原标题：费马小定理，我的理解

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费马小定理

若 p 是素数，则对任意正整数 n ，

都能被 p 整除。

[ p是英语 prime number(素数)的首字母 ；n是 number 的首字母 ] 。

(1) 比如说，对素数p=5和正整数n=2，有

30能被素数5整除。

(2) 还是对素数p=5，这里取n=3，则有

240能被素数5整除。

(3) 对素数p=3和正整数n=4，有

60能被素数3整除。

您可以继续，随便取素数 p 和正整数 n ，对费马小定理进行验证。建议以两种方式取值：一种是取定一个素数p，让n取更多的自然数；另一种是n先取定，让p取更多的素数。

下面给出费马小定理的严格证明。真的一点儿都不难，我们都可以看懂。

设p是素数。由二项式定理，有

若x取正整数n，则有

其中的二项式系数就是从p中取m的组合数：

上式中m小于等于p。

下面来看一下刚才得到的展开式：

它的右端一共有p+1项。除两头的两项外，中间p－1项的二项式系数中都有因子p。我们就来考虑这p－1项。它们的分母中都有m!，分别是1!，2!，3!，...，(p－1)! 。显然，不管是哪一项中的阶乘，其中的每个因子都小于素数p。所以，每一项中分子上的p 都不能被这一项分母中的因子约分掉。所以，这p－1项的系数中都有因子p，也就都能够被 p 整除。所以这p－1项的和也就可以被p整除：

(注意，我们特别把这个式子单独写出来，是因为后面我们要用到它。)

再来看刚才那个展开式：

把上式左右两端都减去(n+1)，得

我用大括号把上式中的各项进行分组，得到

若假设上式右边第一个中括号中的式子n^p－n能够被p整除，则由于上式右边第二个中括号中的式子我们前面已说过能被p整除，所以上式左边的式子 (n+1)^p－(n+1)也就能够被p整除。

这说明，对任意取定的素数p，若对正整数n，有n^p－n能够被p整除，则对(n+1)来说，有(n+1)^p－(n+1)也能够被p整除。

这让我想到了数学归纳法。于是我们只需证明对n=1，有n^p－n能被p整除。这是显然的，因为这时n^p－n=0，而0当然能被p整除。于是，根据数学归纳法，费马小定理得以证明。

我们下面特别说一说n=2的情况。这时的费马小定理成为：若p是素数，则2^p－2能被p整除。据某书上说，费马小定理n=2时的情况，早在公元前500年左右就被中国人所知晓。这本书非中国人所写，我看到的是中译本。不知作者所说是否有依据。据我所知，我们提到中国数学家的成就时，好象没有人提及这个与素数相关的发现。不知您是否了解一些。有关数学史，本文和本公众号一般很少涉及，因为我不是研究数学史的专家。不是某方面的专家，在这方面一张口很容易出错。但中国对世界数学的贡献确实是很大的。

下面说一说费马小定理的另一种形式：若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则

能够被p整除。 这个不难理解，因为

上式右端中两项相乘中的n不能被p整除，则另一项

必然能够被p整除。

费马小定理是说如果一个数是素数，则n^p－n能够被p整除。它的逆否命题同样成立：如果一个数不能整除n^p－n，则这个数不是素数(是合数)。我们知道一共有四种命题：原命题，逆命题，否命题和逆否命题。原命题成立，逆否命题一定成立。但逆命题和否命题不一定成立。很有可能你随便选择一个正整数，它能够被n^p－n整除，但它不是素数，而是合数。这就说明逆命题不成立。同样地，一个数不是素数，但它也可以被n^p－n整除。这说明否命题也是不成立的。

上面是用命题来说明费马小定理。我们还可以从集合的观点说明费马小定理：正整数集合可以划分成三个互不相交的集合的并集，第一个集合是素数集合，它的元素都可以整除n^p－n。第二个集合由无穷多的合数构成，它的每一个元素都不能整除n^p－n。第三个集合由无穷多的合数构成，但这些合数都能够整除n^p－n。

费马小定理可以用来发现一个数不是素数(而是合数)，如果这个数不能整除n^p－n。这就是所谓的费马素性检验。用费马小定理不能确定一个通过素性检验的数是否是素数，它的“功能”没有上一期所讲的帕斯卡三角形方法那么强。但帕斯卡三角形方法运算量巨大。费马素性检验的运算量就很少，但还需要想办法改进(已有人做到，这里不细说，太艰深了)。返回搜狐，查看更多

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