POJ 1430 Binary Stirling Numbers (第二类斯特林数、组合计数)

题目链接

http://poj.org/problem?id=1430

题解

qaq写了道水题……

在模\(2\)意义下重写一下第二类Stirling数的递推式: \[S(n,m)=S(n-1,m-1)+(S(n-1,m)\ \text{and}\ m)\]
令\(S'(n,m)=S(n+m,m)\), 那么递推式变成了\(S'(n,m)=S'(n,m-1)+(S'(n-1,m)\ \text{and}\ m)\)
也就相当于从\((0,0)\)走到\((n,m)\)的NE Lattice Path数目，且当纵坐标为偶数时只能往上走不能往右走
那这个只能往上走不能往右走就相当于把这一行删掉了（因为对方案没有任何影响），于是保留下来的行只有\([\frac{m-1}{2}]\)个
那么就是从\((0,0)\)走到\((n,[\frac{m-1}{2}])\)的NE Lattice Path条数，直接Lucas定理组合数计算即可
\(m=0\)要特判
时间复杂度\(O(T(\log n+\log m))\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#define llong long long
using namespace std;inline int read()
{int x=0; bool f=1; char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');if(f) return x;return -x;
}int comb0(int x,int y) {return x<y?0:1;}
int comb(int x,int y)
{if(x<2&&y<2) {return comb0(x,y);}return comb((x>>1),(y>>1))*comb0((x&1),(y&1));
}int main()
{int T; scanf("%d",&T);while(T--){int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);if(m==0) {printf("0\n"); continue;}n -= m; m = (m-1)>>1;printf("%d\n",comb(n+m,m));}return 0;
}

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