般的，下面这种级数的收敛半径也能判断：
∑n=0∞an⋅(ax+b)n(a≠0)\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot (ax+b)^n\;\;(a\neq 0)n=0∑∞an⋅(ax+b)n(a=0)

令t=ax+b\,t=ax+bt=ax+b，即可进行判断.

例. 设级数∑n=0∞an(2x−1)n\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(2x-1)^n\,n=0∑∞an(2x−1)n在x=−2\,x=-2\,x=−2处收敛，在x=3\,x=3\,x=3处发散，求收敛半径.

解.
令t=2x−1\,t=2x-1t=2x−1，则有∑n=0∞antn\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n\,n=0∑∞antn收敛区间关于原点对称.
因为级数在x=−2\,x=-2\,x=−2处收敛，即t=−5\,t=-5\,t=−5处收敛，所以R⩾5\,R\geqslant5R⩾5；
因为级数在x=3\,x=3\,x=3处发散，即t=5\,t=5\,t=5处发散，所以R⩽5\,R\leqslant5R⩽5；
综上：R=5R=5R=5.

问题3. 根据幂级数的收敛半径推另一个幂级数的收敛半径

已知收敛半径为R\,R\,R的幂级数：
∑n=0∞an⋅xn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^nn=0∑∞an⋅xn

主要有两种思路：

(1) 使用逐项可积性和逐项可导性(见幂级数的分析性质)，收敛半径不变. 即这三者收敛半径都为R\,R\,R：
∑n=0∞an⋅xn，∑n=0∞nanxn−1，∑n=0∞ann+1xn+1\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n，\sum\limits_{n=0}^\infty na_n x^{n-1}，\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}n=0∑∞an⋅xn，n=0∑∞nanxn−1，n=0∑∞n+1anxn+1

(2) 另一个幂级数为∑n=0∞anxkn+c(k>0,c⩾0)\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^{{\color{Red}k}n+c}\;(k>0,c\geqslant0)n=0∑∞anxkn+c(k>0,c⩾0)，收敛半径为R′\,R'R′，则：

1R=lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ⇒R′=Rk=1ρk\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg|=\rho\Rightarrow R'=\sqrt[\color{Red}k]{R}=\sqrt[\color{Red}k]{\frac{1}{\rho}}R1=n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=ρ⇒R′=kR=kρ1

或
1R=lim⁡n→∞∣an∣n=ρ⇒R′=Rk=1ρk\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho\Rightarrow R'=\sqrt[\color{Red}k]{R}=\sqrt[\color{Red}k]{\frac{1}{\rho}}R1=n→∞limn∣an∣=ρ⇒R′=kR=kρ1

3 幂级数的分析性质

(1) 连续性质

和函数s(x)\,s(x)\,s(x)在(−R,R)\,(-R,R)\,(−R,R)内连续.

(2) 逐项可导性

当x∈(−R,R)\,x\in(-R,R)\,x∈(−R,R)时，
s′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=0∞nanxn−1s'(x)=(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n)'=\sum\limits_{n=0}^\infty na_n x^{n-1}s′(x)=(n=0∑∞anxn)′=n=0∑∞nanxn−1

且∑n=0∞nanxn−1\,\sum\limits_{n=0}^\infty na_n x^{n-1}\,n=0∑∞nanxn−1的收敛半径也是R\,RR.

注意：
(1) 逐项求导不改变收敛半径，但收敛域可能变大，也可能缩小(视求导后端点处的敛散性而定).
(2) 反复使用逐项可导性可以得出：和函数s(x)\,s(x)\,s(x)在(−R,R)\,(-R,R)\,(−R,R)内具有任意阶导数.

(3) 逐项可积性

当x∈(−R,R)\,x\in(-R,R)\,x∈(−R,R)时，
∫0xs(x)dx=∫0x(∑n=0∞anxn)dx=∑n=0∞∫0xanxndx=∑n=0∞ann+1xn+1\int^x_0s(x)\text{d}x=\int^x_0(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n)\text{d}x=\sum\limits_{n=0}^\infty\int_0^x a_n x^n\text{d}x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}∫0xs(x)dx=∫0x(n=0∑∞anxn)dx=n=0∑∞∫0xanxndx=n=0∑∞n+1anxn+1

且∑n=0∞ann+1xn+1\,\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\,n=0∑∞n+1anxn+1的收敛半径也是R\,RR.

注意：逐项求积分不改变收敛半径，但收敛域可能变大，也可能缩小(视求积分后端点处的敛散性而定).

(4) 变换与拆项

下标增减变换

技巧：下标和通项中的n\,n\,n变化是相反的，
下标减多少，通项就加多少；下标加多少，通项就减多少.

通用思路：换元法，下面看两个例子：

(1) 将下标i\,i\,i变成从0\,0\,0开始：
∑n=i∞xn=∑n=0∞xn+i\sum\limits_{n=\color{Blue}i}^\infty x^{\color{Purple}n}=\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{\color{Purple}n+i}n=i∑∞xn=n=0∑∞xn+i

∑n=i∞x2n+c=∑n=0∞x2(n+i)+c\sum\limits_{n=\color{Blue}i}^\infty x^{\color{Purple}2n+c}=\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{\color{Purple}2(n+i)+c}n=i∑∞x2n+c=n=0∑∞x2(n+i)+c

推导：令t=n−i\,t=n-i\,t=n−i，则n=i+t\,n=i+t\,n=i+t
∑n=i∞xn=∑t=0∞xi+t=∑n=0∞xn+i\sum\limits_{n=\color{Blue}i}^\infty x^n=\sum\limits_{t=\color{Blue}0}^\infty x^{i+t} =\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{n+i}n=i∑∞xn=t=0∑∞xi+t=n=0∑∞xn+i

(2) 将次数n+i\,n+i\,n+i改为n\,n\,n：
∑n=k∞xn+i=∑n=k+i∞xn\sum\limits_{n=\color{Purple}k}^\infty x^{\color{Blue}n+i}=\sum\limits_{n=\color{Purple}k+i}^\infty x^{\color{Blue}n}n=k∑∞xn+i=n=k+i∑∞xn

推导：令t=n+i\,t=n+i\,t=n+i，则n=t−i\,n=t-i\,n=t−i
∑n=k∞xn+i=∑t=k+i∞xt=∑n=k+i∞xn\sum\limits_{n=\color{Purple}k}^\infty x^{\color{Blue}n+i}=\sum\limits_{t=\color{Purple}k+i}^\infty x^{\color{Blue}t}=\sum\limits_{n=\color{Purple}k+i}^\infty x^{\color{Blue}n}n=k∑∞xn+i=t=k+i∑∞xt=n=k+i∑∞xn

kk\,k阶导的等价下标变换

22\,2阶导：
(∑n=0∞xn)′′=(∑n=1∞xn)′′=(∑n=2∞xn)′′\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^n\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}1}^\infty x^n\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}2}^\infty x^n\bigg)''(n=0∑∞xn)′′=(n=1∑∞xn)′′=(n=2∑∞xn)′′

kk\,k阶导：
(∑n=0∞xn)(k)=(∑n=1∞xn)(k)=...=(∑n=k∞xn)(k)\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^n\bigg)^{(k)}=\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}1}^\infty x^n\bigg)^{(k)}=...=\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}k}^\infty x^n\bigg)^{(k)}(n=0∑∞xn)(k)=(n=1∑∞xn)(k)=...=(n=k∑∞xn)(k)

拆项和补项

在计算过程中，适当的拆项或补项可能减少很大的计算量.
∑n=0∞xn=1+∑n=1∞xn=1+x+∑n=2∞xn=....=1+x+...+xk−1+∑n=k∞xn\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{n}=1+\sum\limits_{n=\color{Blue}1}^\infty x^{n}=1+x+\sum\limits_{n=\color{Blue}2}^\infty x^{n}=....=1+x+...+x^{k-1}+\sum\limits_{n=\color{Blue}k}^\infty x^{n}n=0∑∞xn=1+n=1∑∞xn=1+x+n=2∑∞xn=....=1+x+...+xk−1+n=k∑∞xn

