第二章：函数基本逼近（一）——插值逼近

第二章：函数基本逼近（一）——插值逼近
写在前面的话
知识点（重点）
- 拉格朗日插值公式
- Neville 插值公式
- 牛顿插值公式
- 拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式
- Hermite 插值
- 龙格现象
- 插值法小结
例题（重点）
- 拉格朗日插值
- 差商
- 埃尔米特插值
习题2
- 2.1 （重点）
- 2.2
- 2.3
- 2.4
- 2.5
- 2.6（重点）
- 2.7
- 2.8
- 2.9
- 2.10
- 2.11（重点）
- 2.12
- 2.13
- 2.14
- 2.15
- 2.16（重点）
- 2.17
- 2.18
- 2.19
- 2.20
- 2.21
- 2.22
- 2.23
- 2.24
- 2.25
- 2.26

写在前面的话

书籍：《数值计算方法》
作者：黄云清、舒适、陈艳萍、金继承、文立平、石钟慈编 / 科学出版社
本系列在于弄清考试重点，不在于深挖，供复习参考~主要的方式是通过写题来了解知识点。

知识点（重点）

拉格朗日插值公式

注意n+1个样本点，对应n次拉格朗日插值公式。

若一个n次代数多项式至少存在n+1个根，则它一定恒为0。这一点可证唯一性。

拉格朗日插值公式不具备承袭性，即不能利用原有计算结果，每当有一个新的样本点就需要重新计算。

Neville 插值公式

任意两个低次插值多项式线性组合得到高一次的插值多项式，简单来说就是存下低次拉格朗日插值公式的值，用于算高次的拉格朗日插值，也是一样，n+1个点对应n次。

牛顿插值公式

牛顿插值公式引入差商的概念。

拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式

Hermite 插值

Hermite 插值相较于拉格朗日插值法引入逼近函数导数这一点。具体可以看看下面的例题，书里没有直接的公式。

龙格现象

并不是说逼近的次数越高效果越好，在某些情况下反而会变差，这就是龙格现象。同时还要考虑误差的累计。

插值法小结

例题（重点）

拉格朗日插值

差商

埃尔米特插值

习题2

2.1 （重点）

带公式就行~

2.2

第1问中当k=1时就是我们常见的拉格朗日插值公式。当i=j时，克罗内克符号为1，反之为0，所以当带入1到n中的一个数时，其他的情况都会为0，只有那个数会存活下来~
第2问中用牛顿插值法，其中1阶均差步长为1，2阶均差步长为2。利用插值多项式的唯一性证明牛顿插值在f(x)为l0(x)l_0(x)l0(x)时是唯一的，且等于l0(x)l_0(x)l0(x)。

数值分析|牛顿插值|埃尔米特插值（突击速成，包含例题）

2.3

从题干中可以发现ϵ\epsilonϵ不见了，这说明在后面的过程中被当作趋于0的数了。题目又提到拉格朗日，这个p(x)一看就是拉格朗日公式推导过来的，只是中间这个导数需要通过变化得到。

2.4

这道题涉及到矩阵，和分段插值有关不是我们的重点。

2.5

拉格朗日虽然直观，但是需要重复计算。在计算机计算时，我每次来一个节点就得重新算一次，所以Neville插值公式出来了。每次增加一个节点，前面的计算工作均可利用。

答案有一个地方写错了，至于怎样是对的大家可以找规律~

2.6（重点）

带公式~注意阶数就行。

这题明显有问题，第一问应该是1，第二问才是0。根据上面的性质2.4就看得出来。

2.7

这题和前面的2.2很相似。

2.8

上三角表示前向，下三角表示反向，最后一个是中间开始。这题是前向，这题的证明没有答案，要证明也好证明，把上三角拆开写成后一项减前一项化简就好。

2.9

这题emmmmm感觉不会考吧，实在要证明套路也是一样的。

2.10

这题也比较容易看懂，两边分别看作两个函数，后面的可以被前一个利用来证明。

2.11（重点）

等距节点是考试的重点，前向啊，反向啊得清楚。前向是减后向是加，前向起始点是开头，后向起始点是结尾，不要搞反了。

2.12

两点三次的埃尔米特插值公式记住就行，然后带公式。
埃尔米特插值多项式（例题）Hermite

2.13

利用拉格朗日插值公式求解，分两种情况考虑a和b，把这两者都放在p2n−1p_{2n-1}p2n−1里面。

2.14

2.15 2.16（重点）

给出的答案没有算平方，取最大值就是x取中间值，相减就是h/2，但是没有算最后的平方，不知道这是故意把范围缩放还是写错了…

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

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