0. 简介

最近作者受到邀请，让我帮忙给刚入门的学弟讲讲滑模控制。可是作者也不知道怎么向未入门的学弟讲解这些基础知识，所以作者翻了翻近几年写的很好的文章以及视频。综合起来，来总结出一套比较基础，且适用于初学者的文章吧。这里我们先贴一下王崇卫同学的笔记。

对应的视频连接在下面：

【Advanced控制理论】17

1. 滑模控制目的

对于滑模控制而言，我觉得我们先要明白其目的再来学习。一开始我们对滑动控制的定义是：滑动模式是先使用受控系统产生两个以上的子系统，然后再刻意加入一些切换条件产生滑动模式，以达成控制目标的一种技术。

滑模控制（sliding mode control, SMC）也叫变结构控制，其本质上是一类特殊的非线性控制，且非线性表现为控制的不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是可以在动态过程中，根据系统当前的状态（如偏差及其各阶导数等）有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。

例如滑动模式控制中存在滑动曲面 $s = 0$ ,一开始时，系统会在有限时间内到达滑动曲面，之后就会沿着滑动曲面移动。在滑动模式的理论叙述中，系统会约束在滑动曲面上，因此只需将系统视为在滑动曲面上滑动。不过实际系统的实现是用高频切换来让系统近似在滑动曲面上滑动，高频切换的控制信号让系统在很邻近滑动曲面的范围内切跳（chatter），而且其频率是不固定的。虽然整体系统是非线性的，不过下图中，当系统到达滑动曲面后，理想（没有切跳）系统会限制在 $s = 0$ 的滑动曲面上，滑动曲面是线性时不变系统，在原点处指数稳定。

2. 滑模控制优缺点

2.1 滑模控制的优点：

滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。

2.2 滑模控制的缺点：

当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。国内外主要通过改进滑模趋近律达到减弱抖振的目的。

3. 滑模控制需要条件

上文讲到滑模变结构控制器设计也包括两部分，一是能从状态空间的任何位置有限时间到达滑模面 $s = 0$ ，二是在滑模面上可以收敛到原点（平衡点）。这也就代表我们要存在有一个稳定的滑模面，且该滑模面是可达的。为此有以下四个条件：

稳定性条件：在s=0的滑模面上，状态是收敛的，即滑动模态存在；
可达性条件：在切换面s=0以外的运动点将于有限时间内到达切换面；
保证滑模运动的稳定性；
达到控制系统运动品质要求。

下面将按照四个条件来叙述如何设计滑模控制的控制器，这里的部分内容借鉴了文章滑动模型控制（Sliding Mode Control），并结合作者的理解进行写作。

3.1 被控系统的滑模面生成

首先第一步就是我们需要明白，我们需要找到一个滑模面来让被控系统在滑模面上维持稳定。
例如假设存在一个被控系统：
$x˙1=x2x˙2=u\begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= u \end{aligned}$

这个时候我们就需要根据被控系统设计一个滑模面，滑模面一般可以设计为如下的形式
$\sum_{i=1}^{n-1} c_i x_i + x_n$
因为在滑模控制中，要保证多项式 $pn−1+cnpn−2+⋯+c2p+c1p^{n − 1} + c_n p^{n − 2} + \cdots + c_2 p + c_1$ 为Hurwitz (简单来说这条条件是为了满足状态在 $s = 0$ 的滑模面上可以收敛)。

什么是Hurwitz，即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面，即为负。

我们可以看到上述的被控系统是存在有两个变量，所以需要取 $n = 2$ ，即 $s ( x ) = c_1 x_1 + x_2$ ，为了保证多项式 $p+c_1$ 为Hurwitz，需要多项式 $p+c_1=0$ 的特征值实数部分为负，即 $c_1>0$ 。