∑n=k∞xn=∑n=k−1∞xn−xk−1=...=∑n=1∞xn−xk−1−xk−2−...−x=∑n=0∞xn−xk−1−xk−2...−1\sum\limits_{n=\color{Blue}k}^\infty x^{n}=\sum\limits_{n=\color{Blue}k-1}^\infty x^{n}-x^{k-1}=...=\sum\limits_{n=\color{Blue}1}^\infty x^{n}-x^{k-1}-x^{k-2}-...-x=\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{n}-x^{k-1}-x^{k-2}...-1n=k∑∞xn=n=k−1∑∞xn−xk−1=...=n=1∑∞xn−xk−1−xk−2−...−x=n=0∑∞xn−xk−1−xk−2...−1

综合运用

考虑将下面的两个级数之和整理为一个级数表示：
I=∑n=0∞(−1)nx2n2n+1+∑n=0∞(−1)nx2n+22n+1I=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n+1}+\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}I=n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+2

对两个级数分别进行拆项和下标变换：
I=1+∑n=1∞(−1)nx2n2n+1+∑n=1∞(−1)n−1x2n2n−1=1+2∑n=1∞(−1)n1−4n2x2nI=1+\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n+1}+\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n-1}=1+2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{1-4n^2}x^{2n}I=1+n=1∑∞(−1)n2n+1x2n+n=1∑∞(−1)n−12n−1x2n=1+2n=1∑∞1−4n2(−1)nx2n

4 函数的幂级数展开

设函数f(x)\,f(x)\,f(x)在x=x0\,x=x_0\,x=x0的邻域内任意阶可到，则f(x)\,f(x)\,f(x)在x=x0\,x=x_0\,x=x0可以展开成幂级数为：

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nf(x)=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n

称∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\,\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\,n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n为f(x)\,f(x)\,f(x)的泰勒级数.

特别地，若x0=0\,x_0=0x0=0，称∑n=0∞f(n)(0)n!xn\,\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\,n=0∑∞n!f(n)(0)xn为f(x)\,f(x)\,f(x)的麦克劳林级数.

注意：泰勒级数和泰勒展开式不是同一个概念. 泰勒级数额外带有级数的性质 (比如余项的极限为0\,0\,0).

基本思路：

(1) 展开方法：直接展开法、间接展开法.

(2) 工具：
a) 常见函数的麦克劳林级数.
b) 幂级数的运算(四则运算、逐项求导、逐项积分)及变量代换等.

(3) 过程：
a) 根据类型进行展开；
b) 确定收敛区间；
c) 讨论端点敛散性，确定最终收敛域；

注意：任何情况最后都要讨论端点的敛散性！ (除非端点不在定义域内).

(一) 常见函数的麦克劳林级数

以下麦克劳林级数需要熟练记忆：
ex=∑n=0∞xnn!(−∞<x<+∞)e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)ex=n=0∑∞n!xn(−∞<x<+∞)11−x=∑n=0∞xn(−1<x<1)\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\;\;\;\color{Blue}(-1 < x < 1)1−x1=n=0∑∞xn(−1<x<1)11+x=∑n=0∞(−1)nxn(−1<x<1)\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^n\;\;\;\color{Blue}(-1 < x < 1)1+x1=n=0∑∞(−1)nxn(−1<x<1)sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!(−∞<x<+∞)\text{sin}x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)sinx=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1(−∞<x<+∞)cosx=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!(−∞<x<+∞)\text{cos}x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n(−∞<x<+∞)ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn(−1<x⩽1)\text{ln}(1+x)=\sum\limits_{\color{Blue}n=1}^\infty(-1)^{\color{Red}{n-1}}\frac{x^n}{n}\;\;\;\color{Blue}(-1 < x \leqslant 1)ln(1+x)=n=1∑∞(−1)n−1nxn(−1<x⩽1)−ln(1−x)=∑n=1∞xnn(−1⩽x<1)-\text{ln}(1-x)=\sum\limits_{\color{Blue}n=1}^\infty\frac{x^n}{n}\;\;\;\color{Blue}(-1 \leqslant x < 1)−ln(1−x)=n=1∑∞nxn(−1⩽x<1)arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1(−1⩽x⩽1)\text{arctan}x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\;\;\;\color{Blue}(-1 \leqslant x \leqslant 1)arctanx=n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+1(−1⩽x⩽1)(1+x)a=∑n=0∞a⋅(a−1)...(a−n+1)n!xn(只考−1<x<1,a∈R)(1+x)^a=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a\cdot(a-1)...(a-n+1)}{n!}\,x^{n}\;\;\;(只考\,{\color{Blue}{-1< x < 1}},\,a\in \mathbb{R})(1+x)a=n=0∑∞n!a⋅(a−1)...(a−n+1)xn(只考−1<x<1,a∈R)ax=exlna=∑n=0∞(lna)nxnn!(−∞<x<+∞)a^x=e^{x\text{ln}a}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(\text{ln}a)^nx^n}{n!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)ax=exlna=n=0∑∞n!(lna)nxn(−∞<x<+∞)

注意：以防考场忘记，下面再给出一些记忆线索，但必须在熟记上面级数的基础上.
(1) exe^xex：麦克劳林一般公式所有导数部分(包括f(0)\,f(0)f(0))都取1\,1\,1可得.
(2) 11−x\frac{1}{1-x}1−x1：1\,1\,1减首项分之公比 (无穷等比数列的求和).
(3) 11+x\frac{1}{1+x}1+x1：替换11−x\,\frac{1}{1-x}\,1−x1级数中的x\,x\,x为−x\,-x−x.
(4) sinx\text{sin}xsinx：都是奇数项，正负交替，结合sinx∼x(x→0)\,\text{sin}x\sim x\,(x\to 0)\,sinx∼x(x→0)记忆.
(5) cosx\text{cos}xcosx：都是偶数项，正负交替，结合cosx∼1−12x2(x→0)\,\text{cos}x\sim 1-\frac{1}{2}x^2\,(x\to 0)\,cosx∼1−21x2(x→0)记忆.
(6) ln(1+x)\text{ln}(1+x)ln(1+x)：ln(1+x)′=11+x\text{ln}(1+x)'=\frac{1}{1+x}ln(1+x)′=1+x1，所以对11+x\,\frac{1}{1+x}\,1+x1每项求积分即得.
(7) −ln(1−x)-\text{ln}(1-x)−ln(1−x)：与ex\,e^x\,ex麦克劳林公式的差距只是分母没有阶乘.
(8) arctanx\text{arctan}xarctanx：(arctanx)′=11+x2(\text{arctan}x)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21，利用11+x\,\frac{1}{1+x}\,1+x1可求. 与sinx\text{sin}x\,sinx麦克劳林公式的差距只是分母没有阶乘.
(9) 关于收敛域：
exe^xex、 sinx\text{sin}xsinx、 cosx\text{cos}x\,cosx、axa^x\,ax收敛域都是(−∞,+∞)\,(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)；
11−x\frac{1}{1-x}1−x1、 11+x\frac{1}{1+x}\,1+x1收敛域都是(−1,1)\,(-1,1)(−1,1)；
ln(1+x)\text{ln}(1+x)\,ln(1+x)是(−1,1]\,(-1,1]\,(−1,1]、 −ln(1−x)-\text{ln}(1-x)\,−ln(1−x)是[−1,1)\,[-1,1)[−1,1)；
arctanx\text{arctan}x\,arctanx是[−1,1]\,[-1,1][−1,1]；
(10) ln(1+x)\text{ln}(1+x)ln(1+x)、−ln(1−x)-\text{ln}(1-x)\,−ln(1−x)级数从n=1\,n=1\,n=1开始.
(11) ln(1+x)\text{ln}(1+x)\,ln(1+x)是(−1)n−1\,(-1)^{n-1}(−1)n−1.

