高斯整数、高斯素数、费马平方和定理

前言

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高斯整数

a=x+y∗i(x,y∈Z)a = x+y*i\ \ (x,y\in Z)a=x+y∗i (x,y∈Z)，则 aaa 为高斯整数。
aaa 的范为 N(a)=∣a2∣=x2+y2N(a)=|a^2|=x^2+y^2N(a)=∣a2∣=x2+y2。
若存在高斯整数 yyy，使得 ay=1ay=1ay=1，则 aaa 为高斯整数中的乘法可逆元，yyy 为 aaa 的逆。
高斯整数 aaa 是可逆元的充要条件是 N(a)=1N(a)=1N(a)=1，高斯整数中只有 444 个可逆元，分别是 −1、1、i、−i-1、1、i、-i−1、1、i、−i 。
a、ba、ba、b 为高斯整数，a=bya=bya=by，则 aaa 和 bbb 等价，即 a=b、−b、ib、−iba=b、-b、ib、-iba=b、−b、ib、−ib 。

高斯素数

定义：设 ϕ\phiϕ 为高斯整数中的非零非可逆元，则 ϕ\phiϕ 为高斯素数。即 ϕ\phiϕ 的因子或者为可逆元，或者是与 ϕ\phiϕ 等价的高斯整数。
ϕ\phiϕ 为高斯整数，且 N(ϕ)=pN(\phi)=pN(ϕ)=p 为素数，则 ϕ\phiϕ 必定为高斯素数。
若 ϕ\phiϕ 为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。

高斯素数判断

高斯整数 a+bia+bia+bi 是素数，当且仅当：

a、ba、ba、b 中有一个是零，另一个数的绝对值是形如 4∗n+34*n+34∗n+3 的素数。
a、ba、ba、b 均不为零，而 a2+b2a^2+b^2a2+b2 为素数。

费马平方和定理

奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 444 除余 111，即 4∗n+14*n+14∗n+1。
例题：找出 [l,r][l,r][l,r] 中的素数 ttt，满足 t=a2+b2(a,b∈N∗)t=a^2+b^2\ \ (a,b\in N^{*})t=a2+b2 (a,b∈N∗)，输出这种素数总数。

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