组合基础2 第一类斯特林数第二类斯特林数基础部分

记xn‾=x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)xn=x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)，xn‾=x(x−1)(x−2)⋯(x−n+1)x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)xn=x(x−1)(x−2)⋯(x−n+1)。

第一类斯特林数

定义为xn‾x^{\overline{n}}xn的mmm次项系数，即xn‾=∑i=0n[ni]xix^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^ixn=∑i=0n[ni]xi。组合意义为将nnn个数分为mmm个无区别环的方案数。

可在O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)内求[ni]\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}[ni]。

第二类斯特林数

组合意义为将nnn个数分为mmm个无区别组的方案数。定义为xn=∑i=0n{ni}xi‾x^n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}xn=∑i=0n{ni}xi。

可以用容斥原理求斯特林数，枚举几个组为空即可。公式为{nm}=1m!∑i=0m(−1)i(mi)(m−i)n\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\binom{m}{i}(m-i)^n{nm}=m!1i=0∑m(−1)i(im)(m−i)n容斥求出的组有区别，因此要除以阶乘。

枚举最后一个组含除了最后一个元素还有哪些元素，有公式{nm}=∑i=1n−1(n−1i−1){n−im−1}\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i-1}\begin{Bmatrix}n-i\\m-1\end{Bmatrix}{nm}=i=1∑n−1(i−1n−1){n−im−1}

幂的转换

由各种方法可得：
xn=∑i=0n{ni}xi‾(−1)n−ix^n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\overline{i}}(-1)^{n-i}xn=i=0∑n{ni}xi(−1)n−ixn‾=∑i=0n[ni]xi(−1)n−ix^{\underline{n}}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i(-1)^{n-i}xn=i=0∑n[ni]xi(−1)n−i
以上两个定义式和两个幂的转换公式可简记为正降卷升，一归二歧（“正”指挨个乘）。

把两个式子拼起来可得斯特林反演。把一个式子带到另一个里去可得翻转公式。口诀：正卷互推，减（卷）接等真。

*2018.12

练习题

幂和

∑i=1nik=∑i=1n∑j=0k{kj}ij‾=∑j=0k{kj}∑i=1nij‾=∑j=0k{kj}j!∑i=1n(ij)=∑j=0k{kj}j!(n+1j+1)\begin{aligned} \sum_{i=1}^n i^k &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=1}^ni^{\underline j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^n{i\choose j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!{n+1\choose j+1}\\ \end{aligned}i=1∑nik=i=1∑nj=0∑k{kj}ij=j=0∑k{kj}i=1∑nij=j=0∑k{kj}j!i=1∑n(ji)=j=0∑k{kj}j!(j+1n+1)

合作

∑i=1n(ni)ik=∑i=1n(ni)∑j=0k{kj}ij‾=∑i=1nn!(n−i)!∑j=0k{kj}(i−j)!=∑j=0k{kj}∑i=1nn!(n−i)!(i−j)!\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\binom{n}{i}i^k &=\sum_{i=1}^n\binom ni\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline j}\\ &=\sum_{i=1}^n\frac{n!}{(n-i)!}\sum_{j=0}^k\frac{\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}}{(i-j)!}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=1}^n\frac{n!}{(n-i)!(i-j)!} \end{aligned}i=1∑n(in)ik=i=1∑n(in)j=0∑k{kj}ij=i=1∑n(n−i)!n!j=0∑k(i−j)!{kj}=j=0∑k{kj}i=1∑n(n−i)!(i−j)!n!两个含iii的阶乘在下面，考虑一次收俩。
=∑j=0k{kj}∑i=1nn!⋅(n−j)!(n−j)!⋅(n−i)!(i−j)!=∑j=0k{kj}n!(n−j)!∑i=1n(n−jn−i)=∑j=0k{kj}n!(n−j)!⋅2n−j\begin{aligned} &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=1}^n\frac{n!\cdot(n-j)!}{(n-j)!\cdot(n-i)!(i-j)!}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=1}^n\binom{n-j}{n-i}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}\cdot 2^{n-j} \end{aligned}=j=0∑k{kj}i=1∑n(n−j)!⋅(n−i)!(i−j)!n!⋅(n−j)!=j=0∑k{kj}(n−j)!n!i=1∑n(n−in−j)=j=0∑k{kj}(n−j)!n!⋅2n−j