(二) 直接展开法 (不常用)

步骤：
以下面的f(x)\,f(x)\,f(x)为例，将其展开为x\,x\,x的幂级数，mm\,m为任意常数：
f(x)=(1+x)mf(x)=(1+x)^mf(x)=(1+x)m

step 1：求f(x)\,f(x)\,f(x)的各阶导数在x=0\,x=0\,x=0的值.

f(0)=1,f′(0)=m,f′′(0)=m(m−1),...,f(n)(0)=m(m−1)...(m−n+1)f(0)=1,\,f'(0)=m,\,f''(0)=m(m-1),...,f^{(n)}(0)=m(m-1)...(m-n+1)f(0)=1,f′(0)=m,f′′(0)=m(m−1),...,f(n)(0)=m(m−1)...(m−n+1)

step 2：写出f(x)\,f(x)\,f(x)的麦克劳林级数，并求出收敛半径R\,RR.

f(x)=1+mx+m(m−1)2!x2+...+m(m−1)...(m−n+1)n!xn+...f(x)=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+...+\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n+...f(x)=1+mx+2!m(m−1)x2+...+n!m(m−1)...(m−n+1)xn+...

1R=lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣m−nn+1∣=1⇒R=1\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{m-n}{n+1}\bigg|=1\Rightarrow R=1R1=n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=n→∞lim∣∣∣∣n+1m−n∣∣∣∣=1⇒R=1

step 3：判断在(−R,R)\,(-R,R)\,(−R,R)内lim⁡n→∞Rn(x)\,\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)\,n→∞limRn(x)是否为0\,00.

显然，lim⁡n→∞Rn(x)=0\,\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)=0n→∞limRn(x)=0. 故f(x)\,f(x)\,f(x)展开式为：
f(x)=1+mx+m(m−1)2!x2+...+m(m−1)...(m−n+1)n!xn+...(−1<x<1)f(x)=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+...+\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n+...\;(-1<x<1)f(x)=1+mx+2!m(m−1)x2+...+n!m(m−1)...(m−n+1)xn+...(−1<x<1)

step 4：讨论端点的敛散性.
其中x=±1\,x=\pm1\,x=±1的敛散性与m\,m\,m有关.

(三) 间接展开法

间接展开法就是利用已知的函数展开式和幂级数，将函数展开成幂级数. 应当重点掌握.

(1) 有理分式： f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)

思路：对有理分式进行拆解，然后通过对每一个拆解项变形，套用11−x\,\color{Blue}\frac{1}{1-x}\,1−x1或11+x\,\color{Blue}\frac{1}{1+x}\,1+x1这两个麦克劳林级数展开.

关于如何拆解：
(1) f(x)f(x)\,f(x)为假分式：
f(x)=多项式+真分式f(x)=多项式+真分式f(x)=多项式+真分式

(2) f(x)f(x)\,f(x)为真分式
f(x)=分子不变因式分解=(拆分成的)部分和f(x)=\frac{分子不变}{因式分解}=(拆分成的)部分和f(x)=因式分解分子不变=(拆分成的)部分和

详细拆法在积分学有理函数不定积分部分已有详细总结，不再赘述.

步骤：
以下面的f(x)\,f(x)\,f(x)为例，将其展开为(x−4)\,(x-4)\,(x−4)的幂级数：
f(x)=1x2−3x+2f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}f(x)=x2−3x+21

step 1：对P(x)\,P(x)\,P(x)因式分解，拆解f(x)\,f(x)f(x).
f(x)=1x2−3x+2=1x−2−1x−1f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}f(x)=x2−3x+21=x−21−x−11

step 2：根据展开要求，对每一个拆解项进行变形，方便套用11−x\,\frac{1}{1-x}\,1−x1或11+x\,\frac{1}{1+x}\,1+x1级数.
1x−2=12+(x−4)=12⋅11+x−42=12∑n=0∞(−1)n(x−42)n=∑n=0∞(−1)n2n+1(x−4)n\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2+(x-4)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-4}{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(\frac{x-4}{2})^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-4)^nx−21=2+(x−4)1=21⋅1+2x−41=21n=0∑∞(−1)n(2x−4)n=n=0∑∞2n+1(−1)n(x−4)n

step 3：确定收敛区间，范围从使用麦克劳林级数的地方开始确定，最终是收敛区间与定义域的交集.
−1<x−42<1⇒2<x<6-1<\frac{x-4}{2}<1\Rightarrow 2<x<6−1<2x−4<1⇒2<x<6

step 4：合并各拆解项结果得到最终展开式，收敛区间取交集.

step 5：讨论端点处的敛散性.
当x=2\,x=2\,x=2时，
∑n=0∞(−1)n2n+1(2−4)n=∑n=0∞12=∞\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(2-4)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2}=\inftyn=0∑∞2n+1(−1)n(2−4)n=n=0∑∞21=∞

当x=−2\,x=-2\,x=−2时，
∑n=0∞(−1)n2n+1(−2−4)n=∑n=0∞3n2=∞\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(-2-4)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{3^n}{2}=\inftyn=0∑∞2n+1(−1)n(−2−4)n=n=0∑∞23n=∞

注意：
(1) 级数中有限次的x\,x\,x可以随意出入求和符号，比如展开f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^2}f(x)=1+x2x，就可以先展开11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21，最后再乘以一个x\,xx，因为：
∑n=0∞(−1)nx2n+1=x∑n=0∞(−1)nx2n\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n+1}=x\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}n=0∑∞(−1)nx2n+1=xn=0∑∞(−1)nx2n

又比如：
(2) 之后的几种方法除拆分思路有差异外，其余步骤大同小异，故后面都简略表述.

(2) 对数：lnP(x)\text{ln}P(x)lnP(x)

思路：对ln\,\text{ln}\,ln内部的多项式P(x)\,P(x)\,P(x)进行因式分解，利用对数性质拆解为若干ln\,\text{ln}\,ln项，套用ln(1+x)\,\color{Blue}\text{ln}(1+x)\,ln(1+x)或−ln(1−x)\,\color{Blue}-\text{ln}(1-x)\,−ln(1−x)这两个麦克劳林级数展开.

拆解方法：
ln(a+bx)(c+dx)=ln(a+bx)+ln(c+dx)=lna+ln(1+bax)+lnc+ln(1+dcx)\text{ln}(a+bx)(c+dx)=\text{ln}(a+bx)+\text{ln}(c+dx)=\text{ln}a+\text{ln}(1+\frac{b}{a}x)+\text{ln}c+\text{ln}(1+\frac{d}{c}x)ln(a+bx)(c+dx)=ln(a+bx)+ln(c+dx)=lna+ln(1+abx)+lnc+ln(1+cdx)

注意拆解的符号问题：
f(x)=lnP(x)=ln∣P1(x)∣+ln∣P2(x)∣f(x)=\text{ln}P(x)=\text{ln}|P_1(x)|+\text{ln}|P_2(x)|f(x)=lnP(x)=ln∣P1(x)∣+ln∣P2(x)∣

代入x=0\,\color{Blue}x=0\,x=0点可以判断P1(x)\,P_1(x)P1(x)、P2(x)P_2(x)\,P2(x)正负，从而去掉绝对值 (因为展开成∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\,n=0∑∞anxn的级数x=0\,x=0\,x=0总在收敛域内).