我们知道滑模控制需要使得状态 $x_1$ 和 $x_2$ 的导数均达到零，我们令 $s = 0$ ，分析一下结果有
${cx1+x2=0x˙1=x2⇒cx1+x˙1=0⇒{x1(t)=e−ctx1(0)x2(t)=x˙1(t)=−cx1(0)e−ct\left\{\begin{aligned} &cx_1 + x_2 = 0 \\ &\dot{x}_1 = x_2 \end{aligned}\right. ~~ \Rightarrow ~~ c x_1 + \dot{x}_1 = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \left\{\begin{aligned} &x_1(t) = \text{e}^{-ct} x_1(0) \\ &x_2(t) = \dot{x}_1(t) = -c x_1(0) \text{e}^{-ct} \end{aligned}\right.$
通过上式可以看到状态 $x_1$ 和 $x_2$ 最终都是趋向于零的，而且速度是以指数速率趋紧的。指数速率意味着当 $t = 1/ c$ 时，趋零过程完成 $63.2%63.2\%$ ，当 $t = 3/ c$ 时，趋零过程完成 $95.021%95.021\%$ 。那么我们通过调节参数 $c$ 的大小即可实现对趋零速度的调节， $c$ 越大，速度越快。

因此如果满足了 $s=cx_1 + x_2=0$ ，那么系统的状态 $x_1$ 和 $x_2$ 也将沿着滑模面趋近于零 ( $s = 0$ 称之为滑模面)。

3.2 可达性控制器设计

在拿到滑模面后则证明被控系统的稳定性条件成立，下面一步就是可达性条件，即状态 $x$ 从状态空间中任意一点出发，可以在有限时间到达 $s = 0$ 的滑模面上，此时我们可以采用李雅普诺夫间接法来分析，从前面可知，切换函数 $s$ 是状态变量 $x$ 的函数，取以下的李雅普诺夫函数

$\frac{1}{2} s^2$

对时间求导可得
$V˙=ss˙=s(−sgn(s)−s)=−sgn(s)s−s2=−(∣s∣+s2)<0\begin{aligned} \dot{V} &= s \dot{s} \\ &= s (-\text{sgn}(s) - s) \\ &= -\text{sgn}(s) s - s^2 \\ &= -(|s| + s^2) < 0 \end{aligned}$

为了使系统稳定，我们需要使 $V˙<0\dot{V}<0$ ，即 $\dot{s}<0$ 。此时系统对于 $s$ 而言是渐进稳定，不能保证其有限时间到 $s = 0$ 的滑模面上(渐进稳定是当 $t$ 趋于无穷时，状态变量 $x$ 趋于 $0$ ，即无限时间到达)，因此需要 $\dot{s}<-\sigma$ ， $σ\sigma$ 是一个极小的正数。 $以上就是可达性条件成立的必要依据\color{red}{以上就是可达性条件成立的必要依据}$ 。

但是实际上每次设计总不能都用李雅普诺夫函数判断，于是人们就提出了趋近律这一概念，常用的趋近律有如下几种，其中 $sgn(s)\text{sgn}(s)$ 是符号函数， $s>0,sgn(s)=1;s<0,sgn(s)=−1;s=0,sgn(s)=0s>0,\text{sgn}(s)=1; s<0, \text{sgn}(s)=-1; s=0, \text{sgn}(s)=0$ :

等速趋近律： $s˙=−ϵsgn(s),ϵ>0\dot{s} = -\epsilon ~\text{sgn}(s), ~~~~\epsilon > 0$
指数趋近律： $s˙=−ϵsgn(s)−ks,ϵ>0,k>0\dot{s} = -\epsilon ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~\epsilon > 0, k>0$
幂次趋近律： $s˙=−k∣s∣αsgn(s)−ks,k>0,0<α<1\dot{s} = -k |s|^\alpha ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~k>0, 0<\alpha<1$

一般在使用时候我们需要完成这些参数的调整，一般我们使用的是指数趋近率，并将 $ϵ\epsilon$ 和 $k$ 的值均设为1，简化为：

$s˙=sgn(s)−s\dot{s} = ~\text{sgn}(s) - s$

然后我们可知 $s ( x ) = c_1 x_1 + x_2$ ，则 $s˙=sgn(s)−s=c1x1˙+x2˙=c1x2+u\dot{s} = ~\text{sgn}(s) - s = c_1 \dot{x_1} + \dot{x_2} = c_1x_2+u$ 。则我们可以得到控制器 $u$ 为：

$~\text{sgn}(s) - s - c_1x_2$

这就得到了我们必要的两个条件即，存在滑模面 $s$ 以及可达性控制器 $u$ .

4. 滑模控制Python代码

下面是最简单的python代码

…详情请参照古月居

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