【费马小定理】判断素数

【知识点】

·费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（即a和p模p-1同余1）

·同余性质（仅作了解）：（1）对于同一个除数，两数的和（或差）于他们余数的和（或差）同余数。（2）对于同一个除数，两数的乘积与他们余数的乘积同余。（3）对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。（4）对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

【由费马小定理写代码判断素数】

思路：如果这个数n是素数，那么所有的数i都应该跟你互质从而满足费马小定理，但是要注意的是只举一个数i来检验是不对的，因为有可能i也是质数或者碰巧满足费马小定理罢了。

所以这里用到了“随机数 rand()”，举100个随机数来检验费马小定理，以此来大致保证正确性。

这里还用到一个知识点就是求快速幂，以下代码用到的快速幂结合位运算，就是之前矩阵二分快速幂用到的方法。

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long qmod(int a, int b, int p) {long long res = 1;long long term = a%p;while(b) {if(b&1){res = (res*term)%p;}term = (term*term)%p;b >>= 1;}return res;
}bool is_prime(long long n) {   int i;for(i = 0; i < 100; ++i) {if(qmod(1+rand()%(n-1),n-1, n) != 1)break;}if(i < 100)return false;elsereturn true;
}int main(void) {int n;while(cin >> n) {if(is_prime(n))cout << "yes" << endl;elsecout << "no" << endl;}return 0;
}

求快速幂还可以用“二分快速幂”，这里复习一下：

long long pow(long long x, long long y, long long n){  // 递归求a^(n-1)mod n的值if (y == 0)return 1;else {if (y % 2 == 0)return (pow(x, y / 2, n) % n*pow(x, y / 2, n) % n) % n;else return ((pow(x, y / 2, n) % n*pow(x, y / 2, n) % n) % n*x) % n;}
}

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