步骤：
以下面的f(x)\,f(x)\,f(x)为例，将其展开为x\,x\,x的幂级数：
f(x)=ln(1−3x+2x2)f(x)=\text{ln}(1-3x+2x^2)f(x)=ln(1−3x+2x2)

step 1：对P(x)\,P(x)\,P(x)因式分解，拆解f(x)\,f(x)f(x)，去绝对值.
f(x)=ln(1−3x+2x2)=ln(2x−1)(x−1)=ln∣2x−1∣+ln∣x−1∣f(x)=\text{ln}(1-3x+2x^2)=\text{ln}(2x-1)(x-1)=\text{ln}|2x-1|+\text{ln}|x-1|f(x)=ln(1−3x+2x2)=ln(2x−1)(x−1)=ln∣2x−1∣+ln∣x−1∣x=0⇒(2x−1)<0，(x−1)<0⇒f(x)=ln(1−2x)+ln(1−x)x=0\Rightarrow (2x-1)<0，(x-1)<0\Rightarrow f(x)=\text{ln}(1-2x)+\text{ln}(1-x)x=0⇒(2x−1)<0，(x−1)<0⇒f(x)=ln(1−2x)+ln(1−x)

step 2：根据展开要求，对每一个拆解项进行变形，方便套用ln(1+x)\,\text{ln}(1+x)\,ln(1+x)或−ln(1−x)\,-\text{ln}(1-x)\,−ln(1−x)这两个级数.
ln(1−2x)=∑n=1∞(−1)n−1(−2x)nn=−∑n=1∞2nn⋅xn\text{ln}(1-2x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-2x)^n}{n}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n}\cdot x^nln(1−2x)=n=1∑∞(−1)n−1n(−2x)n=−n=1∑∞n2n⋅xn

step 3：确定收敛区间并讨论端点敛散性.
−1<−2x⩽1⇒−12⩽x<12-1<-2x\leqslant1\Rightarrow -\frac{1}{2}\leqslant x<\frac{1}{2}−1<−2x⩽1⇒−21⩽x<21x=−12,...x=-\frac{1}{2},...x=−21,...

(3) 三角函数：cosP(x)\text{cos}P(x)cosP(x)、sinP(x)\text{sin}P(x)sinP(x)

思路：根据sinP(x)\,\text{sin}P(x)\,sinP(x)或cosP(x)\,\text{cos}P(x)\,cosP(x)中P(x)\,P(x)\,P(x)的特点，使用三角函数公式拆解，套用sinx\,\color{Blue}\text{sin}x\,sinx、cosx\color{Blue}\text{cos}x\,cosx级数.

三角函数公式：

下面列举需要记忆的三角函数公式，在拆解是可能需要用到：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\text{sin}(\alpha+\beta)=\text{sin}\alpha\,\text{cos}\beta+\text{cos}\alpha\,\text{sin}\betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ\text{sin}(\alpha-\beta)=\text{sin}\alpha\,\text{cos}\beta-\text{cos}\alpha\,\text{sin}\betasin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ\text{cos}(\alpha+\beta)=\text{cos}\alpha\,\text{cos}\beta-\text{sin}\alpha\,\text{sin}\betacos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ\text{cos}(\alpha-\beta)=\text{cos}\alpha\,\text{cos}\beta+\text{sin}\alpha\,\text{sin}\betacos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ\text{tan}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tan}\alpha+\text{tan}\beta}{1-\text{tan}\alpha\,\text{tan}\beta}tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβtan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ\text{tan}(\alpha-\beta)=\frac{\text{tan}\alpha-\text{tan}\beta}{1+\text{tan}\alpha\,\text{tan}\beta}tan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβsinαcosβ=sin(α+β)+sin(α−β)2\text{sin}\alpha\,\text{cos}\beta=\frac{\text{sin}(\alpha+\beta)+\text{sin}(\alpha-\beta)}{2}sinαcosβ=2sin(α+β)+sin(α−β)cosαsinβ=sin(α+β)−sin(α−β)2\text{cos}\alpha\,\text{sin}\beta=\frac{\text{sin}(\alpha+\beta)-\text{sin}(\alpha-\beta)}{2}cosαsinβ=2sin(α+β)−sin(α−β)cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α−β)2\text{cos}\alpha\,\text{cos}\beta=\frac{\text{cos}(\alpha+\beta)+\text{cos}(\alpha-\beta)}{2}cosαcosβ=2cos(α+β)+cos(α−β)sinαsinβ=cos(α+β)−cos(α−β)−2\text{sin}\alpha\,\text{sin}\beta=\frac{\text{cos}(\alpha+\beta)-\text{cos}(\alpha-\beta)}{-2}sinαsinβ=−2cos(α+β)−cos(α−β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα−β2\text{sin}\alpha+\text{sin}\beta=2\,\text{sin}\frac{\alpha+\beta}{2}\,\text{cos}\frac{\alpha-\beta}{2}sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−βsinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2\text{sin}\alpha-\text{sin}\beta=2\,\text{cos}\frac{\alpha+\beta}{2}\,\text{sin}\frac{\alpha-\beta}{2}sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−βcosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2\text{cos}\alpha+\text{cos}\beta=2\,\text{cos}\frac{\alpha+\beta}{2}\,\text{cos}\frac{\alpha-\beta}{2}cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2\text{cos}\alpha-\text{cos}\beta=-2\,\text{sin}\frac{\alpha+\beta}{2}\,\text{sin}\frac{\alpha-\beta}{2}cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β

步骤：
以下面的f(x)\,f(x)\,f(x)为例，将其展开为(x+π3)\,(x+\frac{\pi}{3})\,(x+3π)的幂级数：
f(x)=cosxf(x)=\text{cos}xf(x)=cosx

step 1：根据展开要求，对P(x)\,P(x)\,P(x)使用三角函数公式进行变形，拆解f(x)\,f(x)f(x).
f(x)=cos(x+π3−π3)=cos(x+π3)cosπ3+sin(x+π3)sinπ3=12cos(x+π3)+32sin(x+π3)f(x)=\text{cos}(x+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})=\text{cos}(x+\frac{\pi}{3})\text{cos}\frac{\pi}{3}+\text{sin}(x+\frac{\pi}{3})\text{sin}\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\,\text{cos}(x+\frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\text{sin}(x+\frac{\pi}{3})f(x)=cos(x+3π−3π)=cos(x+3π)cos3π+sin(x+3π)sin3π=21cos(x+3π)+23sin(x+3π)

step 2：套用sinx\,\color{Blue}\text{sin}x\,sinx或cosx\,\color{Blue}\text{cos}x\,cosx这两个级数.
f(x)=12∑n=0∞(−1)n1(2n)!(x+π3)2n+32∑n=0∞(−1)n1(2n+1)!(x+π3)2n+1f(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}(x+\frac{\pi}{3})^{2n}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}(x+\frac{\pi}{3})^{2n+1}f(x)=21n=0∑∞(−1)n(2n)!1(x+3π)2n+23n=0∑∞(−1)n(2n+1)!1(x+3π)2n+1

step 3：确定收敛区间并讨论端点敛散性.
−∞<x<+∞-\infty<x<+\infty−∞<x<+∞

(4) 先求积分再求导

有的f(x)\,f(x)\,f(x)不能通过变形直接套公式展开，可以考虑先求积分再求导.

思路：先对f(x)\,f(x)\,f(x)求积分得到F(x)\,F(x)F(x)，展开F(x)\,F(x)\,F(x)后再求导恢复.

步骤：
以下面的f(x)\,f(x)\,f(x)为例，将其展开为x\,x\,x的幂级数：
f(x)=1x2+2x+1f(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}f(x)=x2+2x+11

step 1：求f(x)\,f(x)\,f(x)不定积分.
f(x)=1(x+1)2f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}f(x)=(x+1)21∫1(x+1)2dx=−1x+1+C\int\frac{1}{(x+1)^2}\text{d}x=-\frac{1}{x+1}+C∫(x+1)21dx=−x+11+C

step 2：令g(x)\,g(x)\,g(x)为f(x)\,f(x)\,f(x)的一个原函数，对其展开.
令g(x)=−1x+1，g′(x)=f(x)令\,g(x)=-\frac{1}{x+1}，g'(x)=f(x)令g(x)=−x+11，g′(x)=f(x)g(x)=∑n=0∞(−1)n+1xng(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^ng(x)=n=0∑∞(−1)n+1xn

step 3：把展开后g(x)\,g(x)\,g(x)中的n=0\,n=0\,n=0项单独拆出来，再求导即得到f(x)\,f(x)\,f(x)展开.

g(x)=∑n=0∞(−1)n+1xn=−1+∑n=1∞(−1)n+1xng(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^n=-1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^ng(x)=n=0∑∞(−1)n+1xn=−1+n=1∑∞(−1)n+1xnf(x)=g′(x)=∑n=1∞(−1)n+1nxn−1=∑n=0∞(−1)n(n+1)xn(−1<x<1)f(x)=g'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}nx^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}\;(-1<x<1)f(x)=g′(x)=n=1∑∞(−1)n+1nxn−1=n=0∑∞(−1)n(n+1)xn(−1<x<1)

step 4：确定收敛区间并讨论端点敛散性.

注意：
(1) 之所以要把的n=0\,n=0\,n=0项拆出来，是因为如果不拆，直接按照求导公式求导，将会产生x−1\,x^{-1}x−1，而事实上n=0\,n=0\,n=0这项就等于−1\,-1−1，求导以后就是0\,00. 不管是幂级数展开，还是后面的求和函数，只要发现x0\,\color{Blue}x^0\,x0项的存在，就要小心.
(2) 注意到最后展开把xn−1\,x^{n-1}\,xn−1转化为题目要求的xn\,x^nxn，如果不能直接看出，建议写出前几项，然后找规律确定.

(5) 先求导再求积分

和先积分后求导类似.

思路：先对f(x)\,f(x)\,f(x)求导数得到f′(x)\,f'(x)f′(x)，展开f′(x)\,f'(x)\,f′(x)后再求积分恢复.

步骤：
以下面的f(x)\,f(x)\,f(x)为例，将其展开为x\,x\,x的幂级数：
f(x)=xarctanx−ln1+x2f(x)=x\text{arctan}x-\text{ln}\sqrt{1+x^2}f(x)=xarctanx−ln1+x2

step 1：求f′(x)\,f'(x)f′(x).
f′(x)=arctanx+x1+x2−12⋅2x1+x2=arctanxf'(x)=\text{arctan}x+\frac{x}{1+x^2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2}=\text{arctan}xf′(x)=arctanx+1+x2x−21⋅1+x22x=arctanx

step 2：对f′(x)\,f'(x)\,f′(x)展开.
f′(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1f'(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}f′(x)=n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+1

step 3：利用N.−L.\,N.-L.\,N.−L.恢复f(x)\,f(x)f(x)：
f(x)=f(0)+∫0xf′(x)dx=0+∑n=0∞(−1)n(2n+1)(2n+2)x2n+2=∑n=0∞(−1)n(2n+1)(2n+2)x2n+2f(x)={\color{Red}f(0)}+\int^x_0f'(x)\text{d}x=0+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}\,x^{2n+2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}\,x^{2n+2}f(x)=f(0)+∫0xf′(x)dx=0+n=0∑∞(2n+1)(2n+2)(−1)nx2n+2=n=0∑∞(2n+1)(2n+2)(−1)nx2n+2

step 4：确定收敛区间并讨论端点敛散性.
注意：
(1)不管是展开为幂级数还是后面求和函数，积分可以使用不定积分或N.−L.\,N.-L.\,N.−L.进行恢复，两种方法本质上都是一样的. 但是不定积分不要漏掉C\,CC，N.−L.N.-L.\,N.−L.不要漏掉f(0)\,f(0)f(0)！
(2) 之所以使用f(0)\,f(0)\,f(0)纯粹是为了好算. 特别注意并非所有题目f(0)\,f(0)\,f(0)都为0\,00，有的题目0\,0\,0甚至不在定义域里，就要换其他点计算.

(四) 已知f(x)\,f(x)\,f(x)，求f(n)(0)\,f^{(n)}(0)\,f(n)(0)

思路：
step 1：展开f(x)\,f(x)\,f(x)为幂级数.
step 2：按照下面的方法求得f(n)(0)\,f^{(n)}(0)f(n)(0).

方法：
f(x)=∑n=0∞an⋅xn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...f(x)=n=0∑∞an⋅xn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...

由麦克劳林公式：
an=f(n)(0)n!a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}an=n!f(n)(0)

所以，
f(n)(0)=an⋅n!\color{Blue}f^{(n)}(0)=a_n\cdot n!f(n)(0)=an⋅n!

因此求f(n)(0)\,f^{(n)}(0)f(n)(0)，实际上就是找展开级数中anxn\,a_nx^nanxn项的an\,a_nan.

(结合立方和公式) 例. 求下面f(x)\,f(x)\,f(x)的四阶导：f(4)(0)\,f^{(4)}(0)f(4)(0).
f(x)=1+x+x21−x+x2f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}f(x)=1−x+x21+x+x2

解：
f(x)=1+2x1−x+x2=1+2x(1+x)(1−x+x2)(1+x)=1+2x+2x21+x3f(x)=1+\frac{2x}{1-x+x^2}=1+\frac{2x(1+x)}{(1-x+x^2)(1+x)}=1+\frac{2x+2x^2}{1+x^3}f(x)=1+1−x+x22x=1+(1−x+x2)(1+x)2x(1+x)=1+1+x32x+2x2
=1+(2x+2x2)∑n=0∞(−1)nx3n=1+(2x+2x^2)\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n}=1+(2x+2x2)n=0∑∞(−1)nx3n

显然，只有当n=1\,n=1\,n=1时，有a4x4=2x⋅(−x3)=−2x4\,a_4x^4=2x\cdot(-x^3)=-2x^4a4x4=2x⋅(−x3)=−2x4，
所以f(4)(0)=a4⋅4!=−2⋅24=−48\,f^{(4)}(0)=a_4\cdot4!=-2\cdot24=-48\,f(4)(0)=a4⋅4!=−2⋅24=−48

注意：
(1) 若题目求的是f(kn)(0)\,f^{(kn)}(0)f(kn)(0)，或幂级数中是xkn\,x^{kn}xkn，代kn\,kn\,kn求即可.
(2) 若题目求的是f(n)(a)\,f^{(n)}(a)\,f(n)(a)，导数求x=a\,x=a\,x=a的即可.
(3) 若是f(x)\,f(x)\,f(x)是分段函数，注意需不需要讨论特殊点、n=0n=0\,n=0的情况.

5 求幂级数的和函数

和函数定义

在收敛域上，记s(x)=∑n=1∞un(x)\,s(x)=\sum\limits^\infty_{n=1}u_n(x)\,s(x)=n=1∑∞un(x)为∑n=1∞un(x)\,\sum\limits^\infty_{n=1}u_n(x)\,n=1∑∞un(x)的和函数.

幂级数的和函数

s(x)=∑n=0∞an(x−b)n=a0+a1(x−b)+a2(x−b)2+...，x∈I.s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n=a_0+a_1(x-b)+a_2(x-b)^2+...，x\in I.s(x)=n=0∑∞an(x−b)n=a0+a1(x−b)+a2(x−b)2+...，x∈I.

注意：
(1) II\,I代表收敛域.
(2) 当x=b\,x=b\,x=b时，如果代入∑n=0∞an(x−b)n\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n\,n=0∑∞an(x−b)n会出现00\,0^000. 但实际上代入展开表示的式子，s(b)=a0s(b)=a_0s(b)=a0，也就是常数项. 这是因为幂级数引入0\,0\,0次方只是为了表达x0=1\,x^0=1x0=1，表示某一项不与(x−b)k\,(x-b)^k(x−b)k，只是一种记号罢了. 如果不能理解，请把级数写成数串的形式，再代入.

求幂级数和函数的基本步骤

(1) 求出收敛域.
(2) 令s(x)=∑n=0∞(...)\,s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(...)\,s(x)=n=0∑∞(...)，如果计算过程中发现除0\,00，要计算单独计算该点.
(3) 对s(x)\,s(x)\,s(x)进行适当变形，套用常见麦克劳林级数，求得和函数.

几点说明

a) 求和函数的工具

(1) 常见函数的麦克劳林级数.
(2) 逐项求导性、逐项积分性.
(3) 微分方程.

b) 求和函数与展开为幂级数的关系

求幂级数的和函数，本质上是函数展开成幂级数的逆运算：
函数展开成幂级数：f(x)→∑n=0∞anxnf(x)\to\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^nf(x)→n=0∑∞anxn
求幂级数和函数：∑n=0∞anxn→s(x)\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\to s(x)n=0∑∞anxn→s(x)

c) 及时改变下标

这是求和函数非常重要的习惯.
在求和函数的过程中，对幂级数进行求导时(求积分不必考虑)，一定要及时地改变下标. 一旦发现某一项为0\,00，就应从下一项开始表示，比如：

(∑n=0∞xn)′=∑n=1∞nxn−1\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{n}\bigg)'=\sum\limits_{n=\color{Blue}1}^\infty nx^{n-1}(n=0∑∞xn)′=n=1∑∞nxn−1

这是因为求导后原本幂级数的常数项a0\,a_0\,a0变为了0\,0\,0，所以需要下一项开始. 如果不改变，即下面这种情况：
(∑n=0∞xn)′=∑n=0∞nxn−1\bigg(\sum\limits_{n=\color{Blue}0}^\infty x^{n}\bigg)'={\color{Red}\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}}(n=0∑∞xn)′=n=0∑∞nxn−1
第一项就成了x−1\,x^{-1}\,x−1，出现了负数次方，继续计算一定会出现问题.
原因就在于第一项原本是常数项，求导后就应该是0\,00，不能再用这种统一的形式表示.
再次强调，读者如果不能理解，请尝试把级数写成数串的形式理解.
除此以外，在拆项和约掉阶乘的过程中，也需要及时更新下标.
更多下标问题请看上文幂级数分析性质中的下标变换理论.

d) 导致s(x)\,s(x)\,s(x)分段的原因

1. (除x\,xx) 在对s(x)\,s(x)\,s(x)变形的过程中需要进行除以x\,x\,x(凑积分)的操作，所以要单独计算s(0)\,s(0)s(0).
2. (端点) s(x)s(x)\,s(x)要讨论完所有收敛域上的情况. 若端点是收敛的，完成变形后，一定要确定s(x)\,s(x)\,s(x)有没有覆盖到，若没有覆盖到，就要单独求.

(1) 先积分再求导

思路：如果可以看出级数是某个原函数的导数，或者通过乘以或除以有限个x\,x\,x达到如此效果，就需要考虑先积分再求导的方法.

以下面这个幂级数为例：
∑n=0∞(n+1)xn\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^nn=0∑∞(n+1)xn

(n+1)xn(n+1)x^{n}\,(n+1)xn显然可由xn+1\,x^{n+1}\,xn+1求导而得，考虑先积分在求导.
令s(x)=∑n=0∞(n+1)xn\,s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^ns(x)=n=0∑∞(n+1)xn，
收敛半径R=lim⁡n→∞∣n+2n+1∣=1\,R=\lim\limits_{n\to\infty}\big|\frac{n+2}{n+1}\big|=1R=n→∞lim∣∣n+1n+2∣∣=1，
显然x=±1\,x=\pm 1x=±1，级数发散，故收敛域为：(−1,1)(-1,\,1)(−1,1).

∫0xs(x)dx=∫0x(∑n=0∞(n+1)xn)dx=∑n=0∞∫0x(n+1)xndx=∑n=0∞xn+1=x1−x\int^x_0s(x)\text{d}x=\int_0^x\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n\bigg)\text{d}x=\sum\limits_{n=0}^\infty \int_0^x(n+1)x^n\text{d}x=\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}=\frac{x}{1-x}∫0xs(x)dx=∫0x(n=0∑∞(n+1)xn)dx=n=0∑∞∫0x(n+1)xndx=n=0∑∞xn+1=1−xx⇒s(x)=[∫0xs(x)dx]′=(x1−x)′=1(1−x)2\Rightarrow s(x)=\bigg[\int^x_0s(x)\text{d}x\bigg]'=\bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)'=\frac{1}{(1-x)^2}⇒s(x)=[∫0xs(x)dx]′=(1−xx)′=(1−x)21 熟练以后，可以简化上面的计算过程为：
∑n=0∞(n+1)xn=(∑n=0∞xn+1)′=(x1−x)′=1(1−x)2\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}\bigg)'=\bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)'=\frac{1}{(1-x)^2}n=0∑∞(n+1)xn=(n=0∑∞xn+1)′=(1−xx)′=(1−x)21

又比如级数是二阶导的形式：
∑n=0∞(n+1)(n+2)xn=(∑n=0∞xn+2)′′=(x21−x)′′=2(1−x)3\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}\bigg)''=\bigg(\frac{x^2}{1-x}\bigg)''=\frac{2}{(1-x)^3}n=0∑∞(n+1)(n+2)xn=(n=0∑∞xn+2)′′=(1−xx2)′′=(1−x)32

技巧：
可以发现，在计算∑n=0∞(n+1)(n+2)xn\,\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n\,n=0∑∞(n+1)(n+2)xn时，最后直接求(x21−x)′′\,(\frac{x^2}{1-x})''\,(1−xx2)′′的计算量是比较大的. 但如果熟悉下标变换理论(见幂级数分析性质)，就可以通过下面这种拆项的方式简化计算量：

(∑n=0∞xn+2)′′=(∑n=2∞xn)′′=(∑n=0∞xn−1−x)′′=(11−x−1−x)′′=[1(1−x)2−1]′=2(1−x)3\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=2}^\infty x^{n}\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}-1-x\bigg)''=\bigg(\frac{1}{1-x}-1-x\bigg)''=\bigg[\frac{1}{(1-x)^2}-1\bigg]'=\frac{2}{(1-x)^3}(n=0∑∞xn+2)′′=(n=2∑∞xn)′′=(n=0∑∞xn−1−x)′′=(1−x1−1−x)′′=[(1−x)21−1]′=(1−x)32

(2) 先求导再积分

思路：和先求积分再求导类似，如果可以看出级数是某个函数求导的结果，或者通过乘以或除以有限个x\,x\,x达到这样的效果，就要考虑先求导再积分的方法.

读者需要尤其熟悉幂函数的不定积分公式：
∫xadx=1a+1xa+1+C\int x^a\text{d}x=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C∫xadx=a+11xa+1+C

为了避免处理C\,CC，我们通常使用N.-L.\,\text{N.-L.}\,N.-L.(牛顿莱布尼茨公式) 完成计算 (不定积分公式也能计算)：

∫x0xxadx=1a+1xa+1∣x0x\int^x_{x_0} x^a\text{d}x=\frac{1}{a+1}x^{a+1}\bigg|^x_{x_0}∫x0xxadx=a+11xa+1∣∣∣∣x0x

此方法无非就是想要先对1a+1xa+1\,\frac{1}{a+1}x^{a+1}\,a+11xa+1求导得到xa\,x^a\,xa，
再套用麦克劳林级数求其和函数，最后再积分恢复至原级数的和函数.
所以首要任务就是凑出1a+1xa+1\,\frac{1}{a+1}x^{a+1}a+11xa+1.

以下面这个幂级数为例：
∑n=0∞1(n+1)xn\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)}x^nn=0∑∞(n+1)1xn

显然，如果1(n+1)xn\,\frac{1}{(n+1)}x^n\,(n+1)1xn再乘一个x\,x\,x，就能考虑先积分再求导的方法了.
令s(x)=∑n=0∞1(n+1)xn\,s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)}x^ns(x)=n=0∑∞(n+1)1xn，
收敛半径R=lim⁡n→∞∣n+1n+2∣=1\,R=\lim\limits_{n\to\infty}\big|\frac{n+1}{n+2}\big|=1R=n→∞lim∣∣n+2n+1∣∣=1，s(0)=1\color{Red}s(0)=1s(0)=1 当x=1\,x=1\,x=1时，级数发散；当x=−1\,x=-1\,x=−1时，级数收敛. 故级数收敛域为：[−1,1)[-1,\,1)[−1,1). 令：
f(x)=xs(x)=∑n=0∞1(n+1)xn+1=∑n=0∞1(n+1)xn+1=∫0x∑n=0∞xndx=∫0x11−xdxf(x)=xs(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)}x^{n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)}x^{n+1}=\int^x_0\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\text{d}x=\int^x_0\frac{1}{1-x}\text{d}xf(x)=xs(x)=n=0∑∞(n+1)1xn+1=n=0∑∞(n+1)1xn+1=∫0xn=0∑∞xndx=∫0x1−x1dxf′(x)=11−xf'(x)=\frac{1}{1-x}f′(x)=1−x1f(x)=f(0)+∫0xf′(x)dx=−ln(1−x)f(x)={\color{Red}f(0)}+\int^x_0f'(x)\text{d}x=-\text{ln}(1-x)f(x)=f(0)+∫0xf′(x)dx=−ln(1−x)s(x)={−ln(1−x)x,x∈[−1,0)∪(0,1)0,x=0s(x)=\begin{cases}-\frac{\text{ln}(1-x)}{x},&x\in[-1,0)\cup(0,1)\\0,&x=0\end{cases}s(x)={−xln(1−x),0,x∈[−1,0)∪(0,1)x=0

熟练以后，可以不必引入f(x)\,f(x)\,f(x)：
当x≠0\,x\neq 0\,x=0时，
s(x)=∑n=0∞1(n+1)xn=1x∑n=0∞1n+1xn+1s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)}x^n=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}x^{n+1}s(x)=n=0∑∞(n+1)1xn=x1n=0∑∞n+11xn+1=1x∫0x∑n=0∞xndx=1x∫0x11−xdx=−ln(1−x)x=\frac{1}{x}\int^x_0\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\text{d}x=\frac{1}{x}\int^x_0\frac{1}{1-x}\text{d}x=-\frac{\text{ln}(1-x)}{x}=x1∫0xn=0∑∞xndx=x1∫0x1−x1dx=−xln(1−x)

注意：
(1) 之所以要单独求s(0)\,s(0)\,s(0)是因为后面有除x\,x\,x的操作. s(0)s(0)\,s(0)不一定是0\,00，最保险求法是把级数前几项写出来代入.
(2) 使用N.-L.\,\text{N.-L.}\,N.-L.计算不要忘记计算f(x0)\,f(x_0)f(x0) (此题x0=0\,x_0=0x0=0)，并非所有题目都是f(0)=0\,f(0)=0f(0)=0.

(3) ∑n=0∞P(n)xn\sum\limits_{n=0}^\infty P(n)x^nn=0∑∞P(n)xn

思路：将幂级数转化为：
∑n=0∞xn=11−x(−1<x<1)\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\;(-1<x<1)n=0∑∞xn=1−x1(−1<x<1)∑n=0∞(−1)nxn=11+x(−1<x<1)\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac{1}{1+x}\;(-1<x<1)n=0∑∞(−1)nxn=1+x1(−1<x<1)

例：求下面的级数的和函数：
∑n=0∞(n2+4n+3)xn\sum\limits_{n=0}^\infty (n^2+4n+3)x^nn=0∑∞(n2+4n+3)xn

解：
显然，收敛半径R=1\,R=1R=1.
当x=±1\,x=\pm1\,x=±1时，级数发散，故收敛域为：(−1,1)(-1,1)(−1,1).
令s(x)=∑n=0∞(n2+4n+3)xn=∑n=0∞(n+1)(n+3)xn=∑n=0∞(n+1)(n+2)xn+∑n=0∞(n+1)xn令\,s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (n^2+4n+3)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+3)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n+\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n令s(x)=n=0∑∞(n2+4n+3)xn=n=0∑∞(n+1)(n+3)xn=n=0∑∞(n+1)(n+2)xn+n=0∑∞(n+1)xn

其中，
∑n=0∞(n+1)(n+2)xn=(∑n=0∞xn+2)′′=(∑n=2∞xn)′′=(∑n=0∞xn−1−x)′′=2(1−x)3\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=2}^\infty x^{n}\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}-1-x\bigg)''=\frac{2}{(1-x)^3}n=0∑∞(n+1)(n+2)xn=(n=0∑∞xn+2)′′=(n=2∑∞xn)′′=(n=0∑∞xn−1−x)′′=(1−x)32∑n=0∞(n+1)xn=(∑n=0∞xn+1)′=(x1−x)′=1(1−x)2\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}\bigg)'=\bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)'=\frac{1}{(1-x)^2}n=0∑∞(n+1)xn=(n=0∑∞xn+1)′=(1−xx)′=(1−x)21

所以，
s(x)=3−x(1−x)3s(x)=\frac{3-x}{(1-x)^3}s(x)=(1−x)33−x

注意：
(1) 记住下面这个转换，用得非常频繁，即 “11\,1减公比分之首项”：
∑n=k∞xn+C=xk+C1−x\sum\limits_{n=k}^\infty x^{n+C}=\frac{x^{k+C}}{1-x}n=k∑∞xn+C=1−xxk+C

(2) P(x)P(x)\,P(x)中若出现an\,a^n\,an作为系数，建议留到最后再处理，不要提前代换. 比如：

∑n=0∞n3nxn=x∑n=0∞n3nxn−1=x(∑n=0∞3nxn)′=x(11−3x)′\sum\limits_{n=0}^\infty n3^nx^n=x\sum\limits_{n=0}^\infty n3^nx^{n-1}=x\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty3^nx^n\bigg)'=x\bigg(\frac{1}{1-3x}\bigg)'n=0∑∞n3nxn=xn=0∑∞n3nxn−1=x(n=0∑∞3nxn)′=x(1−3x1)′

(3) 遇到n2\,n^2\,n2的拆解方法：
∑n=0∞n2xn=∑n=0∞[n(n−1)+n]xn\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty[n(n-1)+n]x^nn=0∑∞n2xn=n=0∑∞[n(n−1)+n]xn

(4) 遇到复杂的有理分式，先拆项再求.

(4) ∑n=0∞xnP(n)\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{P(n)}n=0∑∞P(n)xn

思路：将幂级数转化为
∑n=0∞(−1)n−1nxn=ln(1+x)(−1<x⩽1)\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=\text{ln}(1+x)\;(-1<x\leqslant1)n=0∑∞n(−1)n−1xn=ln(1+x)(−1<x⩽1)∑n=0∞xnn=−ln(1−x)(−1⩽x<1)\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=-\text{ln}{(1-x)}\;(-1\leqslant x<1)n=0∑∞nxn=−ln(1−x)(−1⩽x<1)

例：求下面的级数的和函数：
∑n=0∞1n(n+1)xn\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n(n+1)}x^nn=0∑∞n(n+1)1xn

解：
显然，收敛半径R=1\,R=1R=1.
当x=±1\,x=\pm1\,x=±1时，级数发散，故收敛域为：(−1,1)(-1,1)(−1,1).
令s(x)=∑n=0∞(n2+4n+3)xn=∑n=0∞(n+1)(n+3)xn=∑n=0∞(n+1)(n+2)xn+∑n=0∞(n+1)xn令\,s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (n^2+4n+3)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+3)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n+\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n令s(x)=n=0∑∞(n2+4n+3)xn=n=0∑∞(n+1)(n+3)xn=n=0∑∞(n+1)(n+2)xn+n=0∑∞(n+1)xn

其中，
∑n=0∞(n+1)(n+2)xn=(∑n=0∞xn+2)′′=(∑n=2∞xn)′′=(∑n=0∞xn−1−x)′′=2(1−x)3\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=2}^\infty x^{n}\bigg)''=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}-1-x\bigg)''=\frac{2}{(1-x)^3}n=0∑∞(n+1)(n+2)xn=(n=0∑∞xn+2)′′=(n=2∑∞xn)′′=(n=0∑∞xn−1−x)′′=(1−x)32

∑n=0∞(n+1)xn=(∑n=0∞xn+1)′=(x1−x)′=1(1−x)2\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\bigg(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}\bigg)'=\bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)'=\frac{1}{(1-x)^2}n=0∑∞(n+1)xn=(n=0∑∞xn+1)′=(1−xx)′=(1−x)21

所以，
s(x)=3−x(1−x)3s(x)=\frac{3-x}{(1-x)^3}s(x)=(1−x)33−x

(5) 级数中含阶乘

思路：考虑将幂级数转化为：

ex=∑n=0∞xnn!(−∞<x<+∞)e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)ex=n=0∑∞n!xn(−∞<x<+∞)sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!(−∞<x<+∞)\text{sin}x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)sinx=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1(−∞<x<+∞)cosx=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!(−∞<x<+∞)\text{cos}x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\;\;\;(-\infty < x < +\infty)cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n(−∞<x<+∞)(1+x)a=∑n=0∞a⋅(a−1)...(a−n+1)n!xn(−1<x<1,a∈R)(1+x)^a=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a\cdot(a-1)...(a-n+1)}{n!}\,x^{n}\;\;\;({\color{Blue}{-1< x < 1}},\,a\in \mathbb{R})(1+x)a=n=0∑∞n!a⋅(a−1)...(a−n+1)xn(−1<x<1,a∈R)

(6) ana_n\,an未知

特征：求幂级数∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^nn=0∑∞anxn，但题目并未直接给出幂级数的an\,a_nan.
思路：
(1) 若an\,a_n\,an可以解出，想尽办法解出.
(2) 若题目给出幂级数满足的微分方程，直接将∑n=0∞anxn\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\,n=0∑∞anxn代入方程.
(3) 若题目给出递推表达式，要考虑利用表达式构造微分方程.

例. (n+1)an+1=(n+12)an(n+1)a_{n+1}=(n+\frac{1}{2})a_n(n+1)an+1=(n+21)an，证明：当∣x∣<1\,|x|<1\,∣x∣<1时，下列幂级数收敛并求其和函数：
∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nn=0∑∞anxn

解：
显然，lim⁡n→∞∣an+1an∣=1⇒R=1⇒∣x∣<1\lim\limits_{n\to\infty}\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|=1\Rightarrow R=1\Rightarrow|x|<1\,n→∞lim∣∣anan+1∣∣=1⇒R=1⇒∣x∣<1时收敛，令：

s(x)=∑n=1∞anxns(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^ns(x)=n=1∑∞anxn

则
s′(x)=∑n=1∞nanxn−1=1+∑n=0∞(n+1)an+1xn=1+∑n=0∞(n+12)anxns'(x)=\sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1}=1+\sum^\infty_{n=0}(n+1)a_{n+1}x^{n}=1+\sum^\infty_{n=0}(n+\frac{1}{2})a_nx^{n}s′(x)=n=1∑∞nanxn−1=1+n=0∑∞(n+1)an+1xn=1+n=0∑∞(n+21)anxn=1+∑n=0∞nanxn+12∑n=0∞anxn=1+x∑n=0∞nanxn−1+12∑n=0∞anxn=1+xs′(x)+12s(x)=1+\sum^\infty_{n=0}na_nx^{n}+\frac{1}{2}\sum^\infty_{n=0}a_nx^{n}=1+x\sum^\infty_{n=0}na_nx^{n-1}+\frac{1}{2}\sum^\infty_{n=0}a_nx^{n}=1+xs'(x)+\frac{1}{2}s(x)=1+n=0∑∞nanxn+21n=0∑∞anxn=1+xn=0∑∞nanxn−1+21n=0∑∞anxn=1+xs′(x)+21s(x)

即
s′(x)−12(1−x)s(x)=11−x⇒s(x)=C1−x−2s'(x)-\frac{1}{2(1-x)}s(x)=\frac{1}{1-x}\Rightarrow s(x)=\frac{C}{\sqrt{1-x}}-2s′(x)−2(1−x)1s(x)=1−x1⇒s(x)=1−xC−2

因为s(0)=0\,s(0)=0s(0)=0，所以C=2\,C=2C=2，s(x)=21−x−2s(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x}}-2s(x)=1−x2−2.

(7) 构造微分方程反解和函数

对于难以使用麦克劳林公式求解和函数的幂级数，可以考虑能否通过构造微分方程求解.

例. 求下面幂级数的和函数：
∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!!=1−x22+x42⋅4−x62⋅4⋅6+...\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{2\cdot 4}-\frac{x^6}{2\cdot4\cdot6}+...n=0∑∞(−1)n(2n)!!x2n=1−2x2+2⋅4x4−2⋅4⋅6x6+...

解：令s(x)=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!!\,s(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!!}s(x)=n=0∑∞(−1)n(2n)!!x2n，
则
s′(x)=∑n=1∞(−1)nx2n−1(2n−2)!!=∑n=0∞(−1)n+1x2n+1(2n)!!=−x⋅s(x)s'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-2)!!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n)!!}=-x\cdot s(x)s′(x)=n=1∑∞(−1)n(2n−2)!!x2n−1=n=0∑∞(−1)n+1(2n)!!x2n+1=−x⋅s(x) 于是有：
{s′(x)+xs(x)=0s(0)=1⇒s(x)=e−12x2\begin{cases}s'(x)+xs(x)=0\\s(0)=1\end{cases}\Rightarrow s(x)=e^{-{\frac{1}{2}x^2}}{s′(x)+xs(x)=0s(0)=1⇒s(x)=e−21x2

高数考研归纳 - 级数 - 幂级数相关推荐

高数考研归纳 - 级数 - 常数项级数
点击此处查看高数其他板块总结文章目录记忆内容 1 基本概念 (1) 常数项级数 - ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞an (2) 部分和 - s ...
高数考研归纳 - 微分方程
点击此处查看高数其他板块总结文章目录 1 基本概念 2 一阶微分方程 (一) 可分离变量的微分方程 (二) 齐次微分方程 (三) 一阶齐次线性微分方程 (四) 一阶非齐次线性微分方程 (五) 伯努利 ...
高数考研归纳文章合集
文章目录写在前面文章链接微积分基础微分学积分学微积分应用无穷级数如何打印文章复习? 致谢写在前面以下链接都是我在考研复习过程中整理编写的文章. 主要结合汤家凤.张宇.心一学长等 ...
高数考研归纳 - 极限与连续
点击此处查看高数其他板块总结文章目录 Part 1 - 极限 1 无穷小比较 2 无穷大比较 3 无穷小的计算规则 4 等价无穷小 5 重要极限 6 几个重要不等式 7 洛必达法则 lim⁡x→x0 ...
高数考研归纳 - 微分学 - 一元微分学
点击此处查看高数其他板块总结文章目录 Part 1 导数与微分记忆内容 1 导数与微分的定义 2 基本公式 3 运算法则 4 求导方法 (一) 根据定义求导 (二) 显函数求导 (三) 隐函数求导 ...
高数考研归纳 - 微分学 - 中值定理
点击此处查看高数其他板块总结文章目录记忆内容 1 中值定理 (一) 费马引理 - F\mathrm{F}F (二) 罗尔定理 - R\mathrm{R}R (三) 拉格朗日中值定理 - L\mat ...
高数考研归纳 - 积分学 - 重积分
点击此处查看高数其他板块总结文章目录 Part 1 二重积分记忆内容 1 概念 (一) 二重积分的定义 (二) 重要关系 2 性质 (一) 可积条件 (二) 简单性质 (三) 重要性质不等关系 ...
高数考研归纳 - 微分学 - 多元微分学
点击此处查看高数其他板块总结文章目录 1 基本概念 (1) 极限 (2) 连续 (3) 增量 (4) 偏导数 (5) 连续可偏导 / 偏导数连续 (6) 全微分 (7) 连续性质三定理 2 连续.可 ...
济南计算机考研培训班,济南高数考研培训(考研要不要报考研班)
济南高数考研培训,今天小编要给大家重点讲解一下济南考研培训,济南考研培训引起了各行各业的注意,至于怎么去看待,小编先帮大家分析考研包括那些条件,考研要不要报考研班,考研的意义何在,考试时小心千万别大意 ...

高数考研归纳 - 级数 - 幂级数